2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題124 全等三角形中的經(jīng)典模型【六大題型】（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題12.4全等三角形中

的經(jīng)典模型【六大題型】

【人教版】

【題型?平移模型】............................................................................1

【題型2軸對(duì)稱模型】..........................................................................4

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】............................................................................6

【題型4一線三等角模型】.....................................................................9

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】.......................................................................13

【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】.......................................................................16

勵(lì)**一五三

3知識(shí)點(diǎn)1平移模型】

【模型解讀】把^ABC沿著某一條直線1平行移動(dòng)，所得到4DEF與aABC稱為平移型全等三角形，圖①,

圖②是常見的平移型全等三角線.

圖①圖②

【常見模型】

\7

【題型1平移模型】

【例1】（2022?義馬市期末）如圖，點(diǎn)4,E,F,8在直線/上，AE=BF,AC〃瓦），且AC=8。，求證:

△ACFdBDE.

【變式1-1]（2022?曾都區(qū)期末）如圖，點(diǎn)8,￡,C,尸在一條直線上，AB=DE,AC=DF.老師說(shuō)：還

添加?個(gè)條件就可使下面是課堂.上.三個(gè)同學(xué)的發(fā)言：

甲：添加以?=。"，乙：添力口AC〃。小丙；添加NA=ND.

（1）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確的是;

（2）請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中，選取一種給予證明.

【變式1-2]（2022春?東坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中,AB=\3cm,BC=llcm,AC=6cm,點(diǎn)E是BC

邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在A8邊上，現(xiàn)將△D8E沿著小方向向左平移至尸的位置，則四邊形OECf的周

長(zhǎng)為cm.

ADB

【變式1-3］（2022?富順縣校級(jí)月考）如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE//AF,且。E=

AF,求證：如果將3。沿著A。邊的方向平行移動(dòng)，如圖2,3時(shí)，其余條件不變，結(jié)

論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴⑵（3）

1［知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱模型】

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見模型】

A<A

【題型2軸對(duì)稱模型】

【例2】（2022?安丘市期末）如圖，已知AACFgADBE,且點(diǎn)A,B,C,。在同一?條直線上，N4=50°，

ZF=40°.

(1)求△O8E各內(nèi)角的度數(shù)；

(2)若AO=16,BC=10,求A8的長(zhǎng).

【變式2-1】（2022?隴縣一模）如圖，在△A8C中，已知CQ_LA8于點(diǎn)D，BE_LAC于點(diǎn)￡NDCB=N

EBC.求證：AD=AE.

A

D

BC

【變式2-2］（2022?句容市期末）如圖，已知△AO。0△40C.求證:AC=BD.

A

【變式2-3］（2022?海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，PB1AB,PCLAC,PB=PC,。是4P上一點(diǎn).求證：/BDP

=ZCDP.

p

【知識(shí)點(diǎn)相旋轉(zhuǎn)模型r

【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋

轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加〔減)公共角的條件.

【常見模型】

X_________________

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】

【例3】(2022?環(huán)江縣期中)如圖，AB=AE,AB//DE.Zl=70°,ZD=110°.

求證：△ABCgaEAQ.

證明：VZ1=7O°,

???().

又,

???().

'：AB//DE.

:.().

在△A8C和△E4O中，

’()

()'

MF=AE

/.^ABC^AEAD(AAS).

【變式3-1](2022春?濟(jì)南期末)如圖1,ZkAAE是等腰三角膨，AB=AE,ZBAE=45°,過點(diǎn)8作BC

_LAE于點(diǎn)C,在BC上截取CD=C￡連接A/)、QE并延長(zhǎng)交8七于點(diǎn)P；

(1)求證：AD=BE；

(2)試說(shuō)明4。平分N8AE：

(3)如圖2,將△CQE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么A。與8E的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說(shuō)明理由.

B

B

02)

圖1

【變式3-2］（2022?高港區(qū)校級(jí)月考）已知，如圖，A。、B尸相交于。點(diǎn)，點(diǎn)E、C在BF上，且BE=FC,

AC=DE,AB=DF.求證:

(1)AO=DO；

(2)AC//DE.

BE

D

【變式3-3］（2022?錦州模擬）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形△AB。、△ACE拼在一起（圖1）,AABD

不動(dòng).

（1）若將△4CE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接OE,M是OE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖2）,證明：MB

=MC.

