數(shù)學(xué)學(xué)案：命題的四種形式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修1—1第一章1。3。2命題的四種形式1．了解四種命題的定義．2．會分析四種命題的相互關(guān)系．1．四種命題（1)原命題：如果p，則q;（2）原命題的條件和結(jié)論“換位”得如果____，則____，這稱為原命題的逆命題;（3）原命題的條件和結(jié)論“換質(zhì)”（分別否定）得如果______,則______，這稱為原命題的否命題．否命題和命題的否定是兩個不同的概念,應(yīng)注意區(qū)別：①一般地,只有“如果p,則q”形式的命題才有否命題:“如果p，則q”，而一般命題都可有“否定命題”;②一般命題的否定命題與原命題總是一真一假,而“如果p,則q”的否命題與原命題的真假可能相同也可能相反．(4)原命題的條件和結(jié)論“換位"又“換質(zhì)”得如果______，則______,這稱為原命題的逆否命題．原命題是我們自己規(guī)定的，其他三種命題是相對原命題而言的．【做一做1】已知命題“如果x2＝1，則x＝1或x＝－1”為原命題，寫出它的其他三種命題．2．四種命題的關(guān)系（1)原命題和________是互逆的命題；________和逆否命題也是互逆的命題．（2）原命題和________、逆命題和__________分別是互否的命題．（3）原命題和________、逆命題和________分別都是互為逆否的命題．四種命題的關(guān)系如下圖:【做一做2】與命題“如果x＞2，則x2＞4”互逆的命題是(）A．如果x＞2，則x2＜4B．如果x≤2，則x2≤4C．如果x2≤4，那么x≤2D．如果x2＞4,則x＞21．互為逆否的兩個命題的等價性的理解．剖析：互為逆否的兩個命題的等價性可以從集合角度給出恰當(dāng)?shù)慕忉專O(shè)A＝{x｜p（x)}，B＝{x｜q(x）｝,其中p，q是集合A，B中元素的特征性質(zhì),如果AB，則意味著對于元素x要具有性質(zhì)p就必須有性質(zhì)q，所以可以認(rèn)為AB與p?q等同．由維恩圖(如圖所示）易發(fā)現(xiàn)有下面的結(jié)論：AB與?UB?UA等價,也就說明“p?q”與“q?p”等價．2．互為逆否命題的等價性的應(yīng)用．剖析：由于原命題和逆否命題同真同假,逆命題和否命題同真同假，所以當(dāng)一個命題不易判斷真假時，可以通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假,這種手段特別適合條件和結(jié)論是否定形式的命題,如判斷“如果a＋b≠5,則a≠2或b≠3”的真假，直接去看，是不易判斷其真假的，但以其逆否命題“如果a＝2且b＝3，則a＋b＝5"來判斷真假就十分容易了．題型一四種命題【例1】寫出命題“已知a，b，c,d都是實數(shù)，若a＝b，c＝d,則a＋c＝b＋d”的逆命題、否命題與逆否命題．分析：先分清命題的條件和結(jié)論，再由四種命題的定義寫出即可．條件“a＝b，c＝d”是“p且q”形式的命題，其否定為“a≠b或c≠d"．反思：寫已知命題的逆命題、否命題與逆否命題時，應(yīng)把已知命題看成原命題，首先分清原命題的條件和結(jié)論，然后利用四種命題的定義寫出其他三種命題．題型二四種命題的關(guān)系【例2】已知下列四個命題:（1)p：若一個數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方是正數(shù)；(2）q：若一個數(shù)不是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù);(3)s：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù);（4）r:若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)．其中是互為逆否關(guān)系且都為真的兩個命題為（）A．p與rB．q與rC．p與qD．p與s反思:解決本題的關(guān)鍵是明確四種命題的相互關(guān)系，利用“原命題與逆否命題"互為逆否、“否命題與逆命題”互為逆否來解決．題型三命題的否定與命題的否命題【例3】寫出命題“面積相等的三角形是全等三角形”的否定及否命題,并判斷它們的真假．分析：該命題是省略全稱量詞的全稱命題，寫其否定時要添加存在量詞．利用否命題的定義寫出否命題．反思：命題的否定一般來說只否定命題的結(jié)論；而寫原命題的否命題時，既要否定條件又要否定結(jié)論．1對原命題的條件和結(jié)論分別否定得到的命題是原命題的（）A．逆命題B．否命題C．逆否命題D．全稱命題2命題“若兩個角相等，則這兩個角是對頂角”的逆命題是（）A．若兩個角是對頂角,則這兩個角相等B．若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等C．若兩個角是對頂角,則這兩個角不相等D．若兩個角不相等，則這兩個角不是對頂角3與命題“若a·b＝0，則a⊥b”等價的命題是()A．若a·b≠0,則a不垂直于bB．若a⊥b,則a·b＝0C．若a不垂直于b，則a·b≠0D．若a·b≠0，則a⊥b4與命題“若實數(shù)a＞1,則函數(shù)y＝ax是增函數(shù)”互為逆否的命題是（)A．若實數(shù)a＜1,則函數(shù)y＝ax不是增函數(shù)B．若實數(shù)a≤1，則函數(shù)y＝ax不是增函數(shù)C．若函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，則實數(shù)a＞1D．若函數(shù)y＝ax不是增函數(shù)，則實數(shù)a≤15命題“如果角α＝45°，則tanα＝1”的否定是“______________"；其否命題是“______________”．答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．（2）qp（3)pq（4）qp【做一做1】解：它的逆命題、否命題、逆否命題分別為：如果x＝1或x＝－1，則x2＝1；如果x2≠1，則x≠1且x≠－1;如果x≠1且x≠－1,則x2≠1。2．(1)逆命題否命題（2)否命題逆否命題（3）逆否命題否命題【做一做2】D典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：逆命題：已知a，b，c，d都是實數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d；否命題：已知a，b,c，d都是實數(shù)，若a≠b或c≠d,則a＋c≠b＋d；逆否命題：已知a，b,c，d都是實數(shù)，若a＋c≠b＋d，則a≠b或c≠d.【例2】D利用四種命題的相互關(guān)系可判斷p與s,q與r都互為逆否關(guān)系;命題p是真命題，利用互為逆否的兩個命題真假性相同可知s也是真命題,而命題q，r為假命題,故選D.【例3】解:其否定為：有些面積相等的三角