小初高試卷模板

1/26第頁專題4-3等差數(shù)列的前n項和總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】等差數(shù)列前n項和的基本量計算【題型2】前n項和與等差中項【題型3】片段和性質(zhì)【題型4】Snn的性質(zhì)【題型5】由Sn求通項公式（6種類型全歸納）【題型6】兩個等差數(shù)列前n項和之比【題型7】偶數(shù)項或奇數(shù)項的和【題型8】等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系【題型9】等差數(shù)列前n項和的最值【題型10】含絕對值的等差數(shù)列前n項和【題型11】等差數(shù)列的簡單應(yīng)用【題型12】等差數(shù)列前n項和性質(zhì)綜合（累加，前n項積，隔項等差，奇偶數(shù)列）題型題型匯編知識梳理與?？碱}型【題型1】等差數(shù)列前n項和的基本量計算等差數(shù)列的前n項和公式公式一：=；公式二：=【例題1】（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【例題2】已知等差數(shù)列的前n項和為.若，且，則【例題3】已知等差數(shù)列的前n項和為，若則.【例題4】設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，，若時，，則等于（

）A．11 B．12 C．20 D．22【鞏固練習(xí)1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a4=7，S4A．3 B．4 C．5 D．6【鞏固練習(xí)2】（2023·全國·高考1卷真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．，若，求的通項公式；【鞏固練習(xí)3】（24-25·湖北宜昌·期中）記為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知為等差數(shù)列的前n項和，若，，則．【鞏固練習(xí)5】（2023·全國·高考II卷真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，，求的通項公式；【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·浙江嘉興·期末）已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，且，，，則（

）A． B． C． D．【題型2】前n項和與等差中項若項數(shù)為，則(an是數(shù)列的中間項)，例如，，【例題1】（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【例題2】已知等差數(shù)列，其前項和為，則（

）A．24 B．36 C．48 D．64【例題3】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）等差數(shù)列的前項和為，若為定值時也是定值，則的值為（

）A．9 B．11 C．13 D．不能確定【例題4】（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．5 B．10 C． D．15【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A． B． C．1 D．2【鞏固練習(xí)2】為等差數(shù)列的前n項和，，，則該等差數(shù)列的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·吉林·開學(xué)考試）等差數(shù)列的前項和為.若，則（

）A．8096 B．4048 C．4046 D．2024【鞏固練習(xí)4】等差數(shù)列的前n項和為，若，，則公差．【鞏固練習(xí)5】（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【鞏固練習(xí)6】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）等差數(shù)列的前n項和為Sn，當為定值時，也是定值，則k的值為（

）A．11 B．13 C．15 D．不能確定【鞏固練習(xí)7】已知數(shù)列的前項和為，且數(shù)列滿足．若，則（

）A．9 B．10 C．17 D．19【鞏固練習(xí)8】（22-23高二上·浙江臺州·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若公差，且，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【題型3】片段和性質(zhì)等差數(shù)列中,其前項和為,則中連續(xù)的項和構(gòu)成的數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列.【例題1】（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，則________【例題2】（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【例題3】已知等差數(shù)列的前項和為40，前項和為420，則前項和為（

）A．140 B．180 C．220 D．380所以等差數(shù)列的前項和為.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知等差數(shù)列，前項和為，則（

）A．20 B．25 C．30 D．35【鞏固練習(xí)2】（23-24高二下·廣東廣州·期末）在等差數(shù)列中，為其前項和，若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．12【鞏固練習(xí)3】等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A．10 B．20 C．30 D．15【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·天津·期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且，，則.【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差數(shù)列中，若，則=（

）A．100 B．120 C．57 D．18【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【鞏固練習(xí)7】設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，，則.【題型4】前n項和與n的比（Snn的性質(zhì)）{an}為等差數(shù)列為等差數(shù)列【例題1】已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，且，，則（

）A．63 B．72 C．135 D．144【例題2】已知等差數(shù)列前n項和為，其中，則＝.【例題3】（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【例題4】在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Snn是等差數(shù)列，且S10A．14 B．-94 C．5【鞏固練習(xí)2】已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】（多選）若等差數(shù)列的公差為，前項和為，記，則（

）A．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列B．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列C．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列D．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)5】已知等差數(shù)列的前項和為，，，則.【鞏固練習(xí)6】（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）等差數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則數(shù)列的前100項的和為（

