高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：無窮級數(shù)

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、無窮級數(shù)的基本概念二、級數(shù)的基本性質(zhì)第一節(jié)無窮級數(shù)的基本概念和性質(zhì)無窮級數(shù)一、無窮級數(shù)的基本概念當(dāng)此等比數(shù)列有無限多項(xiàng)，那么無限多項(xiàng)數(shù)列的“和”如何計算呢？在初等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)遇到過公比為的等比數(shù)列，求其前項(xiàng)和的問題。我們知道等比數(shù)列前項(xiàng)和為定義1設(shè)給定無窮數(shù)列，則式子稱為無窮級數(shù)，簡稱為級數(shù)，記為，稱其第項(xiàng)為級數(shù)的一般項(xiàng)（或稱通項(xiàng)）。由此可由無窮級數(shù)得到一個部分和數(shù)列定義2設(shè)給定數(shù)列，則其前項(xiàng)和稱為級數(shù)的前項(xiàng)部分和，簡稱為部分和。若存在，則稱級數(shù)收斂，并稱此極限值S為級數(shù)的和，記為。若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散。發(fā)散級數(shù)沒有和。例1

試判斷級數(shù)的斂散性。解：由于，所以前項(xiàng)的部分和故

即：無窮級數(shù)發(fā)散。例2試判斷級數(shù)的斂散性。解：于是。由于，所以前項(xiàng)的部分和所以，無窮級數(shù)收斂，且其和為1。解：于是故當(dāng)公比時，無窮級數(shù)發(fā)散。例3試判斷級數(shù)的斂散性。當(dāng)時，所給無窮級數(shù)的前項(xiàng)部分和此級數(shù)為幾何級數(shù)（又稱等比級數(shù)）。當(dāng)時，其前項(xiàng)的部分和為當(dāng)時，，因而，所以無窮級數(shù)收斂，且其和為。當(dāng)時，，因而不存在，即無窮級數(shù)發(fā)散。其部分和當(dāng)時，，其前項(xiàng)和綜上所述，可知：幾何級數(shù)，當(dāng)時收斂，其和為；當(dāng)時，幾何級數(shù)發(fā)散。根據(jù)無窮級數(shù)收斂和發(fā)散的定義及極限的運(yùn)算法則，不難驗(yàn)證無窮級數(shù)具有下列基本性質(zhì)。二、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1若無窮級數(shù)與都收斂，其和分別為和，則級數(shù)必收斂，且其和為。性質(zhì)2(1)若無窮級數(shù)收斂，其和為，為常數(shù)，則無窮級數(shù)也收斂為。

(2)若無窮級數(shù)發(fā)散，，則必定發(fā)散。例4

試判斷無窮級數(shù)的斂散性解：由于無窮級數(shù)和均為幾何級數(shù)，且公比分別為，由例3可知：和均收斂。由性質(zhì)2可知：無窮級數(shù)收斂。而由性質(zhì)1可知：無窮級數(shù)收斂。性質(zhì)3在無窮級數(shù)中去掉或添加有限項(xiàng)，所得到的新級數(shù)與原來級數(shù)具有相同的斂散性。性質(zhì)3表明，無窮級數(shù)的斂散性與其前面有限項(xiàng)無關(guān)，而是取決于充分大以后的的變化趨勢。性質(zhì)4在無窮級數(shù)中添加括號，即將有限項(xiàng)用括號括起來作為一項(xiàng)，得到新級數(shù)。如果原無窮級數(shù)收斂，則新無窮級數(shù)也收斂；如果新級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散。值得注意是：收斂級數(shù)去掉括號后所得的新的無窮級數(shù)不一定是收斂的。例如：收斂于0，但是去掉括號后得到的新級數(shù)為發(fā)散的無窮級數(shù)。推論：若，則無窮級數(shù)發(fā)散。性質(zhì)5（級數(shù)收斂的必要條件）若無窮級數(shù)收斂，則。例5試判斷無窮級數(shù)的斂散性。解：由于所以無窮級數(shù)發(fā)散。有必要指出：一般項(xiàng)趨于零的無窮級數(shù)未必一定收斂。例如無窮級數(shù)第二節(jié)正項(xiàng)級數(shù)無窮級數(shù)定義1設(shè)無窮級數(shù)，如果，則稱無窮級數(shù)為正項(xiàng)無窮級數(shù)。定理1正項(xiàng)無窮級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有上界。對于正項(xiàng)無窮級數(shù)，其部分和數(shù)列是單調(diào)增加數(shù)列，由數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則可知：若單調(diào)增加數(shù)列有上界，則存在，否則。由此可得到下述定理：（1）若正項(xiàng)無窮級數(shù)收斂，則正項(xiàng)無窮級數(shù)也收斂。（2）若正項(xiàng)無窮級數(shù)發(fā)散，則正項(xiàng)無窮級數(shù)也發(fā)散。值得注意的是：比較判別法的條件，其實(shí)不必從起始就要求上述不等式成立。因?yàn)橛缮弦还?jié)性質(zhì)3可知，改變一個無窮級數(shù)的有限項(xiàng)并不影響該無窮級數(shù)的收斂性，所以只要從某一項(xiàng)起