（2）若將圖1中的C七向上平移，/C4E不變，連接QE,M是。E的中點(diǎn)，連接M3、MC（圖3）,

判斷并直接寫出MB.MC的數(shù)量關(guān)系.

（3）在（2）中，若NC4E的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的M3、MC的數(shù)量關(guān)系還

成立嗎？說(shuō)明理由.

i知識(shí)點(diǎn)4二線三等角模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD_LDE,AB.LAC,CE±DE,那么一定有NB=NCAE.

【題型4一線三等角模型】

【例4】（2022春?香坊區(qū)期末）已知，在△44。中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線加上，RDE=9cm,

NBDA=NAEC=NBAC

（1）如圖①，若A6J_AC,則4。與4七的數(shù)量關(guān)系為BD=AE,CE與40的數(shù)量關(guān)系為CE=

AD；

（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線段8Q,CE與。上的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，若只保持NBD4=NAEC,BO=E尸=7cw,點(diǎn)A在線段OE上以2c〃次的速度由點(diǎn)。向點(diǎn)

E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以我〃心的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f（S）.是否

存在m使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

C

【變式4-1］（2022?東至縣期末）如圖，在△48C中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線〃?上，并且有N

BDA=NAEC=NBAC=a,若OE=10,BD=3,求CE的長(zhǎng).

【變式4-2]（2022春?歷下區(qū)期中）CO是經(jīng)過NBCA定點(diǎn)C的一條直線，C4=C8,E、尸分別是直線CO

上兩點(diǎn)，且N3EC=NCM=NB.

（1）若直線CO經(jīng)過N8CA內(nèi)部，且￡、F在射線CO上，

①若N8C4=90°,Zp=90°,例如圖1,則BECF,EF\BE-AF].（填“>”，“V”，

“=”）:

②若0°<NBC4<180°,且/0+NBC4=18O°,例如圖2,①中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？并說(shuō)明理由；

（2）如圖3,若直線C。經(jīng)過NBC4外部，且N0=NBC4,請(qǐng)直接寫出線段E”、BE、AF的數(shù)量關(guān)系

【變式4-3]（2022?余杭區(qū)月考）如圖①，點(diǎn)、B、C在/MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E,F在NMAN內(nèi)部的

射線A。上，Nl、N2分別是△ABE、△CA尸的外角.已知43=AC,Z\=Z2=ZBAC.求證：△A8E

且△C4E

應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，A8=AC,A8>BC,點(diǎn)。在邊8C上，且CD=2BD,點(diǎn)E,尸在線段AO

上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面積為15,求AABE與△C。尸的面積之和.

【知識(shí)點(diǎn)5倍長(zhǎng)中線模型模型】

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添

加輔助線.所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角

形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問題的方法.

【常見模型】

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】

【例5】（2022秋?博興縣期末）如圖，3。是△A8C的中線，AB=6,5c=4,求中線BD的取值范圍.

【變式5-1］（2022?涪城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，。是8C邊的中點(diǎn)，E是A。上一點(diǎn)，BE=AC,

BE的延長(zhǎng)線交AC于F,求證：ZAEF=ZEAF.

【變式5-2］（2022?淹水縣校級(jí)模擬）（I）在△A8C中，AQ為△48C的中線，A8=6,AC=4,則人。的

取值范圍是：

（2）如圖，在△A8C中，A。為△44C的中線，點(diǎn)￡在中線A。上，KI3E=AC,連接并延長(zhǎng)8E交AC

于點(diǎn)F.求證：AF=FE.

【變式5-3](2022?丹陽(yáng)市期中)八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他

們一起活動(dòng)吧.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1，AO是△A8C的中線，延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使￡O=A。，連接BE,寫出圖中全等的兩個(gè)三角

形__________________

【理解與應(yīng)用】

(2)填空：如圖2,EP是的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)EP=x，則x的取值范圍是.

(3)已知：如圖3,4。是△/WC的中線，ZBAC=ZACB,點(diǎn)Q在8C的延長(zhǎng)線上，QC=BC,求證：

A()=2AD.

【知識(shí)點(diǎn)6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長(zhǎng)，指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段;

補(bǔ)短，指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以

采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過程

【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【例6】（2022秋?西崗區(qū)期末）閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個(gè)問題：

如圖I,在△ABC中，4。平分NB/IC,ZABC=2ZC.求證：AC=AB+BD：

小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：

方法一：如圖2,在AC上截取AE,使得AE=A8,連接。E,可以得到全等三角形，進(jìn)而解決問題.

