數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究等差數(shù)列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精典題精講例1已知a，b，c，d四數(shù)依次成等差數(shù)列,且a2+b2+c2+d2=94，ad—bc=-18，求a，b,c,d.思路分析：在等差數(shù)列中,已知五個(gè)元素a1,an，n，d，Sn中任意三個(gè)，便可求出其余的兩個(gè).已經(jīng)給出兩個(gè)等式,而未知數(shù)有四個(gè)，應(yīng)該有四個(gè)方程才行.那么，能否減少未知數(shù)個(gè)數(shù)呢?考慮到等差數(shù)列的結(jié)構(gòu),不妨取公差為2d,這樣四個(gè)數(shù)可表示為x—3d，x—d,x+d，x+3d,根據(jù)其對(duì)稱的表達(dá)式，很容易解出x,d.解:將a,b，c，d表示為x-3d，x-d，x+d,x+3d.由題意，有即∴d2=,x2=.當(dāng)x=,d=時(shí)，四個(gè)數(shù)依次為-1,2，5，8;當(dāng)x=，d=時(shí)，依次為8，5,2,-1;當(dāng)x=,d=時(shí),四個(gè)數(shù)依次為-8，-5，—2，1;當(dāng)x=,d=時(shí),四個(gè)數(shù)依次為1,-2,—5，—8。綠色通道：在設(shè)等差數(shù)列時(shí),適當(dāng)?shù)刈⒁鈱?duì)稱性可有效地減少運(yùn)算,如三數(shù)成等差,可設(shè)為a-d，a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為a-3d,a—d,a+d，a+3d,這樣在計(jì)算時(shí)，如遇到乘積、平方和這些我們平時(shí)很“怵"的問(wèn)題,都可以迎刃而解了。黑色陷阱:在設(shè)a,b，c,d時(shí),很容易設(shè)等差數(shù)列的公差為m，則b=a+m,c=a+2m,d=a+3m,這樣運(yùn)算量就太大了,且運(yùn)算量大導(dǎo)致錯(cuò)誤的機(jī)率大。變式訓(xùn)練（2006全國(guó)高考Ⅰ,理10）設(shè)｛an｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,則a11+a12A。120B.105C.90思路解析：{an｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,設(shè)a1=a2—d，a3=a2+d，則可得3a2=15，（a2—d）a2解得a2=5,a1a3a12=a2+10d=35.∴a11+a12+a13=3a12=105。答案:B例2等差數(shù)列｛an｝中,a1=25，S17=S9,問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大，求此最大值。思路分析:數(shù)列的首項(xiàng)是正數(shù),而且求出的公差是負(fù)數(shù)，可知這個(gè)數(shù)列是遞減數(shù)列,到某一項(xiàng)開(kāi)始出現(xiàn)負(fù)項(xiàng),則這個(gè)數(shù)列存在前n項(xiàng)和最大的情況,即所有的正數(shù)項(xiàng)的和是最大的。解法一:由得從而Sn=25n+（—2)=-（n-13)2+169。故前13項(xiàng)和最大，且最大值為169。解法二:由S17==9a5以及S17=S9,得d=—2.所以an=a1+(n-1）d=25—2（n—1)=27—2n。顯然，a13=1,a14=—1.所以前13項(xiàng)和最大,最大值為S13==169。綠色通道:數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的解決可從兩個(gè)方面思考：(1)求出前n項(xiàng)和公式,利用函數(shù)的最值解決;(2）結(jié)合數(shù)列的特征,運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的思路解決。當(dāng)一個(gè)數(shù)列是遞減數(shù)列時(shí)，一定會(huì)出現(xiàn)一個(gè)時(shí)刻:在此之前的項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)，而后面的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，顯然最值問(wèn)題很容易判斷。第二種思路運(yùn)算量小,可簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高計(jì)算的正確率。這兩種思路都是在函數(shù)思想指導(dǎo)下完成的。變式訓(xùn)練設(shè)等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12，且S12＞0,S13＜0.(1）求公差d的取值范圍.(2）該數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最大？說(shuō)明理由.思路分析:為了求公差d的取值范圍,顯然要設(shè)法把S12,S13表達(dá)成d的表達(dá)式，這一點(diǎn)是不難做到的,然后利用S12＞0,S13＜0計(jì)算d的范圍.不過(guò)從已知條件可以估計(jì){an}是一個(gè)遞減數(shù)列，d是一個(gè)負(fù)數(shù)。（1）解:根據(jù)題意，有整理得解之，得＜d＜—3.