就可以了。定理2（比較判別法）若無窮級數(shù)和都是正項(xiàng)無窮級數(shù)，且滿足解：由題設(shè)可知，所給定無窮級數(shù)的一般項(xiàng)為，且，因此無窮級數(shù)為正項(xiàng)無窮級數(shù)。此外，當(dāng)時，有，故所以為收斂。由比較判別法可知收斂。取，則為幾何級數(shù)，其公比，例1

試判斷無窮級數(shù)的斂散性。一般稱正項(xiàng)無窮級數(shù)用比較判別法判定一個正項(xiàng)無窮級數(shù)的斂散性時，經(jīng)常將需判斷的無窮級數(shù)的一般項(xiàng)與幾何級數(shù)或-級數(shù)的一般項(xiàng)比較，然后確定該無窮級數(shù)的斂散性?？梢宰C明：（1） 當(dāng)時，-級數(shù)收斂。（2） 當(dāng)時，-級數(shù)發(fā)散。為-級數(shù)（或稱廣義調(diào)和函數(shù)）。前述的調(diào)和級數(shù)是廣義調(diào)和級數(shù)時的特殊情形。例2

試判斷無窮級數(shù)的斂散性。解：由于所給定無窮級數(shù)的一般項(xiàng)為，且滿足令，則為去掉第一項(xiàng)的調(diào)和級數(shù)，可知發(fā)散。由比較判別法可知也發(fā)散。解：已知所給定無窮級數(shù)的一般項(xiàng)為，且滿足令，則為幾何級數(shù)，公比為，可知級數(shù)收斂，故由比較判別法，可知也收斂。例3試判斷無窮級數(shù)的斂散性。注意到級數(shù)的基本性質(zhì)2與性質(zhì)3，即級數(shù)的各項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)，去掉或添加有限項(xiàng)仍不改變級數(shù)的收斂性。由此可以得到下述更實(shí)用的結(jié)果。（2）若正項(xiàng)無窮級數(shù)發(fā)散，且存在，當(dāng)時，有則正項(xiàng)無窮級數(shù)也發(fā)散。推論（1）若正項(xiàng)無窮級數(shù)收斂，且存在，當(dāng)

時，有，則正項(xiàng)無窮級數(shù)也收斂。定理2.7.2’（極限形式的比較判別法）若無窮級數(shù)

和都是正項(xiàng)無窮級數(shù)，且，則正項(xiàng)無窮級數(shù)與有相同的收斂性。定理3（比值判別法）若正項(xiàng)無窮級數(shù)，滿足條件（1）若，則無窮級數(shù)收斂；（2）若（或），則無窮級數(shù)發(fā)散。注：若，則本判別法不能判斷所給定的無窮級數(shù)的斂散性。例4試判斷無窮級數(shù)的斂散性。由比值判別法可知：無窮級數(shù)為收斂的。解：已知正項(xiàng)無窮級數(shù)的一般項(xiàng)為，由于解：已知的正項(xiàng)無窮級數(shù)的一般項(xiàng)為，由于由比值判別法可知：無窮級數(shù)發(fā)散。例5試判斷無窮級數(shù)的斂散性。解：該無窮級數(shù)的一般項(xiàng)為，由于所以比值判別法失效，此時可考慮運(yùn)用比較判別法。因?yàn)椋?級數(shù)是收斂的，所以無窮級數(shù)收斂。例6試判斷無窮級數(shù)的斂散性。一、交錯項(xiàng)級數(shù)二、任意項(xiàng)級數(shù)第三節(jié)交錯項(xiàng)級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)無窮級數(shù)一、交錯項(xiàng)級數(shù)定義1若，則稱級數(shù)或?yàn)榻诲e級數(shù)。1713年萊布尼茲給出了交錯級數(shù)收斂性的下述重要結(jié)論：定理1（萊布尼茲判別法）若交錯級數(shù)滿足（1），即單調(diào)下降。（2）則無窮級數(shù)收斂，且其和。對于上述交錯級數(shù)而言，若極限不存在，或存在但，則交錯級數(shù)的一般項(xiàng)的極限不存在，因此無窮級數(shù)發(fā)散。解：由于無窮級數(shù)為交錯級數(shù)，其中，故且由萊布尼茲判別法可知：交錯級數(shù)收斂。例1

