2024-2025學年新教材高中數(shù)學第12章復數(shù)12.3復數(shù)的幾何意義課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價二十一復數(shù)的幾何意義(20分鐘35分)1.(2024·周口高二檢測)已知復數(shù)z1=2+i,z2=1+i,則QUOTE在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第三象限C.其次象限 D.第四象限【解析】選D.因為z1=2+i,z2=1+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,所以QUOTE在復平面內對應的點為QUOTE,位于第四象限.【補償訓練】已知i是虛數(shù)單位,復數(shù)z滿意(1+i)z=2i,則復平面內與z對應的點在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.因為(1+i)z=2i,所以z=QUOTE=QUOTE=1+i,所以復平面內與z對應的點在第一象限.2.(2024·全國Ⅰ卷)設復數(shù)z滿意|z-i|=1,z在復平面內對應的點為(x,y),則 ()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1【解析】選C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|=QUOTE=1,則x2+(y-1)2=1.故選C.3.向量對應的復數(shù)為z1=-3+2i,對應的復數(shù)z2=1-i,則|+|為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.因為向量對應的復數(shù)為z1=-3+2i,對應的復數(shù)為z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),則+=(-2,1),所以|+|=QUOTE.4.若|4+2QUOTEi|+x+(3-2x)i=3+(y+5)i(i為虛數(shù)單位),其中x,y是實數(shù),則|x+yi|= ()A.5 B.QUOTE C.2QUOTE D.2【解析】選A.由已知,得6+x+(3-2x)i=3+(y+5)i,所以QUOTE解得QUOTE所以|x+yi|=|-3+4i|=5.5.(2024·福州高二檢測)在復平面中,復數(shù)z1,z2對應的點分別為Z1QUOTE,Z2QUOTE.設z1的共軛復數(shù)為QUOTE,則QUOTE·z2=________.

【解析】由題意,得z1=1+2i,z2=2-i,所以QUOTE=1-2i,故QUOTE·z2=QUOTE·QUOTE=-5i.答案:-5i6.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b),(a,b∈R)是復平面上的四個點,且向量,對應的復數(shù)分別為z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若QUOTE=2,z1-z2為實數(shù),求a,b的值.【解析】(1)因為=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),所以z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,所以z1+z2=(a-4)+(b-4)i,又z1+z2=1+i,所以QUOTE所以QUOTE所以z1=4-i,z2=-3+2i.(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,因為QUOTE=2,z1-z2為實數(shù),所以QUOTE所以QUOTE(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·南昌高二檢測)若復數(shù)z=QUOTE在復平面內對應的點(x,y)滿意x+y=0,則QUOTE= ()A.2 B.QUOTE C.1 D.2QUOTE【解析】選B.因為復數(shù)z=QUOTE=QUOTE-i,所以復數(shù)z=QUOTE在復平面內對應的點的坐標為QUOTE,由復數(shù)z=QUOTE在復平面內對應的點(x,y)滿意x+y=0可得QUOTE-1=0?a=2,z=1-i,QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.(2024·綿陽高二檢測)定義運算QUOTE=ad-bc,若復數(shù)z滿意QUOTE=0(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復數(shù)QUOTE在復平面內對應的點在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.由題意QUOTE=-2iz+iQUOTE=0,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,則QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE在復平面內對應的點的坐標為QUOTE在第一象限.3.(2024·無錫高二檢測)已知復數(shù)z滿意:QUOTE=1,則QUOTE的最大值為 ()A.2 B.QUOTE+1 C.QUOTE-1 D.3【解析】選B.設z=x+yi(x,y∈R),由|z-2|=1得圓的方程QUOTE+y2=1,又|z-1+i|=QUOTE表示定點(1,-1)與圓上任一點(x,y)間的距離.則由幾何意義得|z-1+i|max=QUOTE+1=QUOTE+1.【補償訓練】(2024·臨澤高二檢測)已知復數(shù)z滿意|z-1+i|=1,則|z+2-3i|的最小值為________.