）A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050【鞏固練習(xí)7】（23-24高二上·河北保定·期末）已知數(shù)列滿足，的前項和為，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)8】已知等差數(shù)列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．【題型5】由Sn求通項公式（6種類型全歸納）由Sn求通項公式一般都要驗證首項是否滿足通項公式1、已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系時用，得到類型一：首項滿足通項公式例：類型二：首項不滿足通項公式即首項不可合并，即例：類型三：以的形式出現(xiàn) 例：已知求2、已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系時，替換題中的類型四：消保留 例：①已知；②已知3、對于式子中有提到且出現(xiàn)關(guān)于和的二次式可以考慮利用十字相乘進行因式分解．類型五：因式分解型 例：，類型六：已知為等差數(shù)列 對于題目中已經(jīng)提到為等差數(shù)列時，一般不用，得到，而是令，求基本量和【例題1】若等差數(shù)列的前n項和為，則該數(shù)列的公差為．【例題2】已知數(shù)列前n項和為，求數(shù)列的通項公式.【例題3】已知數(shù)列的前項和為，且有．求數(shù)列的通項公式.【例題4】已知數(shù)列的前n項和為，，且，求通項公式．【例題5】為數(shù)列的前項和，已知，則的通項公式=．【例題6】設(shè)等差數(shù)列前項和，，滿足，，求數(shù)列的通項公式【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列的前項和，．若是等差數(shù)列，則的通項公式為．【鞏固練習(xí)2】已知數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的通項公式________【鞏固練習(xí)3】已知正項數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．1 C． D．2【鞏固練習(xí)4】在數(shù)列中，，求的通項公式.【鞏固練習(xí)5】設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，求【鞏固練習(xí)6】設(shè)等差數(shù)列前項和，，滿足，，求數(shù)列的通項公式【鞏固練習(xí)7】已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項和為，且是公差為的等差數(shù)列,求數(shù)列的通項公式【題型6】兩個等差數(shù)列前n項和之比若{an},{bn}都為等差數(shù)列，Sn,Tn分別為它們的前n項和，則【例題1】兩個等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【例題2】等差數(shù)列、的前項和分別為與，且，則（

）A． B． C． D．【例題3】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，都有，則的值為.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·湖北荊州·期末）已知兩等差數(shù)列，，前n項和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列與的前項和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】設(shè)數(shù)列和都為等差數(shù)列，記它們的前項和分別為和，滿足，則【鞏固練習(xí)4】（22-23高二上·浙江嘉興·期末）已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)5】已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【鞏固練習(xí)6】已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且，則使恒成立的實數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【鞏固練習(xí)7】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）(多選)已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C．使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為0 D．的最小值為【題型7】偶數(shù)項或奇數(shù)項的和等差數(shù)列奇偶項和的性質(zhì)：1、若項數(shù)為,①則.②2、若項數(shù)為，①則(an是數(shù)列的中間項)，②，③【例題1】已知等差數(shù)列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【例題2】（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項，奇數(shù)項之和為60，偶數(shù)項之和為54，則．【例題3】已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】已知是等差數(shù)列，其中，，________.【鞏固練習(xí)2】一個等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為15，則這個數(shù)列的第6項是．【鞏固練習(xí)3】已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，偶數(shù)項的和為32，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【鞏固練習(xí)4】求下列兩題：(1)等差數(shù)列前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為32∶27，求該數(shù)列的公差；(2)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求該數(shù)列的中間項．【題型8】等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列{}的前n項和，令，，則.(1)當A＝0，B＝0(即d＝0，＝0)時，＝0是常數(shù)函數(shù)，{}是各項為0的常數(shù)列．(2)當A＝0，B≠0(即d＝0，≠0)時，＝Bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，{}是各項為非零的常數(shù)列．(3)當(即)時,是關(guān)于的二次函數(shù)式(常數(shù)項為0).數(shù)列的圖象是拋物線上的一群孤立的點.【例題1】（高二下·廣東佛山·期中）(多選)等差數(shù)列中，，公差，為其前n項和，對任意正整數(shù)n，若點在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線不可能是（

）A．B．C．D．【例題2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，是其前n項和，且，，則正整數(shù)k為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【鞏固練習(xí)1】在等差數(shù)列中，首項，公差，為其前n項和，則點可能在下列哪條曲線上？（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】(多選)設(shè)是公差為的等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是（

）A．若，則數(shù)列有最大項B．若數(shù)列有最大項，則C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有D．若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·湖北武漢·期末）(多選)已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．是遞減數(shù)列 B．C．使時的最小值是21 D．最小時，【鞏固練習(xí)4】（22-23高二上·湖北武漢·期末）(多選)等差數(shù)列的前項和為，若，公差，且，則下列命題正確的有（

