直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

2.4.2直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題1.進(jìn)一步熟悉直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.2.掌握弦長(zhǎng)公式，會(huì)求解與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題.例1:已知直線l過(guò)橢圓C:的中心，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)(如圖1)，直線l:x=0，代入橢圓方程解得A(0，)，B(0，)，∴|AB|=(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)(如圖2)，設(shè)直線l的方程為y=kx.將橢圓方程化簡(jiǎn)、整理，得x2+2y2=4.將直線和橢圓方程聯(lián)立，得①②圖1圖2例1:已知直線l過(guò)橢圓C:的中心，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍.將②代入①，化簡(jiǎn)整理得(2k2+1)x2=4.③顯然，無(wú)論k取何值，方程③都有實(shí)數(shù)解，由兩點(diǎn)間的距離公式，可得④圖2例1:已知直線l過(guò)橢圓C:的中心，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍.為了便于求|AB|的取值范圍，將④進(jìn)行變形整理，得∵4k2+2≥2，由不等式的性質(zhì)可得綜合(1)和(2)的結(jié)果，|AB|的取值范圍為[2

，4].圖2當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：注意：(1)一定先有判別式大于零，才有兩根之和、兩根之積.(2)對(duì)于斜率不確定的問(wèn)題，要分類討論.歸納總結(jié)思考交流：某同學(xué)給出了例1的如下解決方法：解：考慮到直線l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A，B是關(guān)于中心O對(duì)稱的，∴|AB|=2|OA|=∵點(diǎn)A在橢圓C上，∴xA2+2yA2=4，整理，得xA=4-2yA2.將其代入上式，消去xA可得|AB|=

由上述函數(shù)關(guān)系可以求出0≤|AB|≤4.請(qǐng)對(duì)該同學(xué)的上述解法進(jìn)行評(píng)價(jià).此法綜合運(yùn)用的橢圓的中心對(duì)稱性質(zhì)，設(shè)而不求，優(yōu)化了整體運(yùn)算.但是卻沒(méi)有根據(jù)圖象，考慮yA的實(shí)際范圍，故而導(dǎo)致最終取值錯(cuò)誤.反思上述“思考交流”求解解析幾何問(wèn)題的過(guò)程，一方面可以再次感受到數(shù)形結(jié)合思維方式的作用，另一方面也可以感受到，還應(yīng)該在分析圖形的基礎(chǔ)上對(duì)題目中的幾何要素進(jìn)行合理代數(shù)化表達(dá).歸納總結(jié)

歸納總結(jié)方法一聯(lián)立方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．方法二點(diǎn)差法設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦長(zhǎng)公式求解．解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的方法

C43.已知斜率為k的直線l與拋物線C：y2＝4x交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2，1)，則直線l的方程為(

)A．2x－y－3＝0B．2x－y－5＝0C．x－2y＝0D．x－y－1＝0A