數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究不等式的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖3—4-1所示）,由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米,如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米248元,池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià).圖3-4-1思路分析：在利用均值不等式求最值時(shí),必須考慮等號(hào)成立的條件,若等號(hào)不能成立,通常要用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，則寬為米（0＜x≤16,0＜≤16)，∴12。5≤x≤16.于是總造價(jià)Q（x）=400（2x+2·）+248·2·+80×200=800(x+）+16000≥800·+16000=44800。當(dāng)且僅當(dāng)x=（x＞0）,即x=18時(shí)等號(hào)成立,而18［12.5,16］，∴Q（x)＞44800。下面研究Q（x）在[12。5，16］上的單調(diào)性.對(duì)任意12.5≤x1＜x2≤16，則x2-x1＞0，x1·x2＜162＜324。Q（x2）-Q（x1）=800[(x2—x1）+324（）]=800·＜0?！郠(x2)＜Q(x1）?！郠（x）在［12。5,16］上是減函數(shù).∴Q(x）≥Q(16）=45000。答：當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米,寬為12。5米時(shí),總造價(jià)最低，最低造價(jià)為45000元.綠色通道：解答應(yīng)用題四步法：(1）讀題;（2)建模；（3）求解；(4）評(píng)價(jià)。在解決函數(shù)、不等式綜合問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問(wèn)題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問(wèn)題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能。因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件。黑色陷阱:如果忽視函數(shù)的定義域，就會(huì)導(dǎo)致運(yùn)用均值不等式求最值時(shí),不判斷等號(hào)能否成立的條件，從而得到最低總造價(jià)為44800元.變式訓(xùn)練甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位)由可變部分和固定部分組成,可變部分與速度v（km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.（1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v（km/h）的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解法一：(1)依題意，知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv2·=s(+bv).∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s（+bv），v∈（0，c］.(2）依題意知，s、a、b、v均為正數(shù)，∴s（+bv)≥.①當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)，①式中等號(hào)成立.若≤c，則當(dāng)v=時(shí)，有ymin；若＞c，則當(dāng)v∈(0,c]時(shí)，有s（+bv)—s（+bc）=s［(—)+（bv-bc）］=(c—v）(a—bcv）.∵c-v≥0,且a＞bc2,∴a—bcv≥a-bc2＞0?！鄐（+bv)≥s(+bc)，當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，有ymin.綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)≤c時(shí),行駛速度應(yīng)為v=；當(dāng)＞c時(shí),行駛速度應(yīng)為v=c。解法二：(1)同解法一。(2）∵函數(shù)y=x+(k＞0）,x∈（0,+∞），當(dāng)x∈（0,）時(shí)y單調(diào)減小，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x=時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=sb(v+),v∈（0,c］?！喈?dāng)≤c時(shí)，則當(dāng)v=時(shí)，y最小，若＞c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小。結(jié)論同上。例2某地區(qū)上年度電價(jià)為0。8元／kW·h,年用電量為akW·h.本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元／kW·h至0。75元／kW·h之間，而用戶期望電價(jià)為0。4元／kW·h.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為ｋ）。該地區(qū)電力的成本價(jià)為0。3元／kW·h。（1）寫(xiě)出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門(mén)的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;（2)設(shè)ｋ=0。2a，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng)20％？〔注：收益=實(shí)際用電量×（實(shí)際電價(jià)—成本價(jià)）〕思路分析:(1）關(guān)鍵是弄清“新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比"，并用式子表示出來(lái)。（2）在（1)的基礎(chǔ)上解不等式。解：(1）設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為x元／kW·h，依題意,知用電量增至+a，電力部門(mén)的收益y=（+a)（x-0。3）（0。55≤x≤0。75).（2）依題意，有整理得解此不等式,得0.60≤x≤0.75。所以當(dāng)電價(jià)最低定為0。60元／kW·h時(shí),仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng)20%。變式訓(xùn)練1有一批影碟機(jī)(VCD）原銷售價(jià)為每臺(tái)800元,在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷售.