高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊 4.3.1等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

探究新知一、數(shù)列的定義一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)

首項(xiàng)第2項(xiàng)第n項(xiàng)簡記為{an}數(shù)列的一般形式可以寫成：探究新知二、數(shù)列的分類

75，87，96，103，110，5，10，20，40，80，

(1)按項(xiàng)數(shù)的多少分：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫無窮數(shù)列有窮數(shù)列有窮數(shù)列(2)按項(xiàng)之間的大小關(guān)系:遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：擺動數(shù)列：常數(shù)列：無窮數(shù)列遞減數(shù)列無窮數(shù)列常數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列，擺動數(shù)列，遞增數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列；從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列；各項(xiàng)都相等的數(shù)列.

構(gòu)成了一個數(shù)列{f(n)}探究新知三、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系（自變量）（函數(shù)值）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，是的函數(shù)。

數(shù)列的項(xiàng)序號定義：如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式通項(xiàng)公式項(xiàng)與序號之間的關(guān)系相鄰兩項(xiàng)(或多項(xiàng)）之間的關(guān)系（n≥2）知道了首項(xiàng)和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了.：1，3，9，27，….n＝1，，，n≥2.一.數(shù)列的遞推公式區(qū)別兩者都能確定一個數(shù)列聯(lián)系問3：數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的通項(xiàng)公式有什么區(qū)別與聯(lián)系？數(shù)列通項(xiàng)公式1，2，3，4，…1，3，5，7，…2，4，6，8，…1，4，9，16，…1，2，4，8，…-1,1,-1,1,…9,99,999,9999,…歸納總結(jié)定義：我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn,，即Sn=a1+a2+...+an如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

探究新知前n-1項(xiàng)之和Sn與an的關(guān)系式探究新知?dú)w納總結(jié)數(shù)列的單調(diào)性：

an+1>an?

遞增數(shù)列；

an+1<an?

遞減數(shù)列；an+1=

an?

常數(shù)列；

如果從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，那么這個數(shù)列叫作擺動數(shù)列．?dāng)?shù)列的單調(diào)性的判斷：（1）作差法（比較差與0的大?。?；（2）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式所對的函數(shù)的單調(diào)性判斷．?dāng)?shù)列的其他性質(zhì)：（1）最值：利用數(shù)列的單調(diào)性求最值，或求對應(yīng)函數(shù)的最值(注意變量取正整數(shù))；

（2）周期性：可以通過列舉直觀感知數(shù)列的周期．3.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：1.等差數(shù)列定義：

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

復(fù)習(xí)引入若

an-an-1=d(常數(shù))(n≥2)

{an}為等差數(shù)列.或:

若an+1-an=d(常數(shù))

(n∈N*)

{an}為等差數(shù)列

4.等差中項(xiàng)：一.等差數(shù)列的性質(zhì)探究新知線性運(yùn)算一.等差數(shù)列的性質(zhì)探究新知一.等差數(shù)列的性質(zhì)探究新知二.等差數(shù)列的對稱性質(zhì)—設(shè)項(xiàng)技巧歸納總結(jié)

一般地，我們稱a1+a2+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an1.數(shù)列的前n項(xiàng)和：2.Sn與an的關(guān)系：3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：復(fù)習(xí)引入首末項(xiàng)的平均數(shù)即為前n項(xiàng)的平均數(shù)等差數(shù)列的判定方法①定義法：③通項(xiàng)法：②等差中項(xiàng)法：④前n項(xiàng)和公式法：復(fù)習(xí)引入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與函數(shù)的關(guān)系(3)求Sn的最值：(1)一般形式：(2)圖象：結(jié)合二次函數(shù)的開口/對稱軸分析探究新知1,3,5,7,…-1,-3,-5,-7,…8,6,4,2,0,-2,…7,5,3,1,-1,-3,…-4,-2,0,2,4,6,…-5,-3,-1,1,3,…等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與函數(shù)的關(guān)系探究新知(1)當(dāng)a1>0，d<0時，Sn取得最大；通項(xiàng)法：利用an的符號n同時滿足

n同時滿足探究新知求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值的方法(2)當(dāng)a1<0，d>0時，Sn取得最小。二次函數(shù)法：由

利用二次函數(shù)對稱軸求最值及取得最值時n的值（

）

2024/11/254.3.1

等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式第四章

數(shù)列我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)"，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，本節(jié)課我們探究學(xué)習(xí)等比數(shù)列。探究新知

探究新知實(shí)例2.《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”探究新知

意思：“一尺長的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完”。這樣，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是：實(shí)例3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是：細(xì)菌個數(shù)分裂次數(shù)第一次2第二次4第三次8第n次……

探究新知2，4，8，16，32，64，…

⑤類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于9．共同規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù).探究新知一.等比數(shù)列的概念若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，則該數(shù)列叫等比數(shù)列；這個常數(shù)叫做公比，記為q(q≠0).探究新知1:公比q能否等于0？等比數(shù)列中的項(xiàng)能否等于0？2:當(dāng)公比q=1時的等比數(shù)列是什么樣的數(shù)列？3:常數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？一定是等比數(shù)列嗎？為什么？4：既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？舉例說明。都不能為零常數(shù)列常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不一定都是等比數(shù)列。如數(shù)列0，0，0，0，…是等差不是等比數(shù)列。探究新知思考回答以下問題如：1,1,1,1,…是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列

一.等比數(shù)列的概念若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，則該數(shù)列叫等比數(shù)列；這個常數(shù)叫做公比，記為q(q≠0).注：①等比數(shù)列的每一項(xiàng)和公比都不為0.探究新知②非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.③當(dāng)q=1時，為常數(shù)列。(5)

0,1,2,4,8,…(6)

2,0,2,0,2,…(7)

1,a,a2,a3,a4,…a≠0時，是等比數(shù)列，公比為aa=0時，不是等比數(shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)同號，所有的偶數(shù)項(xiàng)同號，但奇偶項(xiàng)異號課堂練習(xí)1.判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是，寫出它的公比.二.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)

類比不完全歸納法得an=a1+(n-1)d不完全歸納法得an=a1qn-1探究新知

類比累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2二.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)探究新知三.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式探究新知鞏固：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式課堂練習(xí)在下列兩數(shù)中插入一個數(shù)，使其三個輸成的等比數(shù)列

①

2，___，8；

②-1，____，-4注：三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列探究新知注：①同號的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有2個，它們互為相反數(shù)；②若a,G,b組成等比數(shù)列，則必有G2=ab；

而G2=ab并不能說明a,G,b組成等比數(shù)列，如a=G=0,b=5時不成等比.③一個等比數(shù)列從第