湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題09解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線及構(gòu)造等腰三角形壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題09解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線及構(gòu)造等腰三角形壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】 5【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 9【類型四利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】 14【類型五過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】 21【類型六利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 26【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】例題：已知，在中，，，點是的中點，作，使得射線與射線分別交射線，于點，．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】例題：如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補，過點作于點，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖所示，D為內(nèi)一點，平分，，，若，，求：線段的長．

【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．【類型四利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分交于點，過點作交的延長線于點．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若是上的一點，且，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖中，、的平分線相交于點，過點作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個等腰三角形，且與、的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關(guān)系還成立嗎？請說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點作交于，交于．請直接寫出與、間的數(shù)量關(guān)系是．2．（2022春·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期中）在中，點，點在直線上，，過點作，交射線于點，過點作，交直線于點．(1)當(dāng)是的角平分線，點在邊延長線上時，如圖①，求證：；（提示：延長，相交于點．）(2)當(dāng)是的角平分線，點在邊上時，如圖②；當(dāng)是外角的角平分線，點在邊延長線上時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若，則_____________．【類型五過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】例題：（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）已知：等邊中．(1)如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A，B重合），點N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點P為AC邊的中點，點E在AB的延長線上，點F在BC的延長線上，滿足，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·遼寧大連·八年級期末）是等邊三角形，點是上一點，點在的延長線上，且．(1)如圖1，當(dāng)點是的中點時，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點是上任意一點時，取的中點，連接．求的度數(shù)【類型六利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2022秋·黑龍江大慶·八年級大慶市第六十九中學(xué)校考期中）如圖，在中，，的平分線交于點D．求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2022春·浙江·八年級專題練習(xí)）在中，，(1)如圖①，當(dāng)，為的角平分線時，在上截取，連接，易證．請證明；(2)①如圖②，當(dāng)，為的角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．

專題09解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線及構(gòu)造等腰三角形壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】 5【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 9【類型四利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】 14【類型五過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】 21【類型六利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 26【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】例題：已知，在中，，，點是的中點，作，使得射線與射線分別交射線，于點，．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【答案】(1)；(2)，理由見解析．【分析】（1）連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)可推導(dǎo)，進而證明，即可得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）連接，利用（1）中的證明思路，再次證明，證得，即可利用等量代換得到．【詳解】（1）解：連接，∵，，點是的中點∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：連接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【答案】(1)①見解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）①證明：如圖1，連接，∵，，∴.∵點O為的中點，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如圖2，連接，同理可證：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：18；（2）解：如圖3，連接，過點O作，交的延長線于點H，∵，，點O為的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】例題：如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于點F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補，過點作于點，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析；(3)與相等或互補【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等得，根據(jù)與互余得，由即可求出的度數(shù)；（2）作根據(jù)AAS證明≌,則，由等腰三角形三線合一可得，因此，問題得證；（3）由與的面積相等得高相等.情況①：作于,于,根據(jù)可得≌，則可得=；情況②:是鈍角三角形，作于，作垂直于的延長線于，根據(jù)可得≌，則可得，由于與互補，因此與互補．【詳解】（1）解：中，，且=,

．（2）如圖，過點作于E點，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如圖，作于，于，∵與的面積相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如圖，作于，作垂直于的延長線于．則．∵，，∴，∵與的面積相等，∴．∴≌．∴．，∴，綜上，與相等或互補．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個三角形面積相等，綜合能力較強，有一定難度.熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖所示，D為內(nèi)一點，平分，，，若，，求：線段的長．

【答案】5【分析】延長交于點E，由題意可推出，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根據(jù)，，即可求出的長度．【詳解】解∶延長交于點E，

，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形，通過等量代換，即可推出結(jié)論．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長交于點F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長、交于點F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實際應(yīng)用延長交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長交于點F，由可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，證明如下：如圖3，延長、交于點F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問題情境可知，，∴；（4）解：如圖4，延長交于E，由問題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【類型四利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分交于點，過點作交的延長線于點．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若是上的一點，且，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等，已知頂角，可以求出底角，再根據(jù)角平分線的定義求出，最后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出；（2）先證明，再得出，，根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形全等，考核學(xué)生的推理能力，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖中，、的平分線相交于點，過點作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個等腰三角形，且與、的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關(guān)系還成立嗎？請說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點作交于，交于．請直接寫出與、間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)；(2)成立；理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，、的平分線相交于點，可得，，，，再加上題目中給出的，可得出等腰三角形的個數(shù)；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出與、之間的關(guān)系；（2）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出與、的關(guān)系；（3）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出與、的關(guān)系．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵、的平分線相交于點，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共個，與、的數(shù)量關(guān)系是：，故答案為：；．（2）與、的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）與、間的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分別是與的角平分線，∴，，∴，，∴，，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)．線段間的等量代換是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期中）在中，點，點在直線上，，過點作，交射線于點，過點作，交直線于點．(1)當(dāng)是的角平分線，點在邊延長線上時，如圖①，求證：；（提示：延長，相交于點．）(2)當(dāng)是的角平分線，點在邊上時，如圖②；當(dāng)是外角的角平分線，點在邊延長線上時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若，則_____________．【答案】(1)見解析(2)圖②，；圖③，；(3)2或14【分析】（1）延長、相交與點G，先證明，再證明，得到，即可得到結(jié)論；（2）如圖②，設(shè)與相交于于點P，先證，再證，得到，即可得到結(jié)論；如圖③，延長交于點H，先證明，再證，，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論，結(jié)合圖形，分三種情況討論求解即可．【詳解】（1）證明：如圖①，延長、相交與點G，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2）如圖②，設(shè)與相交于于點P，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；如圖③，延長交于點H，∵是外角的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（3）如圖①，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴,∴，∴；如圖2，∵不成立，此種情況不存在；如圖③，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：2或14【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類型五過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】例題：（2022春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：等邊中．(1)如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A，B重合），點N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點P為AC邊的中點，點E在AB的延長線上，點F在BC的延長線上，滿足，求的值．【答案】(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出，設(shè),則,可求出答案；（2）如圖2，過點M作交AC于點G，根據(jù)可證明，得出，則結(jié)論得證；（3）如圖3，過點P作交于點M，根據(jù)可證明，得出，得出，則答案可求出．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，，∵點M是BC的中點，∴，，∵，∴，∴，，設(shè)，則，，∴，∴．（2）如圖2，過點M作交AC于點G，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴．（3）如圖3，過點P作交AB于點M，∴為等邊三角形，∴，，∵P為AC的中點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P為AC的中點，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度角直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·遼寧大連·八年級期末）是等邊三角形，點是上一點，點在的延長線上，且．(1)如圖1，當(dāng)點是的中點時，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點是上任意一點時，取的中點，連接．求的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，再由“三線合一”的性質(zhì)及角平分線得出，再由等角對等邊即可證明；（2）延長至，使，連，根據(jù)全等三角形的判定得出，，再由其性質(zhì)結(jié)合圖形找出各角之間的關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在等邊中，，∴，∵是的中點，∴，平分，∵，∴，∴，，∴，∴．（2）如圖所示，延長至，使，連，∵為的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∴，，，∴又∵，∴在和中，，∴，∴，∴．【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【類型六利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2022秋·黑龍江大慶·八年級大慶市第六十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，的平分線交于點D．求