甲商場(chǎng)用如下的方法促銷：買一臺(tái)單價(jià)為780元，買兩臺(tái)每臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類推，每多買一臺(tái)則所買各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)最低不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75％銷售。某單位需購(gòu)買一批此類影碟機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少？思路分析：根據(jù)題意，首先要找出兩個(gè)商場(chǎng)的花費(fèi)與購(gòu)買量的函數(shù)關(guān)系式，然后建立差價(jià)與臺(tái)數(shù)的函數(shù)，通過(guò)解不等式來(lái)確定大小。解：設(shè)某單位需購(gòu)買x臺(tái)影碟機(jī)，甲、乙兩商場(chǎng)的購(gòu)貨款的差價(jià)為y，當(dāng)800-20x≥440,即1≤x≤18時(shí),去甲商場(chǎng)購(gòu)買共花費(fèi)（800-2x)x,當(dāng)x＞18時(shí)，花費(fèi)440x。去乙商場(chǎng)購(gòu)買共花費(fèi)600x,x∈N+,∴y=故若買少于10臺(tái),去乙商場(chǎng)花費(fèi)較少；若買10臺(tái)，去甲、乙商場(chǎng)花費(fèi)一樣；若買超過(guò)10臺(tái)，去甲商場(chǎng)花費(fèi)較少.變式訓(xùn)練2某縣地處水鄉(xiāng)，縣政府原計(jì)劃從今年起填湖圍造一部分生產(chǎn)和生活用地，但根據(jù)前幾年抗洪救災(zāi)得到的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和環(huán)境保護(hù)、生態(tài)平衡的要求,準(zhǔn)備重新研究修改計(jì)劃，為了尋求合理的計(jì)劃方案，需要研究以下問(wèn)題：（1）若按原計(jì)劃填湖造地，水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的下降,為了保證防洪能力不會(huì)下降，除了填湖每畝b元費(fèi)用外，還需要增加排水設(shè)備費(fèi)用，所需經(jīng)費(fèi)與當(dāng)年所填湖造地面積x(畝)的平方成正比,其比例系數(shù)為a，又知每畝地面的年平均收益為c元（其中a、b、c均為常數(shù)），若按原計(jì)劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值.（2）如果以每年1％的速度減少填湖造地的新增面積,并為了保證水面的蓄洪能力和環(huán)保要求，填湖造地的總面積永遠(yuǎn)不能超過(guò)現(xiàn)有水面面積的，求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾？思路分析:收益不小于支出的含義就是收益與支出的差不小于0，因此本題變成一個(gè)解不等式問(wèn)題,當(dāng)然本題中都是字母給出的量，所以要對(duì)結(jié)果進(jìn)行分類討論。解:（1）收益不少于支出的條件可以表示為cx-（ax2+bx）≥0.所以ax2+（b-c）x≤0，x［ax—（c-b）］≤0.當(dāng)c-b≤0時(shí)，≤x≤0，此時(shí)不能填湖造地；當(dāng)c—b＞0時(shí)，0≤x≤,此時(shí)所填面積的最大值為畝。（2）設(shè)該縣的現(xiàn)有水面為m畝，今年填湖造地的面積為x畝，則x+(1-1％）x+（1—1％)2x+…≤,不等式左邊是無(wú)窮等比數(shù)列的和，故有≤,即x≤=0.25%m，所以今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的0.25%。例3如圖3—4-2，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比?，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì)）？圖3—4-2思路分析：一種方法是建立在函數(shù)的思想上，求函數(shù)的值域。另一種方法重在思考a+2b與ab的關(guān)系,結(jié)合均值不等式求解.解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=，其中k＞0為比例系數(shù)，依題意，即求使y值最小時(shí)的a、b的值.根據(jù)題設(shè),有4b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0)，得b=(0＜a＜30).①于是y=≥.當(dāng)a+2=時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值。這時(shí)a=6,a=-10（舍去）。將a=6代入①式,得b=3.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二:依題意，知所求的a、b值使ab最大.由題設(shè)知4b+2ab+2a=60(a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）.∵a+2b≥，∴≤30，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí),上式取等號(hào)。由a＞0，b＞0,解得0＜ab≤18，即當(dāng)a=2b時(shí),ab取得最大值，其最大值為18.∴2b2=18。解得b=3，a=6.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。綠色通道：求最值或者取值范圍問(wèn)題，首先考慮建立函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的方法來(lái)求.均值不等式也是求最值的重要方法,尤其是出現(xiàn)和與積的形式時(shí)，常把所求的量放在不等式中去考察。黑色陷阱:解法一建立函數(shù)時(shí)忽視函數(shù)的定義域。變式訓(xùn)練若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是______________。思路解析:思考a+b與ab的關(guān)系,聯(lián)系均值不等式求解,或建立在函數(shù)的思想上，求函數(shù)的值域。方法一：令=t（t＞0）,由ab=a+b+3≥，得t2≥2t+3.解得t≥3,即≥3。故ab≥9.方法二：由已知,得ab—b=a+3,b（a-1)=a+3,∴b=(a＞1）?！郺b=a=［（a—1）+1］=a+3+=a-1+4++5≥。當(dāng)且僅當(dāng)a—1=時(shí)取等號(hào),即a=b=3時(shí)ab的最小值為9.所以ab的取值范圍是［9，+∞）。答案：［9,+∞)問(wèn)題探究在均值不等式、不等式的實(shí)際應(yīng)用中，不少問(wèn)題是以函數(shù)f（x）=ax+（a＞0,b＞0)為模型進(jìn)行討論的，因此對(duì)函數(shù)f(x）=ax+（a＞0，b＞0）的性質(zhì)要熟練掌握。問(wèn)題如何應(yīng)用這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)、均值不等式求最值？導(dǎo)思:研究函數(shù)的性質(zhì)需從定義域、值域、