數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：已知三角函數(shù)值求角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、已知正弦值求角已知正弦值求角,與所給角的范圍有關(guān),應(yīng)根據(jù)角的范圍劃定單調(diào)區(qū)間后判斷角的個(gè)數(shù),反正弦是選在最基本的單調(diào)區(qū)間［—，］上定義的，其他單調(diào)區(qū)間上對應(yīng)的角可根據(jù)周期性寫出或用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到區(qū)間[-,］上，用反正弦表示出來?！纠?】已知sinx=，（1)當(dāng)x∈［—，］時(shí),求x的取值集合；（2)當(dāng)x∈［0，2π］時(shí),求x的取值集合;(3)當(dāng)x∈R時(shí)，求x的取值集合.思路分析：在函數(shù)y=sinx的非單調(diào)區(qū)間上,對于已知的一個(gè)正弦值，有多個(gè)角和它對應(yīng)，在單調(diào)區(qū)間上只有一個(gè)值與之對應(yīng)。解:（1)∵y=sinx在［-,］上是增函數(shù)，且知sin=,∴滿足條件的角只有x=.∴x的取值集合為{}.（2)∵sinx=〉0，∴x為第一或第二象限角,且sin=sin(π—）=.∴在［0，2π]上符合條件的角x=或?！鄕的取值集合為｛，｝。（3）當(dāng)x∈R時(shí)，x的取值集合為{x|x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z｝.溫馨提示(1)對于本題，由于范圍不同,所得的角可能不同,一定要注意范圍這一條件的約束作用。（2)對第(3）題的結(jié)論可寫為｛x|x=nπ+（—1）n·，n∈Z}.一般地,對于sinx=a(x∈R），|a|≤1，這個(gè)方程的解可表示成x=2kπ+arcsina或x=2kπ+π—arcsina,k∈Z,從而方程的解集為｛x｜x=kπ+(-1）karcsina，k∈Z｝.各個(gè)擊破類題演練1已知sinA=0.5018，求角A.（利用計(jì)算器）解：先按功能選擇鍵和，再依次按，得結(jié)果30。11915867，所以∠A=30.12°(若精確到1°,則結(jié)果為30°)。溫馨提示任意給定一個(gè)角,只要該角的函數(shù)值存在,總可以求出這個(gè)三角函數(shù)值.反過來,已知一個(gè)三角函數(shù)值，也可以求出與它對應(yīng)的角.變式提升1已知sin,且α是第二象限的角，求角α.思路分析：先求出，進(jìn)而求出α。解：首先確定所在象限。∵α是第二象限的角,∴是第一或第三象限的角。又∵sin=〈0,∴是第三象限的角。然后在［0，2π)內(nèi)找到滿足條件的.∵sin=,∴在［0，2π）內(nèi)滿足條件的角是π+=。再找到所有滿足條件的角.∴=2kπ+(k∈Z)。最后求出所有滿足條件的角α，∴α=4kπ+，k∈Z。溫馨提示本例中將看作一個(gè)整體，求出的所有角后,再求出α.二、已知角的余弦值求角已知余弦值求角,可利用y=cosx的圖象找出在［0，π]內(nèi)滿足條件的角，然后根據(jù)y=cosx的周期性用反余弦（或特殊角）表示所給范圍內(nèi)的角?！纠?】已知cosx=—0。287,（1）當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，求x；（2)當(dāng)x∈R時(shí),求x的取值集合。思路分析：由于cosx=—0.287,x不是特殊角，因此應(yīng)用反余弦表示x，而［0，π］正是反余弦的主值區(qū)間,故當(dāng)x∈［0,π］時(shí)，x=arccos(-0。287)=π-arccos0。287。當(dāng)x∈R時(shí),可利用誘導(dǎo)公式先求出［0，2π］內(nèi)的所有解,再利用周期性即可求出x∈R的所有解。