2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何2第2課時空間向量的數(shù)量積學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE第2課時空間向量的數(shù)量積必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是空間向量的夾角？什么是空間向量的數(shù)量積？2．空間向量的數(shù)量積運算有哪些性質(zhì)？遵循哪些運算律？1.空間向量的夾角(1)夾角的定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)夾角的范圍：空間隨意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0，π].特殊地，當(dāng)θ＝0時，兩向量同向共線；當(dāng)θ＝π時，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，兩向量垂直，記作a⊥b．零向量與其他向量之間有夾角嗎？提示：零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與任何向量a都共線，即0∥a.2．空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)數(shù)量積的運算律：數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)交換律a·b＝b·a安排律(a＋b)·c＝a·c＋b·c(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)：數(shù)量積運算滿意結(jié)合律、消去律嗎？提示：數(shù)量積運算不滿意結(jié)合律，也不滿意消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·cD?/b＝c.3．投影向量與投影數(shù)量(1)投影向量：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，過點A作直線OB的垂線，垂足為A1，則向量OA1叫作向量a在向量b方向上的投影向量．(2)投影數(shù)量：用b0表示與向量b(b≠0)同方向的單位向量，(1)圖中向量的長度為＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))cos〈a，b〉))，把稱作向量a在向量b方向上的投影數(shù)量．投影數(shù)量的符號由什么確定？提示：由向量a在向量b方向上的投影數(shù)量的定義知，投影數(shù)量的符號由向量a與向量b的夾角確定，若〈a，b〉為銳角或零角，則投影數(shù)量為正值；若〈a，b〉為鈍角或平角，則投影數(shù)量為負(fù)值；若〈a，b〉為直角，則投影數(shù)量為0.1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角等于向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))的夾角．()(2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(3)對于非零向量a，b，〈a，b〉與〈－a，－b〉相等．()(4)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c.()(5)若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的充要條件．()提示：(1)×.eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))互為相反向量，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角和向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))的夾角互補(bǔ)．(2)×.a·b＝0，a與b都可能是零向量，也可能是a與b都不是零向量，但a與b垂直．(3)√.a與－a，b與－b分別互為相反向量，所以〈a，b〉與〈－a，－b〉相等．(4)×.由a·b＝b·c，可得(a－c)·b＝0，所以a－c可能為零向量，但也可能a－c不是零向量，而是a－c與b垂直．(5)×.a與b共線包括a與b同向和反向兩種狀況，當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.2．已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則兩直線的夾角為()A．30° B．60° C．120° D．150°【解析】選B.設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°，則兩個方向向量對應(yīng)的直線的夾角為180°－120°＝60°.3．已知|a|＝3，向量a與b的夾角θ為eq\f(π,3)，則a在b方向上的投影數(shù)量為()A．eq\f(3\r(3),2)B．eq\f(3\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,2)【解析】選D.向量a在b方向上的投影數(shù)量為|a|cosθ＝3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).4．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A．a(chǎn)2 B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2 D．eq\f(\r(3),4)a2【解析】選C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a×a×\f(1,2)＋a×a×\f(1,2)))＝eq\f(1,4)a2.關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一空間向量的數(shù)量積運算(數(shù)學(xué)運算)1．已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a等于(A．12 B．8＋eq\r(13)C．4 D．13【解析】選D.(2a－b)·a＝2a2－b＝2|a|2－|a||b|·cos120°＝2×4－2×5×＝13.2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】選A.由題意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.3．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．試計算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·．【解析】如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·＝b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（c－a）＋b))＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（c－a）＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.1．空間向量的數(shù)量積運算方法(1)已知a，b的模及a與b的夾角，干脆代入數(shù)量積的公式計算．(2)假如求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式綻開，再利用a·a＝|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計算．2．在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數(shù)量積綻開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)依據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模．(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.下列命題中正確的有()①p2·q2＝(p·q)2；②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；③若a與(a·b)·c－(a·c)·b均不為0，則它們垂直．A．①③B．②③C．②D．③【解析】選D.①此命題不正確，因為p2·q2＝|p|2·|q|2，而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，所以當(dāng)且僅當(dāng)p∥q時，p2·q2＝(p·q)2.②此命題不正確，因為|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，所以當(dāng)且僅當(dāng)(p＋q)∥(p－q)時，|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.③此命題正確，因為a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，且a與(a·b)·c－(a·c)·b均為非零向量，所以a與(a·b)·c－(a·c)·b垂直．2．如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對角線長都為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A.2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B.2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C.2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))D.2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))【解析】選B.2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2a2cos60°＝－a2，2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝2a2cos60°＝a2，2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a2，2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2.