數(shù)學課堂導學：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理（三）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、“分類”與“分步”是區(qū)分兩個計數(shù)原理的唯一標準【例1】某同學有若干本課外參考書，其中外語5本，數(shù)學6本，物理2本,化學3本，他欲帶參考書到圖書館看書。(1)若從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法?(2）若外語、數(shù)學、物理和化學參考書各帶一本,有多少種不同的帶法?(3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館,有多少種不同的帶法?思路分析：（1)中“帶一本參考書"應運用加法原理；(2）中“各帶一本參考書"應運用乘法原理；(3）中“第2本不同學科的書"應分情況討論，具有綜合性。解析：(1)要完成的事是“帶一本參考書”，由于無論帶哪一學科的書都完成了這件事，因此是分類問題,應用加法原理得5+6+2+3=16(種)不同的帶法.（2）要完成的事是“外語、數(shù)學、物理和化學各帶一本”。因此,選一個學科中的一本書只完成了這件事的一部分,只有幾個學科的書都選定了之后,才完成這件事，因此是分步計數(shù)問題,應用乘法原理，有5×6×2×3=180(種)不同的帶法.(3）要完成的事是“帶2本不同學科的書”，因此要分情況考慮,即先考慮是帶哪兩個學科的書，如帶外語、數(shù)學各一本，則選一本外語書或選一本數(shù)學書都只完成了這一件事的一部分,因此要用乘法原理，即有5×6=30種選法。同樣地，外語、物理各選一本，有5×2=10種選法.選外語、化學各一本有5×3=15種選法……，從而上述每種選法都完成了這件事.因此這些選法種數(shù)之間還應用加法原理，共有5×6＋5×2+5×3+6×2+6×3+2×3=91（種）二、兩個計數(shù)原理的綜合應用——分類和分步的先后問題【例2】從1到200的自然數(shù)中，各個數(shù)位上都不含數(shù)字8的自然數(shù)有多少個?分析：由題設條件要先分類,第一類考慮一位數(shù)中有多少不含數(shù)字8的自然數(shù)；第二類考慮兩位數(shù)中有多少個不含數(shù)字8的自然數(shù)，此類中又要分個數(shù)和十位數(shù)兩步，即要分步；第三類考慮三位數(shù)中有多少個不含數(shù)字8，也要分個位、十位、百位三步.故應先用分類計數(shù)原理，在每一類中需要分步的再用分步計數(shù)原理求解。解析：由題意分三類解決，第一類：一位數(shù)中有8個大于0且不含數(shù)字8的自然數(shù).第二類：兩位數(shù)中有多少不含數(shù)字8的自然數(shù)，此類需要分兩步，第一步：個位上除8之外有9種選法，第二步：十位數(shù)上除0和8之外有8種選法，要根據(jù)分步計數(shù)原理，得第二類數(shù)中有8×9=72（個)數(shù)符合要求.第三類：三位數(shù)中有多少不含數(shù)字8的自然數(shù)，此類需要分兩個小類，一類是百位數(shù)為1的三位數(shù)，此類需分三步，第一步：個位上除8之外有9種選法；第二步：十位數(shù)上除8之外有9種選法;第三步：百位數(shù)為1，有1種選法.根據(jù)分步計數(shù)原理,得此類數(shù)中有9×9=81(個）數(shù)符合要求。另一類是百位數(shù)為2的三位數(shù)，即200，就是1個，由分類計數(shù)原理得此時第三類的三位數(shù)中有81+1=82（個)不含數(shù)字8的自然數(shù)。故先用分類計數(shù)原理再結合分步計數(shù)原理，得從1到200的自然數(shù)中各個數(shù)位上都不含數(shù)字8的自然有N=8+72+82=162(個）.三、用兩個計數(shù)原理解題時，要注意化歸思想和分類討論思想的使用【例3】求與正四面體四個頂點距離之比為1∶1∶1∶2的平面的個數(shù)。