試判斷交錯級數(shù)的斂散性。即交錯級數(shù)常稱之為萊布尼茲級數(shù)，以后將此無窮級數(shù)認(rèn)作為標(biāo)準(zhǔn)無窮級數(shù)。例2

試判斷交錯級數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?，所以，交錯級數(shù)發(fā)散。通常地正負(fù)項(xiàng)可以任意出現(xiàn)的無窮級數(shù)稱為任意項(xiàng)無窮級數(shù)。二、任意項(xiàng)級數(shù)由此可見，交錯級數(shù)是任意項(xiàng)無窮級數(shù)的一種特殊情形。由于要判斷任意項(xiàng)無窮級數(shù)的斂散性沒有一般的通用法則，故先研究的收斂性。定理2若無窮級數(shù)收斂，則無窮級數(shù)必定收斂。定義2設(shè)有任意項(xiàng)無窮級數(shù)，若無窮級數(shù)收斂，則稱該無窮級數(shù)絕對收斂；若無窮級數(shù)

發(fā)散，而無窮級數(shù)收斂，則稱該無窮級數(shù)條件收斂。顯而易見，萊布尼茲級數(shù)為條件收斂的。例3試判斷交錯級數(shù)的斂散性，若其收斂，那么是絕對收斂，還是條件收斂（其中）？解：

記，則，即為-級數(shù)，因此當(dāng)時，收斂，故無窮級數(shù)

絕對收斂。且由萊布尼茲判別法可知無窮級數(shù)為條件收斂。綜上所述，無窮級數(shù)，當(dāng)時，該無窮級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，該無窮級數(shù)條件收斂。當(dāng)時，發(fā)散，即無窮級數(shù)不絕對收斂。此外，由于為交錯級數(shù)，當(dāng)時，有定理3若任意項(xiàng)無窮級數(shù)

滿足條件（1）當(dāng)時，則該無窮級數(shù)絕對收斂；（2）當(dāng)時，則該無窮級數(shù)發(fā)散。例4試判斷無窮級數(shù)的斂散性，如果它收斂，那么是絕對收斂，還是條件收斂？解：其通項(xiàng)為，而且然而為的-級數(shù)，其為收斂的。從而可知：為收斂的。即無窮級數(shù)收斂，且為絕對收斂。解：由于例5判斷無窮級數(shù)的斂散性。故當(dāng)時，無窮級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，無窮級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，無窮級數(shù)為調(diào)和級數(shù)其是發(fā)散的；當(dāng)時，無窮級數(shù)成為萊布尼茲級數(shù)，其為條件收斂的。一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念二、冪級數(shù)第四節(jié)冪級數(shù)無窮級數(shù)三、冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)如果給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念則由該函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)，簡稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。（1）對于每一個確定的值，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)這個級數(shù)（2）可能收斂也可能發(fā)散。如果（1）收斂，我們稱點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的收斂點(diǎn)；如果（2）發(fā)散，我們稱是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域。（2）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)均為冪次函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，即所謂的冪級數(shù)。形如二、冪級數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)我們將其稱之為以為中心的冪級數(shù)，其中常數(shù)稱作冪級數(shù)的第項(xiàng)系數(shù)。（3）我們先來討論冪級數(shù)得收斂域，為了研究方便，不妨設(shè)冪級數(shù)中的=0，即討論形如的冪級數(shù)，我們又稱之為的冪級數(shù)。這不影響討論的一般性，因?yàn)橹恍枳鞔鷵Q，就可將式（3）化成式（4）。幾何級數(shù)（4）是中心在的冪級數(shù)。它的收斂域是以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間(-1,1)。定理1（阿貝爾定理）(3)若冪級數(shù)在處發(fā)散，則對于滿足不等式

