專題38排列組合與古典概型-《2023年高考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展》

專題排列組合與古典概型【熱點(diǎn)聚焦】近幾年的高考試題，計(jì)數(shù)原理常與古典概型綜合考查.排列組合、古典概型問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)原理，同時(shí)考查分類討論的思想及解決問題的能力．對(duì)排列組合除了獨(dú)立考查外，也常與古典概型綜合考查，也有在解答題中與古典概型等概率計(jì)算相結(jié)合進(jìn)行考查的情況．另外，古典概型與統(tǒng)計(jì)、與數(shù)學(xué)文化、與時(shí)代氣息等綜合考查成為一種趨勢(shì).【重點(diǎn)知識(shí)回眸】（一）基礎(chǔ)知識(shí)1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝mn種不同的方法2.排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合的定義合成一組3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)（二）處理排列組合問題的策略與原則：1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素.例如：用組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？2、尋找對(duì)立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對(duì)立面，再用全部可能的總數(shù)減去對(duì)立面的個(gè)數(shù)即可.3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個(gè)元素中取出個(gè)元素，再將這個(gè)元素進(jìn)行排列.但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時(shí)就要將過程拆分成兩個(gè)階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列.（三）排列組合的常見模型1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時(shí)，則可將相鄰元素視為一個(gè)整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可.2、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時(shí)，則可考慮用剩余元素“搭臺(tái)”，不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊（2）要從題目中判斷是否需要各自排序3、錯(cuò)位排列：排列好的個(gè)元素，經(jīng)過一次再排序后，每個(gè)元素都不在原先的位置上，則稱為這個(gè)元素的一個(gè)錯(cuò)位排列.例如對(duì)于，則是其中一個(gè)錯(cuò)位排列.3個(gè)元素的錯(cuò)位排列有2種，4個(gè)元素的錯(cuò)位排列有9種，5個(gè)元素的錯(cuò)位排列有44種.以上三種情況可作為結(jié)論記住4、依次插空：如果在個(gè)元素的排列中有個(gè)元素保持相對(duì)位置不變，則可以考慮先將這個(gè)元素排好位置，再將個(gè)元素一個(gè)個(gè)插入到隊(duì)伍當(dāng)中（注意每插入一個(gè)元素，下一個(gè)元素可選擇的空）5、不同元素分組：將個(gè)不同元素放入個(gè)不同的盒中6、相同元素分組：將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這個(gè)元素排成一列，共有個(gè)空，使用個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個(gè)元素劃分為個(gè)區(qū)域，剛好對(duì)應(yīng)那個(gè)盒子.7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可.（四）古典概型1.隨機(jī)事件的概率（1）事件的相關(guān)概念（2）頻率與概率的關(guān)系在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率fn(A)＝eq\f(nA,n)會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，則把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．（3）事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等事件若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并(和)事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?且A∪B＝U(U為全集)（4）概率的基本性質(zhì)=1\*GB3①任何事件A的概率都在[0,1]內(nèi)，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率為0，必然事件Ω的概率為1.=2\*GB3②如果事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．=3\*GB3③事件A與它的對(duì)立事件eq\x\to(A)的概率滿足P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1.=4\*GB3④結(jié)論：如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個(gè)事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．3．古典概型的特點(diǎn)4．古典概型的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).【典型考題解析】熱點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例1】（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B【典例2】（2020·全國·高考真題（文））如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個(gè)數(shù)之和為10．故選：C．【典例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，則可得平面直角坐標(biāo)系中第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．16 C．14 D．10【答案】C【分析】分M中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，N中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)和N中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，M中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)兩類討論求解.【詳解】分兩類情況討論：第一類，從中取的元素作為橫坐標(biāo)，從中取的元素作為縱坐標(biāo)，則第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)共有（個(gè)）；第二類，從中取的元素作為縱坐標(biāo)，從中取的元素作為橫坐標(biāo)，則第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)共有（個(gè)），由分類加法計(jì)數(shù)原理，所以所求個(gè)數(shù)為．故選：C【典例4】（2022·陜西·寶雞市陳倉高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．72【答案】D【分析】符合條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理分別求出其方法數(shù)，相加即可求得結(jié)果.【詳解】如圖：將五個(gè)區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，其中區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有2種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案有種方案，即48種方案；區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案有種方案，即24種方案；所以符合條件的涂色方案共有72種，故選：D.【總結(jié)提升】1.基本步驟：2.特別提醒(1)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確是分類還是分步：分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成．(2)較復(fù)雜的問題可借助圖表來完成．(3)對(duì)于涂色問題：分清元素的數(shù)目以及在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素．熱點(diǎn)二排列問題【典例5】（2016·四川·高考真題（理））用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．24 B．48C．60 D．72【答案】D【詳解】試題分析：由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選D.【典例6】（2022·湖北·高三開學(xué)考試）將語文?數(shù)學(xué)?英語?物理?化學(xué)?生物六本書排成一排，其中語文?數(shù)學(xué)相鄰，且物理?化學(xué)不相鄰，則不同的排法共有種___________.（用數(shù)字作答）【答案】144【分析】先利用捆綁法安排語文書、數(shù)學(xué)書，再用插空法安排物理書?化學(xué)書即可求解.【詳解】先利用捆綁法把語文書、數(shù)學(xué)書看作一個(gè)整體，有種；再把其與英語書、生物書進(jìn)行全排列，有種；再用插空法安排物理書?化學(xué)書，有種；所以一共有.故答案為：144【典例7】3名女生和5名男生排成一排．(1)若女生全排在一起，有多少種排法？(2)若女生都不相鄰，有多少種排法？(3)若女生不站兩端，有多少種排法？(4)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？