數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、正弦函數(shù)的圖象【例1】作函數(shù)y=3tanxcosx的圖象。思路分析：注意函數(shù)的定義域。解：由cosx≠0，得x≠kπ+，于是函數(shù)y=3tanxcosx的定義域?yàn)閧x｜x≠kπ+,k∈Z}。又y=3tanxcosx=3sinx，即y=3sinx（x≠kπ+,k∈Z).按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0π2πsinx010-103sinx030—30描點(diǎn)并將它們用光滑曲線連起來(lái):（如下圖)先作出y=3tanxcosx，x∈［0，2π]的圖象,然后向左、右擴(kuò)展，去掉橫坐標(biāo)為{x｜x=kπ+,k∈Z}的點(diǎn),得到y(tǒng)=3tanxcosx的圖象。溫馨提示（1)函數(shù)y=3tanxcosx的圖象與y=3sinx(x≠kπ+，k∈Z）的圖象在x=kπ+處不同.因此，作出y=3sinx的圖象后，要把x=kπ+（k∈Z）的這些點(diǎn)去掉。(2)作三角函數(shù)圖象時(shí)，一般要先對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，需要注意的是，要保持其等價(jià)性。因此，作函數(shù)圖象時(shí)，要先求定義域。各個(gè)擊破類題演練1畫(huà)出y=2sinx，x∈［0，2π］的圖象。思路分析：先列出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后在坐標(biāo)系中描出這五個(gè)點(diǎn)，最后用一條平滑的曲線依次把這五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)就得到y(tǒng)=2sinx，x∈［0，2π］的圖象。解:列表：x0π2πsinx010—102sinx020—20描點(diǎn)并將它們用平滑曲線連接起來(lái)：溫馨提示五點(diǎn)法是畫(huà)三角函數(shù)圖象的基本方法,其步驟為：（1)列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線.變式提升1根據(jù)正弦函數(shù)圖象求滿足sinx≥的x的范圍。解：首先，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出y=sinx,y=的圖象.然后觀察長(zhǎng)度為2π的一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)的情形，如觀察［0，2π］找出符合sinx≥的x的集合［,］.最后拓展到x∈[2kπ+,2kπ+］，k∈Z.溫馨提示（1)一般地，y=sinx觀察長(zhǎng)度為2π的區(qū)間,常常是[0，2π］或[—，]，即一個(gè)周期區(qū)間.（2）這類問(wèn)題也可用單位圓,借助三角函數(shù)線來(lái)解決。二、正弦函數(shù)的定義域，值域與性質(zhì)【例2】求下列函數(shù)的值域和最值：（1)y=2sinx—1；（2)y=3sin(3x+）+2；(3）y=2cos2x+5sinx—4；(4)y=.思路分析:利用｜sinx｜≤1，通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)。解：(1)∵—1≤sinx≤1,∴-2≤2sinx≤2.故—3≤2sinx—1≤1.當(dāng)x=2kπ+（k∈Z)時(shí),y有最大值1；當(dāng)x=2kπ-（k∈Z）時(shí),y有最小值—3.值域?yàn)椋邸?,1］.(2）u=3x+,則有y=3sinu+2，∴值域?yàn)椋邸?，5］.當(dāng)u=2kπ+（k∈Z),即x=kπ+(k∈Z）時(shí),y有最大值5.當(dāng)u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-（k∈Z)時(shí),y有最小值-1。(3)設(shè)sinx=u,則｜u｜≤1，y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx—4=—2u2+5u-2。①問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在定義域［-1，1］內(nèi)求二次函數(shù)①的值域問(wèn)題.配方，有y=-2（u-)2+，∵—1≤u≤1,∴當(dāng)u=-1,即x=2kπ—（k∈Z)時(shí),y有最小值-9;當(dāng)u=1，即x=2kπ+(k∈Z)時(shí),y有最大值1?！嗪瘮?shù)y的值域?yàn)椋?9，1］。（4)原函數(shù)可化為y=，即y=1-.∵1≤sinx+2≤3,∴≤≤1,1≤≤3，-3≤≤-1。故—2≤1≤0.∴函數(shù)y的值域?yàn)椋?2，0]，并且當(dāng)x=2kπ+時(shí)，y=0;當(dāng)x=2kπ—時(shí),y=-2.類題演練2求下列函數(shù)的值域：(1）y=cos2x+2sinx—2；（2)y=.(1)解：y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=—（sinx—1)2?！?1≤sinx≤1，∴sinx-1∈［-2,0］.∴y∈［—4，0］.∴函數(shù)y=cos2x+2sinx—2的值域是［-4，0］.（2)解法一：∵y==1+，∴當(dāng)sinx=-1時(shí)，ymin=1+=?！嘀涤?yàn)閇,+∞).解法二:由y=,得sinx=.又∵—1≤sinx≤1,∴∴y≥?！嗪瘮?shù)y=的值域?yàn)閇,+∞）。溫馨提示（1)一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，用上述方法時(shí)，要注意三角函數(shù)的特性。（2)求三角函數(shù)的值域,主要是運(yùn)用sinx,cosx的有界性，以及復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).變式提升2求函數(shù)y=的定義域。思路分析：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0.解:為使函數(shù)有意義,需滿sinx〉0，即由正弦函數(shù)或單位圓，如圖所示,∴｛x｜2kπ〈x≤2kπ+，k∈Z｝∪{x｜2kπ+≤x<2kπ+π，k∈Z}.【例3】求函數(shù)y=2sin（-x）的單調(diào)區(qū)間.思路分析:可依據(jù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間來(lái)求本題函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:y=2sin（-x)=—2sin(x-)，∵y=sinu（u∈R）的遞增,遞減區(qū)間分別為［2kπ—,2kπ+］（k∈Z），［2kπ+，2kπ+］(k∈Z),∴函數(shù)y=—2sin(x-)的遞增,遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定：2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z),2kπ-≤x—≤2kπ+(k∈Z)，得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z∈Z）,2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）?！