的一切，冪級數(shù)發(fā)散。(2)若冪級數(shù)在處收斂，則對于滿足不等式

的一切，冪級數(shù)絕對收斂。(1)冪級數(shù)在處收斂。阿貝爾定理給出了冪級數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)情況，即若點(diǎn)是冪級數(shù)（4）的收斂點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離比點(diǎn)近的點(diǎn)都是冪級數(shù)（4）的收斂點(diǎn)；若點(diǎn)是冪級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離比點(diǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn)都是冪級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。數(shù)軸上的點(diǎn)不是冪級數(shù)（4）的收斂點(diǎn)就是發(fā)散點(diǎn)，假設(shè)冪級數(shù)（4）不僅僅在處收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，設(shè)想從原點(diǎn)出發(fā)沿數(shù)軸向右行進(jìn)，先遇到的必然都是收斂點(diǎn)，一旦遇到了一個發(fā)散點(diǎn)，那么以后遇到的都是發(fā)散點(diǎn)。自原點(diǎn)向左也有類似情況。因此，它在原點(diǎn)的左右兩側(cè)各有一個臨界點(diǎn)，由定理1可知它們到原點(diǎn)的距離是一樣的，記這個距離為R。有如下推論：推論：如果冪級數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必存在惟一的正數(shù)，使得(1)當(dāng)時，冪級數(shù)絕對收斂；(2)當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時，冪級數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。我們把滿足推論的實(shí)數(shù)稱為冪級數(shù)的收斂半徑。開區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間。根據(jù)冪級數(shù)在端點(diǎn)處的收斂性，就可以確定其收斂域有四種情形：或。特殊地，如果冪級數(shù)只在處收斂，此時收斂域內(nèi)僅有一點(diǎn)其收斂半徑；如果冪級數(shù)對一切均收斂，則規(guī)定其收斂半徑，此時的收斂域?yàn)椤６ɡ?設(shè)為冪級數(shù)，且，為其收斂半徑。(1)若，則。(2)若，則。(3)若，則。例1冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。解：故收斂半徑為，收斂區(qū)間為(-1,1)。當(dāng)時，級數(shù)為萊布尼茲級數(shù)，是收斂的。當(dāng)時，級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域?yàn)椤＠?求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。解：記，則有故收斂半徑為，收斂域?yàn)椤＠?求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。解記，則有故收斂半徑為，收斂域?yàn)?。例4求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。解記，則有故收斂半徑為，收斂區(qū)間為，即。三、冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)1．冪級數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與。記，則在內(nèi)有(1)(2)

其中。值得注意的是，兩個冪級數(shù)相加減或相乘的冪級數(shù)，其收斂半徑2．和函數(shù)的性質(zhì)則冪級數(shù)的和函數(shù)有如下性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，和函數(shù)為，即(1)（連續(xù)性）在內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)在（或）處收斂時，在處左連續(xù)（或在處右連續(xù)）。(3)（逐項(xiàng)積分）在內(nèi)任何子區(qū)間上可積，并可逐項(xiàng)積分，即(2)（逐項(xiàng)微分）在內(nèi)可導(dǎo)，并可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即且逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同。且逐項(xiàng)積分后得到的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同。解：所給冪級數(shù)的系數(shù)故收斂半徑為，收斂區(qū)間為(-1,1)。由于幾何級數(shù)所以例5求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。且，所以由逐項(xiàng)微分的性質(zhì)，當(dāng)時，解：所給冪級數(shù)的系數(shù)例6求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。故收斂半徑為，收斂區(qū)間為(-1,1)。設(shè)=由逐項(xiàng)微分公式，當(dāng)時有，又，所以即對上式兩端從0到x積分，得一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)用直接法展開成冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)展開為冪級數(shù)無窮級數(shù)三、函數(shù)用間接法展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)在上節(jié)中，我們研究了求冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)的問題。但在一些實(shí)際問題中，往往需要研究它的反問題。即將一個已知函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)用一個冪級數(shù)表示。就是說，能否找到這樣一個冪級數(shù)，它在某一區(qū)間內(nèi)收斂，且和函數(shù)恰好是給定的函數(shù)？若能找到這樣的冪級數(shù)，就稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)，稱該冪級數(shù)為函數(shù)的冪級數(shù)展開式。若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有階的導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)的階泰勒公式成立，其中為拉格朗日余項(xiàng)：這里是介于與之間的某一點(diǎn)。來近似表示，并且其誤差為。如果隨著的增大而減小，那么我們就可以用增加多項(xiàng)式的次數(shù)來提高用來逼近的精度。可以用次多項(xiàng)式例1