(5)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？【答案】(1)4320．(2)14400．(3)14400．(4)20160.(5)30960．【解析】(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同5名男生合在一起有6個(gè)元素，排成一排有種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有種排法，因此共有·＝4320種不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有種排法，這5名男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有＝14400種不同排法．(3)法一(位置分析法)：因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?名男生中選2人排，有Aeq\o\al(2,5)種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有Aeq\o\al(6,6)種排法，因此共有＝14400種不同排法．法二(元素分析法)：從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生，有種排法，其余位置無限制，有種排法，因此共有＝14400種不同排法.(4)8名學(xué)生的所有排列共種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，因此符合要求的排法種數(shù)為＝20160.(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有種不同排法；甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè)，有種．而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上，有種，其余人全排列，共有種不同排法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有＋＝30960種不同排法．法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有種排法，余下7個(gè)位置全排，有種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種，因此共有－＝30960種排法．法三(間接法)：8名學(xué)生全排列，共種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時(shí)，有種排法，乙在最右邊時(shí)，有種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有種排法．因此共有－2＋＝30960種排法．【規(guī)律方法】求解排列應(yīng)用問題的六種基本方法熱點(diǎn)三組合問題【典例8】（2020·海南·高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別安排各場(chǎng)館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學(xué)中選名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場(chǎng)館.故不同的安排方法共有種.故選：C【典例9】（2016·全國·高考真題（理））如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【詳解】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18種走法．故選B．【典例10】（2018·全國·高考真題（理））從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)，之后應(yīng)用減法運(yùn)算，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.【規(guī)律方法】組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解．熱點(diǎn)四排列組合綜合問題【典例11】（2021·全國·高考真題（理））將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【典例12】（2020·山東·高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【分析】首先選3名男生和2名女生，再全排列，共有種不同安排方法.【詳解】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，再分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有種情況.所以共有種不同安排方法.故選：C【典例13】某課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩隊(duì)長當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選．【答案】(1)350種．(2)165種．(3)825(種))．(4)966種．【解析】(1)只有一名女生當(dāng)選等價(jià)于有一名女生和四名男生當(dāng)選．故共有＝350種．(2)兩隊(duì)長當(dāng)選，共有＝165種．(3)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選含有兩類：只有一名隊(duì)長當(dāng)選，有兩名隊(duì)長當(dāng)選．故共有＋＝825種．(或采用排除法：＝825(種))．(4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選，只有一名女生當(dāng)選，沒有女生當(dāng)選．故選法共有＝966種．【規(guī)律方法】求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.熱點(diǎn)五分組、分配問題【典例14】（2020·海南·高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，然后將2組學(xué)生安排到2個(gè)村即可.【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有種分法第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C【典例15】（2022·甘肅白銀·高三開學(xué)考試（理））6名志愿者要到，，三個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)志愿者只去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．105種 B．144種 C．150種 D．210種【答案】D【分析】先安排2名志愿者到A社區(qū)，再考慮剩余的4名志愿者，分為兩組，可以平均分，可以一組1人，一組3人，再對(duì)兩組進(jìn)行分配，從而求出最終答案.【詳解】先選出2名志愿者安排到A社區(qū)，有種方法，再把剩下的4名志愿者分成兩組，有兩種分法，一種是平均分為兩組，有種分法，另一種是1組1人，另一組3人，有種分法，再分配到其他兩個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有種.故選：D【典例16】（2020·全國·高考真題（理））4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.【答案】【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學(xué)在同一個(gè)小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計(jì)數(shù)原理得解.【詳解】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)先取2名同學(xué)看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：.【規(guī)律方法】分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個(gè)數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解．熱點(diǎn)六古典概型【典例17】（2022·全國·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.【典例18】（2021·全國·高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率為，故選：C.【典例19】（2019·全國·高考真題（理））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計(jì)算是住店問題，該重卦恰有3個(gè)陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計(jì)算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽爻情況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率為=，故選A．【典例20】（2022·全國·高考真題（文））從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】##0.3【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：【規(guī)律方法】用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本事件空間Ω所含的基本事件個(gè)數(shù)求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題的關(guān)鍵如下：①定型，即根據(jù)古典概型的特點(diǎn)——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數(shù)．③求值，代入公式P(A)求值．【精選精練】一、單選題1．（2022·福建·高三階段練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開設(shè)了籃球、書法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門活動(dòng)課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動(dòng)課程參加，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有（

