湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題18二次根式有關(guān)運算壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題18二次根式有關(guān)運算壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二次根式有意義的條件】 1【考點二求二次根式中的參數(shù)】 2【考點三二次根式的乘除混合運算】 3【考點四化為最簡二次根式】 4【考點五已知最簡二次根式求參數(shù)】 6【考點六二次根式的混合運算】 7【過關(guān)檢測】 9【典型例題】【考點一二次根式有意義的條件】例題：（2023春·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)a的取值范圍是．2.（2023春·江蘇·八年級期末）使得有意義的x的取值范圍是．【考點二求二次根式中的參數(shù)】例題：（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）是一個正整數(shù)，則的最小正整數(shù)是．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期中）若為整數(shù)，則x的最小正整數(shù)值為．2.（2022秋·八年級單元測試）是整數(shù)，則正數(shù)的最小值是【考點三二次根式的乘除混合運算】例題：（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）計算：．2.（2023春·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）計算：3.（2023·全國·八年級假期作業(yè)）計算：．【考點四化為最簡二次根式】例題：（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）下列二次根式中的最簡二次根式是（

）A． B． C． D．2.（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）把下列二次根式化成最簡二次根式：(1)(2)(3)3.（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【考點五已知最簡二次根式求參數(shù)】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若二次根式與可以合并，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【變式訓(xùn)練】1.（2023·上海·八年級假期作業(yè)）兩個最簡二次根式與可以合并，則_____．2.（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如果兩個最簡二次根式與能合并，那么________．【考點六二次根式的混合運算】例題：（2023春·浙江杭州·八年級浙江師范大學(xué)附屬杭州筧橋?qū)嶒炛袑W(xué)校考期中）計算：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣西梧州·八年級統(tǒng)考期中）計算(1)；(2)．2.（2023春·黑龍江雙鴨山·八年級校聯(lián)考期中）計算：(1)；(2)【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·山西晉中·八年級校聯(lián)考期中）要使二次根式有意義，的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023秋·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校校考期中）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖北孝感·八年級?？茧A段練習(xí)）以下各式：①，②，③，④，其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題6．（2023秋·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：，，．7．（2023秋·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期中）化簡二次根式：．8．（2023秋·廣東惠州·九年級惠州市河南岸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知為正整數(shù)，且也為正整數(shù)，則的最小值為．9．（2023秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考期中）已知最簡二次根式與二次根式是同類二次根式，則．10．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┫铝卸胃街?，①；②；③；④；⑤是最簡二次根式的是.（填序號）三、解答題11．（2023秋·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期中）計算：．12．（2023秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．13．（2023春·北京海淀·八年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算下列各題：(1)；(2)；(3)；(4)．14．（2023秋·北京豐臺·九年級北京豐臺二中?？奸_學(xué)考試）化簡：(1)(2)(3)(4)(5)(6)15．（2023秋·山東濟南·八年級?？茧A段練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．16．（2023秋·山西晉中·八年級校考階段練習(xí)）探究題：，，，，，．根據(jù)計算結(jié)果，回答：（1）一定等于a嗎？請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表示出來．（2）利用你總結(jié)的規(guī)律，計算：若，則①_______；②______．

專題18二次根式有關(guān)運算壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二次根式有意義的條件】 1【考點二求二次根式中的參數(shù)】 2【考點三二次根式的乘除混合運算】 3【考點四化為最簡二次根式】 4【考點五已知最簡二次根式求參數(shù)】 6【考點六二次根式的混合運算】 7【過關(guān)檢測】 9【典型例題】【考點一二次根式有意義的條件】例題：（2023春·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】/【分析】由在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，列不等式，再解不等式即可得到答案．【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是二次根式的有意義的條件，掌握“二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)”是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·江蘇·八年級期末）使得有意義的x的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．【考點二求二次根式中的參數(shù)】例題：（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）是一個正整數(shù)，則的最小正整數(shù)是．【答案】3【分析】根據(jù)二次根式的定義可得，解得，再根據(jù)是一個正整數(shù)，可得或4或9，即可得到答案．【詳解】解：由二次根式的定義可得，解得：，是一個正整數(shù)，或4或9，解得：或8或3，的最小正整數(shù)是3，故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式的定義，求得或4或9是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期中）若為整數(shù)，則x的最小正整數(shù)值為．【答案】2【分析】對被開方數(shù)進(jìn)行分解，得，要使為整，則最小要保證被開方式能開盡，得出答案．【詳解】解：的最小正整數(shù)值是2．故答案為2．【點睛】本題考查了最簡二次根式的內(nèi)容，其中對被開方數(shù)的分解是解決本題的關(guān)鍵．2.（2022秋·八年級單元測試）是整數(shù)，則正數(shù)的最小值是【答案】/0.05【分析】根據(jù)是整數(shù)，n為正數(shù)，得出的最小值為1，得出的最小值為，即可求出答案．【詳解】解：∵是整數(shù)，n為正數(shù)，∴的最小值為1，∴的最小值為，∴正數(shù)的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行解答．【考點三二次根式的乘除混合運算】例題：（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則即可得．【詳解】原式【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除法法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】把除法化為乘法運算，再化簡即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查的是二次根式的乘除混合運算，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．2.（2023春·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運算計算即可．【詳解】．【點睛】本題考查了二次根式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．3.（2023·全國·八年級假期作業(yè)）計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可．【詳解】．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．【考點四化為最簡二次根式】例題：（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A中，不是最簡二次根式，故不符合要求；B中，是最簡二次根式，故符合要求；C中，不是最簡二次根式，故不符合要求；D中，不是最簡二次根式，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，最簡二次根式．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┫铝卸胃街械淖詈喍胃绞牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；.是最簡二次根式，故本選項符合題意；.的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；.的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：．【點睛】本題考查了最簡二次根式，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，具備以下兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．