設(shè)，求在點(diǎn)處的1次、2次、4次、6次、8次泰勒多項(xiàng)式。解：

因此在處的2次泰勒多項(xiàng)式為再有

，所以在處的1次泰勒多項(xiàng)式為相應(yīng)地在處的4次、6次、8次泰勒多項(xiàng)式為由上述的討論可以看到每一個都比前一個在附近能更好地逼近，且每個更高次泰勒多項(xiàng)式都包含了之前的所有的低次泰勒多項(xiàng)式，為此引進(jìn)泰勒級數(shù)。如果在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，并記，構(gòu)造冪級數(shù)稱此級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒級數(shù)。若上式在的某個鄰域內(nèi)的和函數(shù)恰好為，則稱在處可展成泰勒級數(shù)（也稱為關(guān)于的冪級數(shù)）。定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)的泰勒級數(shù)公式為則在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)可以展開泰勒級數(shù)的充分必要條件是對于任意的，有（2）由泰勒級數(shù)可以知道在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都可以從形式上構(gòu)造出其泰勒級數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，其泰勒級數(shù)是收斂的，且其和函數(shù)為。注意：（1）在點(diǎn)的冪級數(shù)展開式是惟一的，如果設(shè)又可以展成，則必有（3）由定理還可以看出，當(dāng)在可以展成冪級數(shù)時，其有限項(xiàng)在點(diǎn)的鄰域較好地接近于，但是在其他點(diǎn)近似程度可能不好。（4）當(dāng)時，的泰勒級數(shù)稱為的麥克勞林（Maclaurin）級數(shù)（也稱的冪級數(shù)）。這是我們常用的一種泰勒級數(shù)形式。所謂直接法展開是指先求出,在判定余項(xiàng)在什么區(qū)間上趨于零，從而得到的泰勒展開的一種方法。對函數(shù)作泰勒展開除了要寫出泰勒級數(shù)的表達(dá)式外，而且要寫出其收斂區(qū)間。具體步驟如下：第一步求出的各階導(dǎo)數(shù)第二步

計算二、函數(shù)用直接法展開成冪級數(shù)第三步寫出在處的泰勒級數(shù)第四步求出上述泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間。第五步考察當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時余項(xiàng)的極限（在0與之間）是否為零。如果為零，則有否則即使收斂，其和函數(shù)也不一定為。解：由于因此

故的麥克勞林級數(shù)為例2將展開為麥克勞林級數(shù)其收斂區(qū)間為,任取，則對于任何介于0與之間的，有對于給定的，可知有界，而可以看作是收斂級數(shù)的一般項(xiàng)，可知有

，于是得用直接法展開，先要求高階導(dǎo)數(shù)，還要證明，這都比較復(fù)雜和困難，于是出現(xiàn)了間接法。由于函數(shù)的冪級數(shù)展開式是惟一的，有時可以利用一些已知的函數(shù)展開式及收斂區(qū)間，經(jīng)過適當(dāng)?shù)拇鷵Q及運(yùn)算，如四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等，求出所給函數(shù)的冪級數(shù)展開式。這種方法稱為間接展開法。間接展開法需要掌握一些常用的函數(shù)展開式及收斂半徑。三、函數(shù)用間接法展開成冪級數(shù)（1）（2（3）（4）（5）以上展開式中的前二個已講過，其中可由直接法得到，可用間接展開法求得。常用的展開式：例3求的麥克勞林展開式。解：對的麥克勞林展開式逐項(xiàng)求導(dǎo)，我們有例4設(shè)，解：（1）（1）將在處展開為冪級數(shù)；（2）將展開為的冪級數(shù)。所以。收斂區(qū)間為：，即。（2）因此收斂區(qū)間為：，例5將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。解：