方法二：如圖3,延長(zhǎng)A3到點(diǎn)E,使得8E=8。，連接。E,可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決問題.

（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC=A8+BO,根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)或參考小明的方法，解決下

面的問題：

（2）如圖4,四邊形A8CO中，￡是8c上一點(diǎn)，EA=ED,ZDCB=2ZB,NOAE+N8=90°,探究

DC、CE、8E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式6-1](2022?靳春縣期中)己知：如圖，在△ABC中，/A8C=6()°,AABC的角平分線A。、CE

交于點(diǎn)O.

求證：AC=AE+CD.

【變式6-2](2022?新?lián)釁^(qū)校級(jí)月考)如圖，四邊形48C。中，ZA=ZB=90°,七是A8的中點(diǎn)，OE平

分NAQC.

(1)求證：CE平分N3CQ；

(2)求證：AD+BC=CD,

(3)若A8=12,CO=13,求SMDE.

【變式6-3](2022?黃石期末)已知aA8c和△。石月為等腰三角形，AI3=AC,DE=DF,NBAC=NEDF,

點(diǎn)E在43上，點(diǎn)尸在射線AC上.

(1)如圖1,若NB4C=60°,點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，求證：AF=AE+AD；

(2)如圖2,若4。=48,求證：AF=AE+BC.

C(F)

角形中的經(jīng)典模型【六大題型】

【人教版】

【題型I平移模型】............................................................................1

【題型2軸對(duì)稱模型】..........................................................................4

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】............................................................................6

【題型4一線三等角模型】.....................................................................9

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】.......................................................................13

【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】.......................................................................16

“會(huì)￥一五三

1知識(shí)點(diǎn)1平移模型】

【模型解讀】把八ARC沿著某一條直線I平行移動(dòng)，所得到ADEF與八ARC稱為平移型全等二角形，圖①,

圖②是常見的平移型全等三角線.

圖①

【常見模型】

【題型1平移模型】

【例1】（2022?義馬巾期末）如圖，點(diǎn)A,E,卜,a在直線/上，A"9,AC〃以Z且AC=8O,求證:

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NC4/=NOBE,根據(jù)S4s證明△AC/g/XBOE即可.

【解答】證明：???4E=8F,

：.AE+EF=BF+EF,

即AF=BE；

*：AC//BD,

：,/CAF=/DBE,

又??,4C=B。，

在△AC/與△BOE中，

[AC=BD

\^CAF=乙DBE,

UF=BE

；?△“壯△BOE（SAS）.

【變式1-1]（2022?曾都區(qū)期末）如圖，點(diǎn)&E,C,尸在一條直線上，AI3=DE,AC=DF.老師說(shuō)：還

添加一個(gè)條件就可使△A8C0△。笈汽下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言：

甲：添力口8E=CR乙：添力口AC〃。入丙：添加NA=ND

（1）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確的是甲、丙；

（2）請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中，選取一種給予證明.

AD

【分析】(1)加上條件B￡=C〃或NA=N。的條件即可證明兩個(gè)三角形全等，添加AC〃。尸不能證明

(2)添加BE=CF可得BC=EF,利用SSS判定△。防即可，添加NA=N。,可用S4s證明△ABC

^△DEF.

【解答】解：(1)說(shuō)法正確的是：甲、丙，

故答案為：甲、丙；

(2)選甲的做法,

證明：?:BE=CF,

:,BC=EF,

在△ABC和△￡>￡：尸中，

<AB=DE

AC=DF，

IBC=EF

：.^ABC^/\DEF(SSS).

選丙的做法，

在△4AC和△￡>￡"中，

AB=DE

Z.A=Z.D,

AC=DF

:.△ABC/4DEF(S4S).

【變式1-2](2022春?東坡區(qū)校級(jí)期末)如圖,ZXABC中,AB=\3cm,BC=\\cm,AC=6on,點(diǎn)、E是BC

邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在A8邊上，現(xiàn)將△QBE沿著￡4方向向左平移至/的位置，則四邊形。EC尸的周

長(zhǎng)為cm.

【分析】連接EH證明△。七尸金△。尸E(ASA),推出OE=CF,可得結(jié)論.

【解答】解：連接石立

由平移的性質(zhì)可知，AF=DE.EF=AD,AF//DE,EF//AD,DF//BC,

:.NCEF=NDFE,NCFE=NDEF,

在尸和△OFE中，

Z.CEF=Z.EFD

EF=FE，

匕CFE=乙DEF

:.△CEF9/\DFE（ASA）,

：.DE=CF,

：.AF=CF=DE=3cm

???F是BC的中點(diǎn)，

EC=EB=DF=5.5cm,

，四邊形DEC文的周長(zhǎng)=2（3+5.5）=17血

故答案為：17.

