數(shù)學學案：課堂探究推出與充分條件、必要條件

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一充分條件、必要條件的判斷要判斷p是q的充分條件、必要條件首先應分清條件p和結(jié)論q，然后按下面的一般步驟進行判斷．(1)判定“若p，則q”的真假．（2）嘗試從條件推結(jié)論,若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．（3)嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件,否則就不是必要條件．【典型例題1】在下列各題中，判斷p是q的什么條件．(1)p：x－2＝0，q：（x－2)(x－3）＝0；(2)p：m＜－2，q:方程x2－x－m＝0無實根;(3)p:一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等．思路分析：解決此類問題就是要判定命題“如果p，則q”和命題“如果q，則p”的真假．解：(1)因為x－2＝0(x－2)(x－3）＝0，而（x－2）(x－3)＝0x－2＝0，所以p是q的充分不必要條件．(2）因為m＜－2方程x2－x－m＝0無實根，而方程x2－x－m＝0無實根m＜－2，所以p是q的充分不必要條件．（3）因為pq，而qp，所以p是q的充分不必要條件．探究二利用充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍解答有關(guān)利用充分條件、必要條件求參數(shù)范圍問題的關(guān)鍵是將充分條件、必要條件等價轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，利用集合之間的包含關(guān)系來解決．【典型例題2】已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0），若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．思路分析：根據(jù)q是p的充分不必要條件，找出p和q對應的集合間的關(guān)系，列出不等式組，求出m的范圍．解：令命題p對應的集合為A,命題q對應的集合為B，由x2－8x－20＜0，得（x－10）(x＋2)＜0，解得－2＜x＜10，所以A＝{x｜－2＜x＜10}．又由x2－2x＋1－m2＜0，得［x－（1＋m)]［x－（1－m)]＜0,因為m＞0，所以1－m＜x＜1＋m，所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0｝．因為q是p的充分不必要條件,所以BA.所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m〉0,,1＋m≤10，,1－m≥－2,）)且兩等號不能同時成立．解得0＜m≤3。經(jīng)檢驗知m＝3時符合題意．所以m的取值范圍是（0，3］．規(guī)律小結(jié)用集合的觀點理解充分條件、必要條件和充要條件：首先建立與p，q相對應的集合，即p：A＝{x|p(x）}，q：B＝{x｜q(x）｝.若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA,則p是q的必要條件,若BA，則p是q的必要不充分條件若A＝B，則p，q互為充要條件若AB，BA，則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件探究三充要條件的證明與探求要證明一個條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真．在證明的過程中也可以利用集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論．而要探求一個命題成立的充要條件一般有兩種處理方法：(1)先由結(jié)論成立推出命題成立的必要條件，然后再證明其充分性;（2）等價性：將一個命題等價轉(zhuǎn)化為另一個命題，列出使該命題成立的充要條件．【典型例題3】已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.思路分析：（1)證明題的步驟一定要規(guī)范嚴謹；(2）分清題目的條件與結(jié)論．證明：先證必要性：因為a＋b＝1，即b＝1－a，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a）3＋a（1－a）－a2－(1－a）2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.再證充分性：因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2－ab＋b2）＝0，所以（a＋b－1)(a2－ab＋b2）＝0.由ab≠0，即a≠0，且b≠0，所以a2－ab＋b2≠0,只有a＋b＝1.綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0?！镜湫屠}4】求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件．思路分析:結(jié)合一元二次方程的判別式，利用韋達定理列出不等式組求解．解:①a＝0時，方程有一個負實根．②a≠0時，顯然方程沒有零根．若方程有兩個異號的實根,則a＜0；若方程有兩個負實根，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1，a)〉0，，－\f（2，a）〈0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0＜a≤1。綜上知：若方程至少有一個負實根，則a≤1；反之，若a≤1，則方程至少有一個負實根．因此，關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是a≤1.點評若令f（x）＝ax2＋2x＋1，由f（0)＝1≠0，可排除方程一個根為負根，另一根為0的情形，并要注意，不能忽視對a＝0的特殊情況進行討論．探究四易錯辨析易錯點充分條件、必要條件與集合關(guān)系的轉(zhuǎn)化不等價【典型例題5】已知p：A＝｛x｜x2－5x－6＜0}，q：B＝｛x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分條件，求a的取值范圍．錯解:由x2－5x－6＜0,得－1＜x＜6。因為p是q的充分條件，故2a＞6，即a＞3.所以a的