(2）解法一：解關(guān)于n的不等式組由，可得所以5.5＜n＜7,即n=6.所以S6最大.解法二：利用前n項(xiàng)和公式,得Sn=na1+d=n(12-2d）+d=n2+（12—d)n=［n-(5—）］2-［（5-)］2.∵d＜0，∴［n(5-）]2最小時(shí)，Sn最大.由于＜d＜-3,則6＜(5-)＜6。5,∴n=6時(shí)，[n（5-)]2最小，因此S6最大.例3（2006北京高考,文20)設(shè)等差數(shù)列{an｝的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn.(1）若a11=0，S14=98,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。思路分析：在解題過(guò)程中正確選擇前n項(xiàng)和公式的形式以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的,在根據(jù)不等式求解數(shù)列的首項(xiàng)和公差時(shí),應(yīng)注意a1，d都是整數(shù),可先確定其中一個(gè)變量的范圍，然后再求另一個(gè)變量.解:（1）由S14=98,得2a1+13d=14。又a11=a1+10d=0，故解得d=—2,a1=20.因此,｛an}的通項(xiàng)公式是an=22—2n，n=1,2，3,….（2）由①+②,得-7d＜11,即d＞。①+③，得13d≤-1,即d≤.于是＜d≤。又d∈Z,故d=-1。④將④代入①②，得10＜a1≤12。又a1∈Z，故a1=11或a1=12。所以，所有可能的數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式是an=12-n和an=13—n，n=1,2,3,….綠色通道：解決等差數(shù)列中的問(wèn)題，關(guān)鍵是數(shù)列中的基本元素的求解,抓住首項(xiàng)和公差這兩個(gè)量.變式訓(xùn)練1（2006廣東高考,6）已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為()A。5B。4C。3思路解析:d=3.答案:C變式訓(xùn)練2（2006天津高考，理7）已知數(shù)列｛an}、｛bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為a1,b1,且a1+b1=5，a1,b1∈N+。設(shè)cn=(n∈N+)，則數(shù)列{cn｝的前10項(xiàng)和等于（）A.55B。70C.85思路解析:cn=(n∈N+），則數(shù)列{cn｝的前10項(xiàng)和等于++…+=++1+…+，=a1+(b1-1)=4，∴++…+=4+5+6+…+13=85.答案:C例4（2006安徽高考,文21）在等差數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足條件,n=1，2，….（1)求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式;(2)記bn=(p＞0），求數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和Tn.思路分析：根據(jù)已知條件,令n=1,便可求得a2，從而求得公差d，求出通項(xiàng)公式；在求數(shù)列{bn｝前n項(xiàng)和時(shí)，要觀察分析數(shù)列的特征，充分利用數(shù)列項(xiàng)的特征,對(duì)于所含參數(shù)，要進(jìn)行分類(lèi)討論.解：(1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，由，令n=1，得.所以a2=2，即d=a2-a1=1。所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(2)由bn=，得bn=npn.所以Tn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1+npn.當(dāng)p=1時(shí),Tn=；當(dāng)p≠1時(shí),pTn=p2+2p3+3p4+…+(n-1)pn+npn+1.兩式相減，得（1-p）Tn=p+p2+p3+…+pn-1+pn—npn+1=，即Tn=綠色通道：在利用已知條件求解相關(guān)量的時(shí)候,要善于利用賦值法尋找所求量之間的關(guān)系,避免利用復(fù)雜的式子進(jìn)行運(yùn)算，便可達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,關(guān)鍵是解決數(shù)列的首項(xiàng)和公差.研究數(shù)列時(shí),要注意研究數(shù)列中項(xiàng)的特征.變式訓(xùn)練1(2006全國(guó)高考Ⅱ,理11）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，若，則等于（）A.B。C。D.思路解析:由等差數(shù)列的求和公式,得，可得a1=2d且d≠0。所以。答案:A變式訓(xùn)練2（2006江西高考,理7文10）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若=a1+a200，且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O），則S200等于（）A.100B.101C。200思路解析:∵點(diǎn)A、B、C共線且該直線不過(guò)點(diǎn)O,∴=λ且、、不共線,λ∈R。