【變式1-3］（2022?富順縣校級(jí)月考）如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE//AF,且。￡=

AF,求證：△AFC^XOEB.如果將8。沿著A。邊的方向平行移動(dòng)，如圖2,3時(shí)，其余條件不變，結(jié)

論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［分析］可以根據(jù)已知利用SAS判定△AFCgZXOEB.如果將BD沿著AD邊的方向平行移動(dòng)，如圖（2）、

（3）時(shí)，其余條件不變，結(jié)論仍然成立.可以利用全等三角形的常用的判定方法進(jìn)行驗(yàn)證.

【解答】解：???A8=CD,

：,AB\BC=CD\BC,

卻AC=BD.

yDEZ/AF,

/.ZA=ZD.

AF=DE

在△/1產(chǎn)C和△QE8中，］乙4=40,

AC=DB

:,△AFC//\OEB(SAS).

在(2),(3)中結(jié)論依然成立.

如在(3)中，\'AB=CD,

:?AB-BC=CD-BC,

卻AC=BD,

,:AF〃DE,

???NA="D.

AF=DE

在△AC〃和△。七8中，\z.A

AC=DB

:.△ACF/lXOEB(SAS).

?知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱模型】

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見模型】

【題型2軸對(duì)稱模型】

【例2】（2022?安丘市期末）如圖，已知△ACF0且點(diǎn)4,B,C,。在同一條直線上，乙4=50°,

ZF=40°.

（1）求aOBE各內(nèi)角的度數(shù)：

(2)若AO=16,BC=10,求A3的長(zhǎng).

ABCD

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出/。、ZE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/E8。即可;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD,求出4B=CD,即可求出答案.

【解答】解：(I)*：XACRXDBE,NA=50°,ZF=40°,

，NO=NA=50°,ZE=ZF=40°,

.*.ZEBD=1800-Z.D-ZE=90°；

(2),:XACF在4DBE,

:?AC=BD,

???AC-BC=DB-BC,

：.AB=CD,

V4D=16,BC=10,

：

,AB=CD=2-(AD-BC)=3.

【變式2-1](2022?隴縣一模)如圖，在△ABC中，己知CQ1A8于點(diǎn)。，8E_L4C于點(diǎn)E,ZDCB=Z

EBC.求證：AD=AE.

【分析】由“A4S”可證△ADCgAAEB,可得AO=AE.

【解答】證明：*：CD±AB,BE1AC,NDCB=/EBC,

：.Z1DBC=/ECB,

：.AB=AC,

在△AQC和△AE8中，

乙4=乙4

乙ADC=乙AEB=90%

AC=AB

/.AADC^/\AEB(AAS),

：.AD=AE,

【變式2-2］（2022?句容市期末）如圖，己知求證：AC=BD.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：???△AODg/XBOC,

：.AO=BO,CO=DO,/AOD=NBOC,

:.NAOD-ZCOD=ZBOC-ZCOD,

即NAOC=NBOD,

在△AOC和△30。中，

AO=BO

Z.AOC=乙BOD,

CO=DO

:?△AOgRBODCSAS）,

：.AC=BD.

【變式2-3］（2022?海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，PB工AB,PC-LAC,PA=PC,。是AP上一點(diǎn).求證：NBDP

=ZCDP.

【分析】求出/人82=乙4cp=90°,根據(jù)”L推出RtZX/18PgRtZ\ACP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N

BPD=NCPD,根據(jù)SAS'推出△4PO0△CP。，即可得出答案.

【解答】證明：1P5J_A8,PC±AC,

：.ZABP=ZACP=90°,

??.在Rt^ABP和RtAACP中

AP=AP

PB=PC

.,.RtAABP^RtAACP(HL),

:"BPD=/CPD,

在△BP。和△CP。中

PB=PC

乙BPD=乙CPD

PD=PD

，叢BPD叁色CPD,

:?NBDP=NCDP.

【知識(shí)點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)模型】

【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋

轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加〔減)公共角的條件.

【常見模型】

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】

【例3】（2022?環(huán)江縣期中）如圖，AB=AEfAB//DE,ZI=70°,ZD=IIO°.

求證：△45C0△E4Q.