）A．120種 B．150種 C．210種 D．216種【答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動(dòng)課程參加的方法數(shù)，減去3名學(xué)生所選活動(dòng)課程全部相同的方法數(shù)，從而求得正確答案.【詳解】依題意，每名同學(xué)都有種選擇方法，所以這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有種.故選：C2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）核糖核酸RNA是存在于生物細(xì)胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體．參與形成RNA的堿基有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，假設(shè)某一RNA分子由100個(gè)堿基組成，則不同的RNA分子的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】每個(gè)堿基有4種可能，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的RNA分子的種數(shù)為．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.3．（2022·山西·高三階段練習(xí)）從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)數(shù)是合數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)至少一個(gè)合數(shù)分兩類考慮：只有一個(gè)合數(shù)和兩個(gè)都是合數(shù)，即可根據(jù)組合進(jìn)行求解.【詳解】區(qū)間內(nèi)的整數(shù)共有9個(gè)，則合數(shù)有4，6，8，9，10，故至少有一個(gè)是合數(shù)的概率為故選：B4．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）用1，2，3…，9這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（

）A．600個(gè) B．540個(gè) C．480個(gè) D．420個(gè)【答案】A【分析】依題意要使各位數(shù)字之和為奇數(shù)則可能是個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，或個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，分兩種情況討論，按照分類、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】解：依題意要使各位數(shù)字之和為奇數(shù)則可能是個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，或個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，若為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，則偶數(shù)一定排在個(gè)位，從個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)排在個(gè)位有種，再在個(gè)奇數(shù)中選出個(gè)排在其余三個(gè)數(shù)位，有種排法，故有個(gè)數(shù)字；若為個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，則奇數(shù)不排在個(gè)位，從個(gè)奇數(shù)中選一個(gè)排在前三位有種，再在個(gè)偶數(shù)中選出個(gè)排在其余三個(gè)數(shù)位，有種排法，故有個(gè)數(shù)字；綜上可得一共有個(gè)數(shù)字；故選：A5．（2022·陜西·寶雞市陳倉高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，人們通過貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購物金額滿30元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有3名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的概率是（

）A．

B．

C．

D．【答案】A【分析】根據(jù)古典概型，利用排列，可求概率.【詳解】三人領(lǐng)取禮品共包含種，他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同，包含種情況，所以他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的概率.故選：A6．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）如圖，“天宮空間站”是我國自主建設(shè)的大型空間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙三個(gè)部分.假設(shè)有6名航天員(4男2女)在天宮空間站開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排4人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，且兩名女航天員不在一個(gè)艙內(nèi)，則不同的安排方案種數(shù)為（

）A．14 B．18 C．30 D．36【答案】B【分析】先求出總的安排方案數(shù)，再求出兩名女航天員在一個(gè)艙內(nèi)的方案數(shù)，兩者相減即可.【詳解】將6名航天員安排在3個(gè)實(shí)驗(yàn)艙的方案數(shù)為其中兩名女航天員在一個(gè)艙內(nèi)的方案數(shù)為所以滿足條件的方案數(shù)為種.故選:B.7．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））從2名女同學(xué)和3名男同學(xué)中任選2人參加志愿者服務(wù)，則選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的概率為（

