25.2 用列舉法求概率 初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)教案

教學(xué)設(shè)計(jì)課程類型新授課課程名稱用列舉法求概率編號(hào)姓名教材信息人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十五章第二節(jié)第一課時(shí)教學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容課標(biāo)分析“用列舉法求概率”選自人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十五章第二節(jié)，屬于統(tǒng)計(jì)與概率板塊的內(nèi)容。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：能通過列表、樹狀圖等方法列出隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率。結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，在學(xué)業(yè)方面，明確指出：能用列表、樹狀圖等方法求出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果以及指定隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率。在教學(xué)方面，明確指出：隨機(jī)事件的教學(xué)，要從小學(xué)階段的定性描述逐漸走向初中階段的定量分析，應(yīng)當(dāng)通過簡(jiǎn)單易行的情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟隨機(jī)事件，理解概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量；引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一類簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其所有可能發(fā)生結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的，每個(gè)可能結(jié)果發(fā)生的概率是相等的，再次基礎(chǔ)上了解簡(jiǎn)單隨機(jī)概率的計(jì)算方法。教材分析“用列舉法求概率”選自第二十五章概率初步第二節(jié)用列舉法求概率。這一節(jié)主要講述列表、樹狀圖法求隨機(jī)事件的概率。本節(jié)課是用列舉法求概率的第一課時(shí)，主要講授用列表法求隨機(jī)事件的概率。在一次試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限種，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，那么我們可以通過列舉試驗(yàn)結(jié)果的方法，求出隨機(jī)事件發(fā)生的概率。當(dāng)每次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素時(shí)，為了更清晰、不重不漏地列舉出試驗(yàn)的所有結(jié)果，教科書給出了以表格形式呈現(xiàn)的列舉法（列表法）。這種方法適合列舉每次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，且每個(gè)因素的取值個(gè)數(shù)較多的情形。相對(duì)于直接列舉，用表格列舉體現(xiàn)了分步分析對(duì)思考較復(fù)雜問題時(shí)所起到的作用。將試驗(yàn)涉及的一個(gè)因素所有可能的結(jié)果寫在表頭的橫行中，另一個(gè)因素所有可能的結(jié)果寫在表頭的豎列中，就形成了不重不漏地列舉出這兩個(gè)因素所有可能結(jié)果的表格。這種分步分析問題的方法，將在下節(jié)課樹狀圖法和高中分步乘法計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步運(yùn)用。另外，通過求概率，學(xué)生將進(jìn)一步體會(huì)概率的意義，逐步培養(yǎng)隨機(jī)觀念。學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)理解了列舉法求概率的含義，但對(duì)于涉及兩個(gè)因素的試驗(yàn)，如何正確列舉出試驗(yàn)所有可能的結(jié)果，怎樣才能做到不重不漏地列舉，如何設(shè)計(jì)出一種辦法解決這個(gè)較復(fù)雜問題，“分步”分析起到了重要作用.學(xué)生容易出現(xiàn)的問題是，沒有真正理解列表法的含義，雖然能夠通過模仿解決一些簡(jiǎn)單問題，但是無法靈活地使用列表法解決問題.教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成標(biāo)志核心素養(yǎng)用列舉法（列表法）求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，進(jìn)一步培養(yǎng)隨機(jī)觀念，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性。學(xué)生清晰地知道，對(duì)于結(jié)果種數(shù)有限且每種結(jié)果等可能的隨機(jī)試驗(yàn)中的事件，可以用列舉法求概率；當(dāng)每次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，且每個(gè)因素的取值個(gè)數(shù)較多時(shí)，相對(duì)于直接列舉，采用表格的方式更有利于將試驗(yàn)的所有結(jié)果不重不漏地列舉出來。