=-=（a1+a200)-=(a1—1)+a200，λ=λ(-)=λ—λ，∴（a1—1）+a200=λ—λ,(a1—1+λ）=(λ-a200).∵與不共線,∴a1—1+λ=λ—a200=0.∴a1+a200=1,S200==100.答案:A問(wèn)題探究問(wèn)題1數(shù)列中大量滲透了函數(shù)思想，那么數(shù)列與函數(shù)有何內(nèi)在聯(lián)系?導(dǎo)思:數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N+（或它的有限子集{1，2,…，n}）的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系是一般與特殊的關(guān)系。探究：(1）對(duì)于公差不為零的等差數(shù)列｛an｝來(lái)說(shuō)，它的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次函數(shù)，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù)列各點(diǎn)均勻地分布在一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象上;它的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，因此也是關(guān)于n的一次函數(shù)。若在等差數(shù)列中，an=（p、q是非零常數(shù))，則p、q必然滿足關(guān)系p+2q=0。這是因?yàn)閍n是關(guān)于n的一次函數(shù)，故pn+q與n-1或2n—1是同類(lèi)因式。由待定系數(shù)法,知p+q=0(舍去)或p+2q=0。而許多關(guān)于項(xiàng)的問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)的問(wèn)題.如:等差數(shù)列{an}中，ap=q,aq=p（p≠q）如何求ap+q.由于等差數(shù)列的通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次函數(shù),故三點(diǎn)（p,q),(q，p）,(p+q,ap+q）共線，由斜率相等，得，可得ap+q=0。（2）在數(shù)列{an｝中，如果an＜an+1對(duì)n∈N+都成立，那么稱｛an}是遞增數(shù)列；如果an＞an+1對(duì)n∈N+都成立,那么稱｛an}是遞減數(shù)列.數(shù)列的單調(diào)性可以用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)刻畫(huà)。例如，d≠0的等差數(shù)列的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性相同,當(dāng)d＞0時(shí)，那么這個(gè)等差數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)d＜0時(shí)，那么這個(gè)等差數(shù)列是遞減數(shù)列.在等差數(shù)列中其前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),所以可以根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)找出前n項(xiàng)和Sn的最大值和最小值,這與其頂點(diǎn)坐標(biāo)有密切關(guān)系，但是同時(shí)要注意其定義域的范圍.總之,運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)研究等差數(shù)列或者其他數(shù)列的問(wèn)題都是很方便的，可以更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì),同時(shí)又能深化對(duì)函數(shù)概念的理解.問(wèn)題2老師在向?qū)W生介紹等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí),總是要講一個(gè)小故事:德國(guó)的“數(shù)學(xué)王子"高斯,在小學(xué)讀書(shū)時(shí)，老師出了一道算術(shù)題：1+2+3+…+100=?,老師剛讀完題目,高斯就在他的小黑板上寫(xiě)出了答案：5050，其他同學(xué)還在一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的挨個(gè)相加呢。那么,高斯是用什么方法做得這么快呢？這與推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)的方法有什么不一樣?導(dǎo)思:高斯的方法是：101=1+100=2+99=3+98=…這樣的數(shù)共有50對(duì),則50×101=5050，運(yùn)用的是等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)。探究:教材推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式時(shí),采用倒序相加法,即將前n項(xiàng)和倒著寫(xiě)一遍，即Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+an-2+…+a1，將以上兩式相加,得2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2）+…+（an+a1