證明：???/l=70°,

J/2=110。（鄰補(bǔ)角的性質(zhì)）.

又???NO=110°,

???N2=N￡>（等量代換）.

'：AB//DE,

AZ3=ZE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

在△A8C和△￡4。中，

’（）

（）'

MF=AE

???△ABC也△￡4。（AAS）.

【分析】由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出/2=110°,由平行線的性質(zhì)得出N3=/E,根據(jù)A4S可證△ABCgZ\￡4Q.

【解答】證明：???/1=70°,

/.Z2=110o（鄰補(bǔ)角的性質(zhì)），

又???/￡>=110°,

???/2=/。（等量代換），

,:DE,

???/3=/￡（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

在△A8C和△￡4。中，

42=乙D

43=Z.E?

AB=AE

A^ABC^/XEAD（A4S）.

故答案為：Z2=110°；鄰補(bǔ)角的性質(zhì)；Z2=ZD：等量代段；Z3=Z￡；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

Z2=Z￡>；Z3=Z￡.

【變式3-1]（2022春?濟(jì)南期末）如圖I,△A8E是等腰三角形，AB=AE,ZBAE=45Q,過點(diǎn)8作8c

_LAE于點(diǎn)C,在BC上截取CQ=CE,連接A。、。七并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)P；

（1）求證：AD=BE；

（2）試說(shuō)明AQ平分N3AE；

（3）如圖2,將△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么A。與8E的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說(shuō)明理由.

【分析】（1）利用SAS證明ABCE也△ACO,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=8E.

(2)根據(jù)得到“七3C=NZMC,由NBO〃=NAZ)C,得到N3/V)=NDCA=90°,利

用等腰三角形的三線合一，即可得到AQ平分NME；

(3)4O_L8￡不發(fā)生變化.由△8C￡絲△ACQ,得到NEBC=/D4C,由對(duì)頂角相等得到N3"=NA/匕

根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,所以/次步=NAb=90°,即AQ_L3￡.

【解答】解：(1)VBCXAF,ZBAE=45°,

???NCBA=NCAB,

：.BC=CA,

在△BCE和△AC。中，

BC=AC

乙BCE=Z-ACD=90%

CE=CD

/.△BCE^AACD(SAS)，

[AD=BE.

(2)??,△3C￡/△ACO,

：,ZEBC=ZDAC,

???NBDP=N4Z5C,

:?/BPD=NDCA=90°,

\'AB=AE,

.??AO平分NBAE.

(3)AQ_L8E不發(fā)生變化.

如圖2,

VABCE^AACD,

；?NEBC=NDAC,

■:NBFP=/AFC,

：.ZBPF=ZACF=90°，

：.ADA.BE.

【變式3-2］（2022?高港區(qū)校級(jí)月考）已知，如圖，人。、8戶相交于。點(diǎn)，點(diǎn)石、C在BF上,且8E=PC,

AC=DE,AB=DF.求證：

(1)AO=DO：

(2)AC//DE.

【分析】(l)易證△48。且4。尸￡可得N8=NF,可證△/18Og△。尸O,可得AO=。。：

(2)易證△AACg△￡)?￡,可得NQEr=NAC從可得AC〃。2

【解答】解：(1)，：BE=CF,

:?BC=FE,

和△/)「￡中，

AB=DF

AC=DE,

BC=FE

A^ABC^/^DFECSSS),

:?/B=ZF,

???在△A8O和△。尸O中，

NDOF=Z.AOB

Z-B=Z.F,

AB=DF

A^ABO^ADFO(A4S),

：.AO=DO；

(2):△ABCg△。尸E,

:?NDEF=NACB,

：.AC//DE.

【變式3-3］（2022?錦州模擬）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形△AB。、△4CE拼在一起（圖1）,AABD

不動(dòng).

A

（1）若將AACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接。E,M是0E的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖2）,證明：M8

=MC.

（2）若將圖1中的CE向上平移，NC4E不變，連接。/是。E的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖3）,

判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系.

（3）在（2）中，若NCAE的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的M8、MC的數(shù)股關(guān)系還

成立嗎？說(shuō)明理由.