解析：設正四面體的頂點為A,B,C,D，到這四個點距離之比為1∶1∶1∶2的平面α有兩類：（1）點A，B，C在平面α的同側，有2個（如圖）.①②(2)點A，B,C在平面α的兩側，有6個（如圖).①②③④⑤⑥轉換點A,B，C，D，共可得4×8=32個平面。各個擊破【類題演練1】已知集合M={-3，-2，—1,0,1,2}，P（a,b）是平面上的點,a,b∈M:（1）P（a，b)可表示平面上多少個不同的點?（2）P（a，b）可表示多少個坐標軸上的點？解析：（1)完成這件事分成兩個步驟：a的取法有6種，b的取法也有6種，∴P點個數(shù)為：N=6×6=36(個)（2)完成這件事可分三類：x軸上（不含原點)有5個；y軸上(不含原點）有5個；既在x軸上，又在y軸上的點即原點也適合，∴共有N=5+5+1=11（個）【變式提升1】甲廠生產(chǎn)的收音機外殼形狀有3種，顏色有4種,乙廠生產(chǎn)的收音機外殼形狀有4種，顏色有5種.這兩廠生產(chǎn)的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，共有多少種不同的品種?解析：分兩類：一類是甲廠生產(chǎn)的有3×4種,一類是乙廠生產(chǎn)的有4×5種，根據(jù)加法原理共有3×4+4×5=32種。【類題演練2】將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端點顏色不同；如果只有紅、黃、藍、綠、黑5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù).解析：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，第一步先將側面PAB上的三點P、A、B染色,由于只有5種顏色且具有同一條棱上的兩端點顏色不同，再分三個步驟共有5×4×3=60(種）染法。其次，當P、A、B用三種不同的顏色染好后,不妨設分別染的是P紅、A黃、B藍.若點C染黃色，則D可染藍、綠、黑，即有3種染法。若點C染綠色,則D可染藍、黑，即有2種染法.若點C染黑色，則D可染藍、綠，即有2種染法。故第二步C和D還有7種染法.最后,由分步計數(shù)原理,得共有60×7=420（種）染法.【變式提升2】同室四人各寫一張賀卡,先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡,則四張賀卡的不同分配方式有（)A。6種B.9種C。11種D.23種解析：記四人為甲、乙、丙、丁，則甲送出的卡片可以且只可以由其他的三人之一收到。故有3種分配方式；以乙收到為例,其他人收到卡片的情況可分為兩類:第一類:甲收到乙送出的卡片，這時,丙、丁只有互送卡片一種分配方式。第二類：甲收到的不是乙送出的卡片，這時，甲收到卡片的方式有2種（分別為丙和丁送出的)，對于每一種情形，丁收到卡片的方式只有一種。因此，根據(jù)分類與分步計數(shù)原理，得不同的分配方式數(shù)為：3×（1+2)=9.答案：B【類題演練3】在坐標平面上畫出63條直線:y=b,y=+2b，y=+2b，其中b=-10,—9,—8，…，—1，0，1,…8，9，10,這些直線將平面切成若干個等邊三角形,其中邊長為的等邊三角形有多少個?解析:6條最外面的直線圍成一個邊長為的正六邊形，穿過原點O的三條直線將這六邊形分成6個邊長為的等邊三角形。因為每個這樣的大三角形的邊長是小三角形邊長的10倍，且每個大三角形被分成102個小三角形，所以正六邊形內(nèi)部共有邊長為的小三角形為6×102=600（個）。另外，與正六邊形每條邊相鄰的外部都有10個邊長為的小三角形（如圖）。故邊長為23的等邊三角形的個數(shù)為N=6×102+6×10=660。【變式提升3】某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場,得3分;平一場得1分；負一場是0分。一球隊打完15場，積33分.若不考慮順序,該隊勝、負、平的情形共有（)A。3種B.4種C。5種D。6種解析：設該隊勝x場,平y(tǒng)場,負z場,則x，y,z是非負整數(shù),且因為不考慮勝、平、負的順序,所以問題轉化為求此方程組的不同非負