嗪瘮?shù)y=2sin(-x)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間分別為[2kπ+,2kπ+］（k∈Z），[2kπ-，2kπ+](k∈Z）。溫馨提示從y=sinx,x∈［-,］的圖象上可看出：當(dāng)x∈[-,］時(shí)，曲線逐漸上升,sinx的值由—1增大到1;當(dāng)x∈［，]時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到—1。結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［—+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.類題演練3比較下列各組數(shù)的大?。海?）sin194°和cos160°；(2)sin和cos;(3）sin（sin)和sin（cos)。思路分析：先化為同名函數(shù)，然后利用單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值的大小.解：（1)sin194°=sin（180°+14°)=-sin14°,cos160°=cos(180°—20°）=-cos20°=-sin70°?！?°<14°〈70°〈90°,∴sin14°〈sin70°。從而-sin14°〉—sin70°,即sin194°>cos160°。（2)∵cos=sin（+）,又〈<+<π，y=sinx在［，π］上是減函數(shù),∴sin〉sin（+）=cos,即sin〉cos。(3）∵cos=sin，∴0<cos<sin<1〈。而y=sinx在（0，)內(nèi)遞增，∴sin(cos）<sin（sin）。變式提升3判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x）=xsin(π+x);(2）f(x)=。思路分析：可利用函數(shù)奇偶性定義判斷.解：（1)函數(shù)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.f(x)=xsin（π+x）=—xsinx,f(—x)=—（—x)sin(-x）=-xsinx=f（x）.∴f(x)是偶函數(shù)。(2）函數(shù)應(yīng)滿足1+sinx≠0,∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x∈R｜x≠2kπ+,k∈Z}?！嗪瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱.∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。三、正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ）一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ）(A〉0，ω〉0）,x∈R的圖象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（φ>0)或向右(φ〈0)平行移動(dòng)|φ｜個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（ω>1)或伸長(zhǎng)（0<ω〈1)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變）,再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A〉1)或縮短(0〈A<1)到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變)。當(dāng)函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(A>0,ω〉0),x∈［0，+∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A就表示這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離,通常把它叫做這個(gè)振動(dòng)的振幅;往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間T=，叫做振動(dòng)的周期；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)f==，叫做振動(dòng)的頻率；ωx+φ叫做相位，φ叫做初相(即當(dāng)x=0時(shí)的相位)。作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0）的簡(jiǎn)圖時(shí)，一般用五點(diǎn)法作圖。【例4】已知函數(shù)y=sin（2x+)+，x∈R。（1）當(dāng)函數(shù)值y取最大值時(shí)，求自變量x的集合;(2)該函數(shù)圖象可由y=sinx，x∈R的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變換得到？思路分析：利用y=sinx與y=Asin（ωx+φ）+B的圖象變換關(guān)系逐步進(jìn)行變換，但要注意變換的順序.解:（1）要使y取最大值,必須且只需2x+=+2kπ,k∈Z，即x=+kπ，k∈Z.∴當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為｛x｜x=+kπ,k∈Z｝。(2)將函數(shù)y=sinx的圖象依次進(jìn)行如下變換：①把函數(shù)y=sinx圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得y=sin2x的圖象；②把得到的圖象各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（2x+)的圖象；③把得到的圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,得y=sin（2x+）的圖象；④把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=sin（2x+）+的圖象.溫馨提示（1）本題把2x+視為一個(gè)整體,使思路變得十分清晰，這是一種重要而又常用的思考方法;(2)將y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（2x+）的圖象，為什么不是向左平移個(gè)單位呢？這是因?yàn)閟in（2x+)=sin［2(x+）]。類題演練4已知函數(shù)f（x）=2asin（2x—)+b的定義域?yàn)椋?,］,最大值為1，最小值為—5，求a，b的值.思路分析：應(yīng)按a>0和a<0分類討論。解:∵0≤x≤,∴—≤2x—≤?！唷躶in（2x-）≤1。當(dāng)a>0時(shí)，有當(dāng)a〈0時(shí)，有溫馨提示求值域或最大值、最小值問(wèn)題，一般依據(jù)是(1）sinx,cosx的有界性；（2）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值,最小值。根據(jù)上述原則，常把給出的函數(shù)變成下面幾種形式具體處理：(1）sin（ωx+φ）的一次式形式；（2）y=f(sinx）的形式，并根據(jù)｜sinx｜≤1來(lái)確定值域。變式提升4下圖是函數(shù)y=Asi