由于而

所以一、傅立葉級數(shù)展開式中的系數(shù)二、傅立葉級數(shù)的收斂性第六節(jié)傅立葉級數(shù)無窮級數(shù)三、周期延拓四、傅立葉余弦級數(shù)和正弦級數(shù)在研究細(xì)長絕熱桿的傳導(dǎo)問題時，法國數(shù)學(xué)家傅立葉需要把一個函數(shù)表示為三角級數(shù)。一般說來，如果定義在區(qū)間上，我們需要知道系數(shù)和，使得注意區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱。等式(1)稱為在區(qū)間上的傅立葉（Fourier）級數(shù)。這類級數(shù)在傳導(dǎo)、波動現(xiàn)象、化學(xué)制品和污染物的濃度，以及物理世界的其他模型研究中有廣泛的科學(xué)和工程應(yīng)用的領(lǐng)域。在這一節(jié)中，我們引入一個給定函數(shù)的這些重要的三角級數(shù)表示。(1)一、傅立葉級數(shù)展開式中的系數(shù)設(shè)是定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)。假定可以表示成由等式(1)給定的三角級數(shù)。我們要尋找計算系數(shù)和的一個方法。計算的關(guān)鍵三角函數(shù)系在區(qū)間上具有正交性，即其中任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零：(1)(2)(5)(3)(4)1.三角函數(shù)的正交性上述三角函數(shù)系中，任一函數(shù)的自乘積在區(qū)間的積分不等于零：(8)(6)(7)

(1)計算.將等式(2)的兩端逐項(xiàng)積分，然后利用三角函數(shù)系的正交性，可得：解出，得2.傅立葉級數(shù)的計算設(shè)函數(shù)能展開成三角級數(shù)(2)(3)解出(2)計算.我們用乘等式(2)兩端，再在區(qū)間上積分，并利用三角函數(shù)系的正交性，可得：(4)解出(3)計算.我們用乘等式(2)兩端，再在區(qū)間上積分，并利用三角函數(shù)系的正交性，可得：(5)等式(3),等式(4)和等式(5)稱為歐拉—傅立葉公式。系數(shù)和分別由等式(3),等式(4)和等式(5)確定的三角級數(shù)(1)稱為函數(shù)在區(qū)間上的傅立葉展開式，其中和為的傅立葉系數(shù)。例1求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式。解：本題，傅立葉系數(shù)計算如下：f(x)的傅立葉級數(shù)在區(qū)間上表達(dá)式為當(dāng)項(xiàng)數(shù)取1，5和20時傅立葉級數(shù)逼近的圖象如圖。注意隨著的增加，在所有連續(xù)點(diǎn)逼近如何越來越接近函數(shù)的圖象。在的不連續(xù)點(diǎn)，傅立葉級數(shù)逼近趨向0.5，這是躍度的一半，這些結(jié)果跟下面敘述的傅立葉收斂定理是一致的。將展開成傅立葉級數(shù)。解：本題，傅立葉系數(shù)計算如下：例2設(shè)是周期為的函數(shù),它在上的表達(dá)式為故的傅立葉級數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式為在計算系數(shù)和時，我們假定在區(qū)間上是可積的。當(dāng)項(xiàng)數(shù)取1，5和20時傅立葉級數(shù)逼近的圖象在下圖中。注意隨著的增加，在所有連續(xù)點(diǎn)逼近如何越來越接近函數(shù)的圖象。二、傅立葉級數(shù)的收斂性定理1傅立葉級數(shù)的收斂性（狄利克雷（Dirichlet）定理）若函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上分段連續(xù)則在所有連續(xù)點(diǎn)處等于傅立葉級數(shù)。在的跳躍間斷點(diǎn)，傅立葉級數(shù)收斂于。其中和分別是在的左、右極限。例1中的函數(shù)滿足定理1的條件，對于區(qū)間的每個點(diǎn)，傅立葉級數(shù)收斂于。是函數(shù)的跳躍間段點(diǎn)，傅立葉級數(shù)收斂到平均值傅立葉級數(shù)中的三角項(xiàng)和是周期為的周期函數(shù)：三、周期延拓類似地傅立葉級數(shù)也