）A．是數(shù)列中的最大項 B．是數(shù)列中的最大項C． D．滿足的的最大值為【題型9】等差數(shù)列前n項和的最值求等差數(shù)列前n項和的最值的常用方法：(1)鄰項變號法：①若,則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得的最小值.②若,則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得的最大值.(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(3)不等式組法：借助當Sn最大時，有，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.【例題1】已知等差數(shù)列,求數(shù)列前n項和的最大值，并求解此時的n為何值.【答案】的最大值為78，此時或.【分析】判斷數(shù)列的單調(diào)性，求出時的最大值，再求出前n項和即可.【詳解】等差數(shù)列的公差，當時，，因此數(shù)列是遞減等差數(shù)列，前12項均為正，第13項為0，從第14項起為負，所以當或時，數(shù)列前n項和最大，.【例題2】（多選）已知無窮等差數(shù)列的前項和為，，且，則（

）A．在數(shù)列中，公差 B．當時，取得最大值C． D．使的最大正整數(shù)為14【例題3】已知等差數(shù)列中，，設(shè)其前n項和為，當且僅當時取得最大值，則公差d的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題4】（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是的前n項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最小值.【鞏固練習(xí)1】為等差數(shù)列，若，，那么取得最小正值時，的值（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知等差數(shù)列的公差不為，其前項和為，且，，當取得最小值時，（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·山東濟寧·期末）(多選)已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．時，n的最大值為13C．數(shù)列中的最大項為 D．時，n的最大值為27【鞏固練習(xí)4】（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）(多選)設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，為其前項的和，且，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．，均為的最大值【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·湖北武漢·期末）(多選)已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．當時，取得最小值 D．【鞏固練習(xí)6】（23-24高二上·江蘇揚州·階段練習(xí)）(多選)設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項的和，且，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)7】所以取得最小正值時，的值為已知等差數(shù)列的前項和為，且，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C．數(shù)列是遞減數(shù)列 D．中最大【鞏固練習(xí)8】（22-23高二下·安徽·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差為d，首項，當且僅當時，其前n項和取得最大值，則d的取值范圍是．【鞏固練習(xí)9】已知等差數(shù)列中，，當且僅當時，前項和取得最小值，則公差的取值范圍是.【題型10】含絕對值的等差數(shù)列前n項和找到數(shù)列中首次出現(xiàn)非正或非負數(shù)的位置，這通常發(fā)生在數(shù)列的中間部分，具體位置取決于和d的符號與大小。根據(jù)該轉(zhuǎn)折點將數(shù)列分為兩部分處理：一是所有正數(shù)項（或絕對值）的和，二是所有負數(shù)項（取其相反數(shù)后）的和。最后，將這兩部分的和相加即得整個數(shù)列前n項的絕對值之和?！纠}1】數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和．【例題2】已知,若，求數(shù)列的前n項和．【鞏固練習(xí)1】（24-25高二上·江蘇徐州·期中）在等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）A．281 B．651 C．701 D．791【鞏固練習(xí)2】（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項和，已知.則數(shù)列的前20項和為．【鞏固練習(xí)3】已知,設(shè)，求數(shù)列的前項和.【鞏固練習(xí)4】（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【鞏固練習(xí)5】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．【鞏固練習(xí)6】（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求取最大值時的值；(3)設(shè)，求．【鞏固練習(xí)7】等差數(shù)列的前項和為,當為何值時，最??？并求此最小值.【題型11】等差數(shù)列的簡單應(yīng)用【例題1】已知從冬至日起，小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個節(jié)氣的日影長減等寸（減等寸：以相等的尺寸減少）.若雨水的日影長為95寸，冬至?小寒?大寒?立春的日影長之和為480寸，則冬至的日影長為（

）A．135寸 B．130寸 C．125寸 D．120寸【例題2】中國載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務(wù).運送“神十八”的長征二號運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加3km，在達到離地面222km的高度時，火箭開始進入轉(zhuǎn)彎程序，從點火到進入轉(zhuǎn)彎程序大約需要12秒，則的值為.【例題3】【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·云南迪慶·期末）明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由，，和求各項的問題，如九兒問甲歌：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七.借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.”意思是一位老人有九個兒子，不知道他們的出生年月，他們的年齡從大到小排列都差3歲，所有兒子的年齡加起來是207.只要算出長子是多少歲，其他每個兒子的歲數(shù)就可以推算出來，則該問題中老人長子的歲數(shù)為（

）A．27 B．31 C．35 D．39【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·河南洛陽·期末）周髀算經(jīng)中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，小寒、立春、驚蟄日影長之和為尺，前八個節(jié)氣日影長之和為尺，則谷雨日影長為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【鞏固