解：（1)因?yàn)閏osx=-0.287,且x∈［0,π],所以x=arccos（—0.287）=π-arccos0。287.（2)當(dāng)x∈R時(shí)，先求出x∈［0,2π]上的解。因?yàn)閏osx=-0。287.故x是第二或第三象限角,由（1）知x1=π—arccos0.287是第二象限角。因?yàn)閏os（π+arccos0。287）=-cos(arccos0。287）=—0。287,且π+arccos0。287∈（π,)，所以x2=π+arccos0。287.由余弦函數(shù)的周期性，可知當(dāng)x=2kπ+x1或x=2kπ+x2,k∈Z時(shí),cosx=—0。287，即所求的x值的集合是｛x|x=2kπ+π—arccos0。287或x=2kπ+π+arccos0.287,k∈Z｝=｛x｜x=2kπ±arccos(-0。287),k∈Z｝.溫馨提示方程cosx=a,｜a｜≤1的解集可寫成{x｜x=2kπ±arccosa,k∈Z}。類題演練2已知cos（x+)=，求角x的集合.思路分析:把“x+”視為一個(gè)整體，首先在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上找出符合條件的角,再利用終邊相同的角的集合把它擴(kuò)展到整個(gè)定義域上.解:∵cos（x+）=〈0，∴角x+是第二或第三象限角。令cos(x+)=,得銳角+=.在區(qū)間［0，2π］上，符合條件的角是π—或π+,即或，所以在x∈R上,有+=+2kπ，k∈Z或+=+2kπ，k∈Z。化簡得x=π+4kπ或x=+4kπ，k∈Z.故角x的集合是｛x|x=π+4kπ或x=+4kπ，k∈Z}.變式提升2已知cosx=，x∈(—π，-），則x等于…（）A.arccos（）B。π—arccosC.-arccos()D.-arccos解析：∵arccos()∈(,π)，∴—arccos（）∈（-π，-）。故選C.答案:C三、已知正切值求角已知正切值求角，可利用y=tanx的圖象找出(—，)內(nèi)滿足條件的角，然后根據(jù)y=tanx的周期性用反正切（或特殊角)表示所給范圍內(nèi)的角.【例3】已知tanα=-2，若（1)α∈（-，)；（2)α∈［0，2π］；（3）α∈R,求角α.思路分析:由正切函數(shù)的單調(diào)性，可知在開區(qū)間(-，）內(nèi),符合條件tanα=-2的角只有一個(gè)，而在α∈[0,2π］內(nèi)，符合條件tanα=—2的角就有兩個(gè),而根據(jù)正切函數(shù)的周期性,可知第（3)題中符合條件的角α就有無窮多個(gè)了.解：(1）由正切函數(shù)在開區(qū)間(-,）上是增函數(shù)可知符合條件tanα=—2的角只有一個(gè),即α=arctan（—2）.（2）∵tanα=—2<0,∴α是第二或第四象限角。又∵α∈［0，2π］，由正切函數(shù)在區(qū)間(，π],(，2π］上是增函數(shù)知符合tanα=-2的角有兩個(gè),即α=π-arctan2，α=2π-arctan2.(3)α∈R時(shí)角α有無窮多個(gè),則α=（2k+1)π-arctan2或α=2（k+1)π-arctan2(k∈Z）。溫馨提示對于反三角函數(shù),我們要特別注意主值區(qū)間，即—≤arcsinx≤,0≤arccosx≤π，-〈arctanx<。類題演練3（1）已知sinx=,x∈(π,）,求角x；（2）已知tanx=3，x∈（3π,）,求角x.解法一:（1）令sinx1=，得x1=arcsin?！選∈（π，),∴符合條件的角x=π+x1=π+arcsin.（2)令tanx1=3，得銳角x1=arctan3.∵x∈（3π，)，∴符合條件的角x=3π+x1=3π+arctan3。解法二：（1)∵π〈x<,∴-<π—x〈0.又由sinx=，得sin（π-x)=.∴π-x=arcsin(）=-arcsin.∴x=π+arcsin.（2）∵3π〈x〈,∴0〈x-3π<。由tanx=3，得tan（x-3π）=3?！鄕—3π=arctan3.∴x=3π+arctan3