）A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.5【答案】C【分析】選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的數(shù)量為，則所求概率為【詳解】由題，選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的概率為.故選：C8．（2022·河南安陽·高三開學(xué)考試（文））某學(xué)校開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，將兩名男生和兩名女生分配到兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)，每個(gè)農(nóng)場(chǎng)需要兩人，則兩名女生被分配到不同農(nóng)場(chǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分組分配的方法可確定總體的分配方法數(shù)和女生分配到不同農(nóng)場(chǎng)的方法數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】將兩名男生和兩名女生分配到兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)，每個(gè)農(nóng)場(chǎng)需要兩人，共有種分配方法；其中兩名女生被分配到不同農(nóng)場(chǎng)的情況有種；所求概率.故選：A.9．（2022·重慶八中高三開學(xué)考試）用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中5個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，并且從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法種數(shù)為（

）A．6 B．10 C．16 D．20【答案】B【分析】根據(jù)題意，分情況討論，求出每種情況對(duì)應(yīng)的染色方法種數(shù)，即可得出結(jié)果【詳解】解：依題意，第一個(gè)格子必須為黑色，則出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子包含的情況有：①全染黑色，有1種方法；②第一個(gè)格子染黑色，另外四個(gè)格子中有1個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有種方法；③第一個(gè)格子染黑色，另外四個(gè)格子中有2個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有種方法；所以出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法有種，故選：B10．（2021·上海市行知中學(xué)高三開學(xué)考試）定義域?yàn)榧仙系暮瘮?shù)滿足：①、、構(gòu)成等比數(shù)列；②；③；這樣的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．456 B．465 C．546 D．564【答案】C【分析】分析出的所有可能取值，得到使中、、構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，再運(yùn)用計(jì)數(shù)原理及排列組合求出這樣的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)即可.【詳解】解：的取值的最大值為，最小值為，并且成以2為公差的等差數(shù)列，故的取值為8，6，4，2，0，，，，的取值為14，12，10，8，6，4，2，0，，，，，，，所以能使中的、、成等比數(shù)列時(shí)，、、的取值只有兩種情況：①、、；②、、．，或，即得到后項(xiàng)時(shí)，把前項(xiàng)加1或者把前項(xiàng)減1，（1）當(dāng)、、時(shí)，想要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從變化到，第二步：從變化到．從變化到時(shí)有7次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應(yīng)從7次中選擇4步加1，剩余的3步減1．對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種，從變化到時(shí)有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇4步加1，剩余2步減1，對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種．共有種方法；（2）當(dāng)、、時(shí)，想要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步，變化到，第二步：從變化到，從變化到時(shí)有7次變化，函數(shù)值從1變化到，故應(yīng)從7次中選擇2步加1，剩余的5步減1，對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種，從變化到時(shí)有6次變化，函數(shù)值從變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇6步加1，對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種，共有種方法．綜上，滿足條件的共有種.故選：C．二、多選題11．（2022·吉林·東北師大附中高三開學(xué)考試）某學(xué)生在物理?化學(xué)?生物?政治?歷史?地理?技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為【答案】ABC【分析】根據(jù)組合數(shù)判斷A，分物理和化學(xué)選一門與選兩門兩種情況，即可判斷B，利用間接法即可判斷C，分3種情況，分別討論計(jì)算，即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，可判斷A正確；對(duì)于B．若物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的5門中選2門，有種選法，若物理和化學(xué)選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的5門中選1門，有種選法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B正確；對(duì)于C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為種，故C正確；對(duì)于D．若物理和化學(xué)至少選一門，有3種情況，①只選物理有且物理和歷史不同時(shí)選，有種選法；②選化學(xué)，不選物理，有種選法；③物理與化學(xué)都選，有種選法，故總數(shù)為種，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題12．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）普羅斯數(shù)是具有如下形式的數(shù)：，其中是奇數(shù)，是正整數(shù)，且.如就是一個(gè)普羅斯數(shù).普羅斯數(shù)是以數(shù)學(xué)家法蘭西斯普羅斯的名字命名的，結(jié)合普羅斯定理可以用來判斷普羅斯數(shù)是否為素?cái)?shù).現(xiàn)從30以內(nèi)的6個(gè)普羅斯數(shù)中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)的概率為___________.【答案】##0.4【分析】根據(jù)題意，寫出30以內(nèi)的普洛斯數(shù)，共6個(gè)，其中找去素?cái)?shù)，共4個(gè)，由古典概型概率公式，可得答案.【詳解】易知30以內(nèi)的6個(gè)普羅斯數(shù)分別為3，5，9，13，17，25（），其中素?cái)?shù)有4個(gè)，從中任取兩個(gè)，由古典概型可知，這兩個(gè)都是素?cái)?shù)的概率為.故答案為：.13．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））從2名醫(yī)生、4名護(hù)士中選取1名醫(yī)生、2名護(hù)士支援一線抗疫，護(hù)士甲恰被選中的概率為______．【答