2.（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）把下列二次根式化成最簡二次根式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把32寫成16×2，然后化簡；（2）先把小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分子分母都乘以2，然后化簡；（3）分子分母都乘以3，然后化簡．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解；（2）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解；（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：（3）解：．（4）解：．【點睛】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，掌握二次根式的性質(zhì)，二次根式分母有理化的計算方法是解題的關(guān)鍵．【考點五已知最簡二次根式求參數(shù)】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若二次根式與可以合并，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】B【分析】把a的值依次代入即可判斷求解．【詳解】當(dāng)a=6時，=，不能與可以合并，當(dāng)a=5時，=，能與可以合并，當(dāng)a=4時，=，不能與可以合并，當(dāng)a=2時，=，不能與可以合并，故選B．【點睛】此題主要考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的化簡方法．【變式訓(xùn)練】1.（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）兩個最簡二次根式與可以合并，則_____．【答案】5【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，但當(dāng)時，，不是最簡二次根式，應(yīng)舍去，∴；故答案為：5．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，理解二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如果兩個最簡二次根式與能合并，那么________．【答案】4【分析】根據(jù)題意得到，求出a即可求解．【詳解】解：∵最簡二次根式與能合并，∴，解得．故答案為：4【點睛】本題考查了最簡二次根式，同類二次根式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷最簡二次根式與是同類二次根式．【考點六二次根式的混合運算】例題：（2023春·浙江杭州·八年級浙江師范大學(xué)附屬杭州筧橋?qū)嶒炛袑W(xué)?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將二次根式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式加減法法則合并同類二次根式即可；（2）先利用完全平方公式計算，再去括號，最后合并同類二次根式即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵在于熟練掌握完全平方公式：．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣西梧州·八年級統(tǒng)考期中）計算(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式即可；（2）根據(jù)二次根式混合運算的法則求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．【點睛】本題考查了二次根式的運算，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·黑龍江雙鴨山·八年級校聯(lián)考期中）計算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次根式的運算法則即可求解；（2）根據(jù)二次根式的運算法則即可求解．【詳解】（1）．（2）．【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的運算法則．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·山西晉中·八年級校聯(lián)考期中）要使二次根式有意義，的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，，解得，，∴的值可以是2，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：二次根式有意義，則．2．（2023秋·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、中被開方數(shù)含有因數(shù)4，不是最簡二次根式，不合題意；B、中被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不合題意；C、中被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不合題意；D、是最簡二次根式，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了最簡二次根式，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式加減乘除法則逐項進(jìn)行計算即可．【詳解】解：A、，故錯誤，不符合題意；B、不能合并，故錯誤，不符合題意；C、，故正確，符合題意；D、，故錯誤，不符合題意；故選：C【點睛】本題考查了二次根式的加、減、乘、除運算，解答關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運算法則．4．（2023秋·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校?？计谥校┗喌慕Y(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷的符號，將還原成，再化簡即可．【詳解】解：，，，原式．故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，掌握二次根式的性質(zhì)和有意義的條件是本題解題關(guān)鍵．5．（2023春·湖北孝感·八年級校考階段練習(xí)）以下各式：①，②，③，④，其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式有意義的條件判斷；【詳解】解：，無意義，①錯誤；，②錯誤；成立的前提是，③錯誤；④，④正確；故選：B【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，二次根式的化簡；掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·河北保定·八年級校考階段練習(xí)）計算：，，．【答案】4/【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡以及二次根式的乘除法，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：，，．故答案為：4，，．【點睛】本題考查了二次根式性質(zhì)，二次根式的乘法，二次根式的除法，掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期中）化簡二次根式：．【答案】【分析】先判斷出，再利用二次根式的性質(zhì)化簡．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，判斷出是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣東惠州·九年級惠州市河南岸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知為正整數(shù)，且也為正整數(shù)，則的最小值為．【答案】3【分析】首先將被開方數(shù)化簡，然后找到滿足題意的最小被開方數(shù)即可．【詳解】解：，且開方的結(jié)果是正整數(shù)，為某數(shù)的平方，又，是滿足題意最小的被開方數(shù)，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的定義，知道開方結(jié)果為正整數(shù)被開方數(shù)必為平方數(shù)．先化簡再討論是本題的關(guān)鍵．9．（2023秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考期中）已知最簡二次根式與二次根式是同類二次根式，則．【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式及同類二次根式的定義列方程求解．【詳解】解：∵，根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了最簡二次根式，同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．10．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┫铝卸胃街?，①；②；③；④；⑤是最簡二次根式的是.（填序號）【答案】②⑤/⑤②【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義分別進(jìn)行判斷即可得解．【詳解】解：①不是最簡二次根式，②是最簡二次根式，③不是最簡二次根式，④不是最簡二次根式，⑤是最簡二次根式，所以，是最簡二次根式的是②⑤．故答案為：②⑤．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．三、解答題11．（2023秋·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，再根據(jù)二次根式的混合運算，即可解答．【詳解】解：，，．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的四則混合運算，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)與化簡．12．（2023秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先計算二次根式的乘法與除法，再計算加法即可；（2）先化簡二次根式，再計算二次根式的加減法即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式計算，再計算二次根式的加減法即可;（4）先計算二次根式的乘除法，再計算二次根式的加減法即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）【點睛】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．13．（2023春·北京海淀·八年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算下列各題：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及混合運算法則化簡計算即可【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；