【解析】由|z-1+i|=1得復數(shù)z對應的點是圓心為QUOTE,半徑為1的圓上的動點,|z+2-3i|表示的是圓上的點與點QUOTE的距離,所以其最小值為點QUOTE到圓心QUOTE的距離減去半徑即QUOTE-1=4.答案:44.設復數(shù)z滿意QUOTE=QUOTE+1,z在復平面內對應的點的坐標為QUOTE,則 ()A.x2=2y+1 B.y2=2x+1C.x2=2y-1 D.y2=2x-1【解析】選B.z在復平面內對應的點的坐標為QUOTE,則z=x+yi,QUOTE=x-yi,因為QUOTE=QUOTE+1,代入可得QUOTE=x+1,解得y2=2x+1.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.在復平面內,復數(shù)z1,z2對應點分別為A,B.已知A(1,2),|AB|=2QUOTE,|z2|=QUOTE,則z2的可取值為 ()A.4+5i B.5+4iC.QUOTE+QUOTEi D.QUOTE+QUOTEi【解析】選BD.設z2=x+yi(x,y∈R),由條件得,QUOTE所以QUOTE或QUOTE所以z2=5+4i或QUOTE+QUOTEi.【光速解題】將選項代入條件|AB|=2QUOTE,可以干脆解除A,C,再將選項B,D代入條件|z2|=QUOTE驗證知BD正確.6.(2024·蘇州高二檢測)已知i為虛數(shù)單位,下列說法中正確的是 ()A.若復數(shù)z滿意|z-i|=QUOTE,則復數(shù)z對應的點在以(1,0)為圓心,QUOTE為半徑的圓上B.若復數(shù)z滿意z+|z|=2+8i,則復數(shù)z=15+8iC.復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離,也就是復數(shù)對應的向量的模D.復數(shù)z1對應的向量為,復數(shù)z2對應的向量為,若QUOTE=QUOTE,則⊥【解析】選CD.滿意|z-i|=QUOTE的復數(shù)z對應的點在以(0,1)為圓心,QUOTE為半徑的圓上,A錯誤;在B中,設z=a+bi(a,b∈R),則|z|=QUOTE.由z+|z|=2+8i,得a+bi+QUOTE=2+8i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-15+8i,B錯誤;由復數(shù)的模的定義知C正確;由QUOTE=QUOTE的幾何意義知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,從而兩鄰邊垂直,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.德國數(shù)學家阿甘得在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法,形成由各點都對應復數(shù)的“復平面”,后來又稱“阿甘得平面”.高斯在1831年,用實數(shù)組(a,b)代表復數(shù)a+bi,并建立了復數(shù)的某些運算,使得復數(shù)的某些運算也像實數(shù)一樣地“代數(shù)化”.若復數(shù)z滿意QUOTE·z=7+i,則z對應的點位于第________象限,|z|=________.

【解析】z=QUOTE=1-i,則z對應的點位于第四象限;|z|=QUOTE.答案:四QUOTE8.(2024·全國Ⅱ卷)設復數(shù)z1,z2滿意|z1|=|z2|=2,z1+z2=QUOTE+i,則|z1-z2|=__________.

【解析】因為|z1|=|z2|=2,可設z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=QUOTE+i,所以QUOTE,兩式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化簡得cosθcosα+sinθsinα=-QUOTE,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·連云港高二檢測)已知復數(shù)z=QUOTE(m∈R,i是虛數(shù)單位).(1)若z是純虛數(shù),求實數(shù)m的值;(2)設QUOTE是z的共軛復數(shù),復數(shù)QUOTE-2z在復平面上對應的點位于其次象限,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)z=QUOTE=3-2m-QUOTEi,因為z為純虛數(shù),所以QUOTE解得m=QUOTE.(2)因為QUOTE是z的共軛復數(shù),所以QUOTE=3-2m+QUOTEi,所以QUOTE-2z=2m-3+QUOTEi.因為復數(shù)QUOTE-2z在復平面上對應的點位于其次象限,所以QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE.10.(2024·濟南高二檢測)在①QUOTE<0,②z2+QUOTE=-2.這兩個條件中任選一個,補充在下面問題中,求出滿意條件的復數(shù)z,以及QUOTE.已知復數(shù)z1=1+i,z2=a+2i,QUOTE,________.若QUOTE=QUOTE+QUOTE,求復數(shù)z,以及QUOTE.

【解析】方案一:選條件①,因為z1=1+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由于QUOTE<0,所以QUOTE解得a=-1.所以z2=-1+2i,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,從而z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+i,QUOTE=QUOTE=QUOTE.方案二:選條件②.因為z2=a+2i,所以QUOTE=a-2i,由z2+QUOTE=2a=-2,得a=-1,所以z2=-1+2i,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,從而z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+i,QUOTE=QUOTE=QUOTE.復數(shù)z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復平面內對應的點分別為A,B,C,若∠BAC是鈍角,求實數(shù)c的取值范圍.【解析】在