【分析】（1）連接AM,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AC,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

可得NBAO=NCAE,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到NMAD=/MAE,然后利用“邊角邊”證

明△A8M和△ACM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；

（2）延長(zhǎng)DB、AE相交于E',延長(zhǎng)EC交A。于F,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到,

然后求出M8〃AE',再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出NMBC=NC4E,同理求出MC〃AZ）,根據(jù)

兩直線平行，同位角相等求出N8CW=NB4。，然后求出NM8C=N8CM,再根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；

（3）延長(zhǎng)⑶W交CE于凡根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得凡NMRD=NMFE,然后

利用“角角邊”證明△MO4和△ME/；全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得然后根據(jù)直角

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可.

【解答】證明：（1）如圖2,連接AM,由已知得△48。0ZVICE,

：.AD=AE,AB=AC,ZBAD=ZCAE,

.??/MAD=/MAE,

???NMAD-ZBAD=ZMAE-NC4E,

即NB4M=NC4M,

AB=AC

在△ABM和△ACM中，N84M=4C4M,

AM=AM

/.(SAS),

:?MB=MC；

(2)MB=MC.

理由如下：如圖3,延長(zhǎng)。樂AE相交于￡延長(zhǎng)EC交AD于凡

:,BD=BE',CE=CF,

???M是E。的中點(diǎn)，B是。E'的中點(diǎn)，

:,MB〃AE',

???NMBC=NCAE,

同理：MC//AD,

:?NBCM=/BAD,

?：Z13AD=ZCAE,

/.NMBC=NBCM,

:?MB=MC；

解法二：如圖3中，延長(zhǎng)CM交8。于點(diǎn)r.

圖3

■:EC//DT,

:./CEM=/TDM,

在△ECM和△O7M中,

乙CEM=乙TDM

EM=DM,

乙EMC=乙DMT

.?.△ECM4△D7M(ASA),

：,CM=MT,

VZCB7*=90°,

：,BM=CM=MT.

(3)M8=M。還成立.

如圖4,延長(zhǎng)8M交CE于F,

YCE//BD,

：.NMDB=ZMEF,NMBD=ZMFE,

又???加是OE的中點(diǎn)，

:.MD=ME,

在△MD8和△MEF中，

[/-MDB=乙MEF

LMBD=乙MFE,

MD=ME

：?4MDB必MEF(AAS),

:?MB=MF,

???NACE=90°,

/.ZBCF=90",

:?MB=MC.

圖4

圖2匿3

%加14一二線三等角模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD_LDE,ABJ,AC,CEXDE,那么一定有/B=NCAE.

B.

【題型4一線三等角模型】

【例4】（2022春?香坊區(qū)期末）已知，在△43C中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線加上，且。￡=%/〃,

NBDA=NAEC=ABAC

（1）如圖①，若AB_LAC,則BD與4E的數(shù)量關(guān)系為BD=AE,CE與A。的數(shù)量關(guān)系為CE=

AD；

（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線段B。，CE與的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，若只保持N8OA=NAEC,B/）=石尸=7CM點(diǎn)A在線段OE上以2cM的速度由點(diǎn)。向點(diǎn)

E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段石產(chǎn)上以w〃心的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r（$）.是否

存在■使得△A3。與△E4C全等？若存在，求出相應(yīng)的，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得NC4E=NA8。，再利用A4S證明△4BZ）四△CAE,

得BD=AE,CE=AD；

（2）由（1）同理可得△48。空△C4E,得8/）=4E,CE=AD,可得答案；

（3）分△。八8g人或△0/18/△EAC兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問題.

【解答】解：（1）:NBDA=NAEC=NBAC,

???ZBAD+ZCAE=ZBAD+ZA13D,

：.ZCAE=ZABD,

ZBDA=ZAEC,BA=CA,

:.△ABD9l\CAE(AAS),

，BD=AE,CE=AD,

故答案為：BD=AE,CE=AD；

(2)DE=BD+CE,

由(I)同理可得△ABOgZXCAE(AAS),

:?BD=AE,CE=AD,

:?DE=BD+CE；

（3）存在，當(dāng)時(shí),

：.AD=CE=2cm,BD=AE=7cm,

t—1,此時(shí)x=2；

當(dāng)△048g△￡AC時(shí)，

?\AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,

.AD9r928

../=—2=74?x4=7^9--=—,

綜上：7=1,X=2或，=2,A-^7.

49

【變式4-1](2022?東至縣期末)如圖，在△入8C中，AB=AC,。、4、E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，并且有N

BDA=ZAEC=ZBAC=a,若OE=10,3。=3,求CE的長(zhǎng).

【分析】由NAEC=N84C=a,推出NEC4=NB4O,再根據(jù)44S證明△BAOgZXACE得CE=4O,AE

=8/)=3,即可得出結(jié)果.