類型二數(shù)量積的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夾角為60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求當(dāng)m為何值時，c與d【思路導(dǎo)引】由條件計算a·b，當(dāng)c⊥d時，c·d＝0列方程求解m.【解析】由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，所以m＝eq\f(29,14)，即m＝eq\f(29,14)時，c與d垂直．(1)已知非零向量a，b，若a⊥b，則a·b＝0，反之也成立．(2)設(shè)a與b夾角為θ，利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)可求夾角θ，求解時留意向量夾角θ的取值范圍θ∈[0，π].1．若非零向量a，b滿意|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________.【解析】設(shè)a與b夾角為θ，因為|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cosθ＝13|b|2＋12|b|2cosθ，即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cosθ，故有cosθ＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)2．已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a與b的夾角為120°，求向量b的模．【解析】因為a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2，將x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，所以|b|＝3.類型三投影數(shù)量的計算(數(shù)學(xué)運算)【典例】已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2，〈a，b〉＝60°，則a＋b在a上的投影數(shù)量是()A．1 B．eq\f(2\r(7),7) C．2 D．eq\f(\r(7),7)【思路導(dǎo)引】依據(jù)平面對量數(shù)量積的定義及運算律求出a·b，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·a，再依據(jù)a＋b在a上的投影數(shù)量等于eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))計算．【解析】選C.因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2，〈a，b〉＝60°，所以a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cos〈a，b〉＝1×2×cos60°＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·a＝a2＋b·a＝12＋1＝2，所以a＋b在a上的投影數(shù)量為eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＝2.求一個向量在另一個向量方向上的投影數(shù)量的方法(1)依據(jù)向量夾角公式求得夾角的余弦值．(2)依據(jù)所求投影數(shù)量為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cos〈a，b〉求得結(jié)果．1．已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(3)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝3eq\r(2)，則向量a在向量b方向上的投影數(shù)量為()A．1 B．－1 C．3 D．－3【解析】選A.由題意，向量eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(3)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝3eq\r(2)可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))2＝a2＋b2＋2a·b＝3＋9＋2a·b＝18，解得a·b＝3，所以向量a在向量b方向上的投影數(shù)量為eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(3,3)＝1.2．在△ABC中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))，AB＝3，AC＝4，則eq\o(CB,\s\up6(→))在eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影數(shù)量為()A．4 B．3 C．－4 D．5【解析】選A.在△ABC中，因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).又AB＝3，AC＝4，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))))＝5，所以eq\o(CB,\s\up6(→))在eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影數(shù)量為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))))·cos∠ACB＝＝4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)e1，e2為單位向量．且e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的投影數(shù)量為________.【解析】設(shè)a與b夾角為θ，向量a在b方向上的投影數(shù)量為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(（e1＋3e2）·2e1,2)＝eq\f(2e1·e1＋6e1·e2,2)＝1＋3coseq\f(π,3)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)備選類型用數(shù)量積求距離(數(shù)學(xué)運算)【典例】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時B，D間的距離．【思路導(dǎo)引】eq\x(\o(BD,\s\up6(→))＝\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))＋\o(CD,\s\up6(→)))→得到|eq\o(BD,\s\up6(→))|2的值，留意對〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的探討→eq\x(得B，D間的距離)【解析】因為∠ACD＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，同理可得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.因為AB與CD成60°角，所以〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝120°.又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．所以當(dāng)〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°時，|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4，此時B，D間的距離為2；當(dāng)〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝120°時，|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝2，此時B，D間的距離為eq\r(2).利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．1．正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1CA．2 B．eq\r(3) C．eq\r(5) D．eq\r(7)【解析】選C.如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝90°，〈b，c〉＝90°.又因為eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a＋c＋eq\f(1,2)b，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋c2＋eq\f(1,4)b2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a·c＋\f(1,2)b·c－\f(1,4)a·b))＝eq\f(1,4)×4＋4＋eq\f(1,4)×4＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)×0＋\f(1,2)×0－\f(1,4)×2×2×\f(1,2)))＝1＋4＋1－1＝5.所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(5).即EF的長為eq\r(5).2．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.則線段AC1【解析】因為＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋，所以||＝＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))2＋\o(AD,\s\up6(→))2＋AA12＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))＋2\o(AB,\s\up6(→))·AA1＋2\o(AD,\s\up6(→))·AA1)＝eq\r(1＋1＋4＋0＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1