【解答】解：：NAEC=NBAC=a,

AZ￡CA+ZCAE=180°-a,

ZBAEH-ZCAE=\SO0-a,

：,ZECA=ZBAD,

在△B4D與△人(；￡：中，

^BDA=LAEC

乙BAD=z.ACEf

AB=AC

???△BAOg/XACE(AAS'),

；?CE=AD,AE=BD=3,

*：DE=AD+AE=10,

：,AD=DE-AE=DE-BD=1()-3=7.

：.CE=1.

【變式4-2](2022春?歷下區(qū)期中)CO是經(jīng)過NBCA定點(diǎn)C的一條直線，CA=CB,E、產(chǎn)分別是直線CD

上兩點(diǎn)，且/8七。=/。料=/艮

（1）若直線C。經(jīng)過N8CA內(nèi)部，旦石、F在射線C。上,

①若NBCA=90。，Np=90°,例如圖1,則BECF,EF\BE-AF].（填“>'："V”，

“=”）；

②若0°<ZfiCA<180°,且/p+N8cA=180°,例如圖2,①中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？并說(shuō)明理由；

（2）如圖3,若直線C。經(jīng)過/BCA外部，且NP=NBCA,請(qǐng)直接寫出線段ERBE、A尸的數(shù)量關(guān)系

（不需要證明）.

【分析】（1）①求出N8EC=NAR7=90°,NCBE=NACF,根據(jù)A4S證ABCE也△CAR推出BE

=CF,CE=A尸即可；②求出/BFC=NAR7,NCBE=NACF,根據(jù)AAS證△BCEg/\CAR推出BE

=CF,CE=4尸即可；

（2）求出N8EC=NA/C,NCBE=NACF,根據(jù)人AS證△BCEg/XCA產(chǎn)，推出8E=CRCE=A產(chǎn)即可.

【解答】解：（1）①如圖1,

E點(diǎn)在尸點(diǎn)的左側(cè)，

VBELCD.AFLCD,/ACB=9U0,

???/BEC=N4FC=90°,

AZBC￡+ZACF=90°,NCBE+NBCE=90°,

：.ZCBE=ZACF,

在ZXBCE和△CA”中,

Z.EBC=^ACF

乙BEC=4AFC，

BC=AC

:.△BCE@/\CAF(AAS),

:,BE=CF,CE=AF,

：?EF=CF?CE=BE-AF,

當(dāng)月在尸的右側(cè)時(shí)，同理可證

：.EF=\BE-AF\x

故答案為=,=.

②：①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立：

證明：如圖2,

圖2

</BEC=NCFA=Na,Na+/4CB=180°,

:?/CBE=ZACF,

在△BCE和△C4F中，

ZEBC=Z.ACF

乙BEC=4AFC,

BC=AC

/.△BCE^ACAF(A4S),

：,BE=CF,CE=AF,

：,EF=CF-CE=BE-AF,

當(dāng)E在手的右側(cè)時(shí),如圖3,

同理口J證EF=AF-BE,

：.EF=\BE-AF］；

(2)EF=BE+AF.

理由是：如圖4,

■:NBEC=NCFA=/a,N〃=NBC4,

XVZEBC+ZBCE+ZB￡C=180°,ZBCE+ZACF+ZACB=\SQ0,

???ZEBC+ZBCE=ZBCE+ZACF,

:?/EBC=NACK

在△BEC和△(;孫中，

ZEBC=4ACF

乙BEC=4AFC,

BC=AC

AABEC^ACM(AAS),

：.AF=CE,BE=CF,

■:EF=CE+CF,

；.EF=BE+AF.

【變式4-3]（2022?余杭區(qū)月考）如圖①，點(diǎn)8、C在NM4N的邊AM、AN上，點(diǎn)E,/在NM4N內(nèi)部的

射線A。上，Nl、N2分別是△ABE、△C4F的外角.已知A8=4C,Z1=Z2=ZBAC.求證：LABE

且△C4E

應(yīng)用：如圖②，在AA/C1中，A8=AC,AB>BC,點(diǎn)。在邊8C上，且CD=2BD,點(diǎn)E,尸在線段AO

上.N1=/2=N8AC,若△人8。的面積為15,求△A8E與△CQF的面積之和.

【分析】(I)由“ASA”可證

(2)由“AS4”可證△A8E絲△C4”，由全等三角形的性質(zhì)可得S“BE=SMAF，由三角形的面積關(guān)系可

求解.

【解答】證明：(1)???N1=N2=N84C,且N1=NBAE+NABE,Z2=ZFAC+ZFCA,ZBAC=Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=^FCA,/ABE=/FAC,且A4=AC,

/.^ABE^/XCAF(ASA)

(2)???/l=N2=NR4C,RZl=ZBAE+ZABE,Z2=ZMC+ZFC-A,NBAC=NBAE+NMC,

：.ZBAE=ZFCA,NABE=NFAC,且4B=AC,

:.△ABE9RCAF(ASA)

SNABE=S&CAF，

,:CD=2BD,△ABC的面積為15,

S^ACD=10=SdAB計(jì)S&CDF.

【知識(shí)點(diǎn)5倍長(zhǎng)中線模型模型】

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添

加輔助線.所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角

形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問題的方法.

【常見模型】

FF

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】

【例5】（2022秋?博興縣期末）如圖，5。是的中線,AB=6,BC=4,求中線的取值范圍.

【分析】延長(zhǎng)8。到E,使。E=BD,證明兩邊之和大于8E=2BD,兩邊之差小于BE=2BD,證明三角

形全等，得到線段相等，等量代換得1V8OV5.

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)8。到E,使DE=BD,連接人E,

是△A8C的中線，

：,AD=CD,

仁△AOK和△CO3中，

AD=CD

Z.ADE=Z.CDBf

BD=ED

A^ADE^/^CDB（SAS）,

：.AE=BC,

在△ABE中，有AB-AE<BE<AB+AE,

即2V2BOV10,

A1<BD<5.

【變式5-1］（2022?涪城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△/WC中，。是8c邊的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，BE=AC,

BE的延長(zhǎng)線交AC于F,求證：NAEF=NEAF.

【分析】延長(zhǎng)A。到G使OG=AZ）,連接8G,通過△AC￡>q/\G8。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NCA。

=/G,AC=BG,等量代換得到3E=BG,由等腰三角形的性質(zhì)得到NG=NBEG,即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)A。到G使。G=AO,連接3G,

在△ACO與△GB。中，

CD=BD

乙ADC=Z.BDG，

AD=DG

/.XACD二△GBD,

???NC4D=NG,AC=BG,

*：BE=AC,

:?BE=BG,

:?/G=NBEG,

*.*ZBEG=NAEF,

???ZAEF=ZEAF.

【變式5-2］（2022?海水縣校級(jí)模擬）（1）在△A8C中，AO為△ABC的中線，AB=6,AC=4,則AO的

取值范圍是1V4DV5；

（2）如圖，在△A8C中，AO為AABC的中線，點(diǎn)E在中線A。上，且BE=AC,連接并延長(zhǎng)BE交AC

于點(diǎn)F.求證：AF=FE.

【分析】（1）延長(zhǎng)A。到區(qū)使OE=A。，連接BE,利用“邊角邊”證明△AC。和△E8。全等，根據(jù)

全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=AC,再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第

三邊求出八上的取值范圍，然后求解即可.

（2）延長(zhǎng)A。到點(diǎn)G,使。G=OE,連接CG.證明△BOEgACOG（SAS）.由全等三角形的性質(zhì)可得

出4C=CG,ZBED=ZG.得出NG=NG4C,ZAEF=ZGAC,則可得出結(jié)論.

【解答】（1）解：如圖，延長(zhǎng)A。到E,使。E=A。，連接BE,

???A。為△ABC的中線，

:,BD=CD，

在△4CO和△￡8。中，

[DE=AD

\^ADC=乙EDB,

iBD=CD

:.△ACD@4EBD（SAS）,

BE=AC,

由二角形二邊關(guān)系得，6-4<AE<6+4,

即2VAEV10,

：.\<AD<5,

故答案為：1<AO<5.

（2）證明，延長(zhǎng)4。到點(diǎn)G,使。G=OE,連接CG.

A。是中線

：,BD=DC.

在△8。石和ACOG中,

BD=CD

Z.BDE=乙CDG，

DE=DG

:.ABDEgACDG(SAS).

:,BE=CG,ZBED=ZG.

???/AEF=NBFD,

ZAEF=ZG.

yBE=AC,

，AC=CG,

???NG=NG4C,

???ZAFE=ZGAC,

：.AE=EF.

\9

'：E

【變式5-3]（2022?丹陽(yáng)市期中）八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他

們一起活動(dòng)吧.

【