學(xué)生能夠利用列表法正確計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，結(jié)合具體問題進(jìn)一步體會(huì)概率是如何定量地刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的。數(shù)據(jù)觀念感受分步分析對(duì)思考較復(fù)雜問題時(shí)起到的作用。培養(yǎng)重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神。學(xué)生探索、歸納列表法的過程中，學(xué)生在問題的引導(dǎo)下思考如何才能將涉及兩個(gè)因素試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果不重不漏地列舉出來，體會(huì)“分步”策略對(duì)解決復(fù)雜問題所起到的重要作用。模型觀念教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：用列表法求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率。強(qiáng)化措施：通過可能結(jié)果少的例1幫助學(xué)生初步感悟運(yùn)用列表法求概率，通過例2引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用列表法求概率。難點(diǎn)：列表法的運(yùn)用。突破措施：通過例1的事件來引導(dǎo)學(xué)生初步感知列表法，再回歸到教材通過例2，正式地學(xué)習(xí)列表法，循序漸進(jìn)的幫助學(xué)生突破本節(jié)難點(diǎn)。教法與學(xué)法教法：探究-引導(dǎo)-交流-發(fā)現(xiàn)學(xué)法：探究式發(fā)現(xiàn)法教學(xué)過程情景導(dǎo)入我們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常會(huì)做一些游戲，游戲規(guī)則制定是否公平，對(duì)游戲者來說非常重要，其實(shí)這是一個(gè)游戲雙方獲勝概率大小的問題.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧概率的求法。師生小結(jié)：在一次試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限種，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，那么我們可以通過列舉試驗(yàn)結(jié)果的方法，求出隨機(jī)事件發(fā)生的概率，這種求概率的方法叫做列舉法.【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)概率的意義，點(diǎn)明列舉法，為探究列表法作鋪墊。探究新知知識(shí)點(diǎn)一探究、歸納列表法例1．同時(shí)向空中拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，求下列事件的概率：(1)兩枚硬幣全部正面向上；(2)兩枚硬幣全部反面向上；(3)一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上。師生活動(dòng)：學(xué)生思考、交流.有些學(xué)生認(rèn)為上述三個(gè)事件恰好代表了拋擲兩枚硬幣的所有可能的結(jié)果，故概率均為；有些學(xué)生不贊同，認(rèn)為出現(xiàn)結(jié)果“正反”與“反正”應(yīng)分別算作兩種可能的結(jié)果，此外還有“正正”和“反反”兩種可能的結(jié)果，故上述事件的概率分別為，和。強(qiáng)調(diào)，使用列舉法求概率的關(guān)鍵，是列舉出試驗(yàn)中各種可能的結(jié)果，并且確保每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等?！驹O(shè)計(jì)意圖】突出用列舉法求概率的使用條件，即“結(jié)果只有有限種，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等”。問題1對(duì)于拋擲兩枚硬幣的問題，如何才能不重不漏地列舉出試驗(yàn)所有可能的結(jié)果，并且保證各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)多種方法列舉拋擲兩枚硬幣所能產(chǎn)生的全部結(jié)果.學(xué)生容易想到的方法是：將兩枚硬幣分別記做A,B,于是可以直接列舉得到(A正、B正)、(A反、B正)、(A正、B反)、(A反、B反)四種等可能的結(jié)果，從而求得概率?！驹O(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生思考、分析，列舉出拋擲兩枚硬幣所產(chǎn)生的全部結(jié)果.追問1：“同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣”與“先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”，這兩種試驗(yàn)的所有可能結(jié)果一樣嗎？師生活動(dòng)：師生討論，就例1的三個(gè)問題而言，“同時(shí)擲兩枚硬幣”與“先后兩次擲一枚硬幣”可以取同樣的試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。因此可以將同時(shí)擲兩枚硬幣，想象為先擲一枚，再擲一枚，分步思考：在第一枚為正面的情況下第二枚硬幣有正、反兩種情況；同理，第一枚為反面的情況下第二枚硬幣有正、反兩種情況.所有的結(jié)果共有4個(gè)，并且這4個(gè)結(jié)果的可能性相等教師指出：與“擲一枚硬幣”不同，“擲兩枚硬幣”的結(jié)果涉及兩個(gè)因素（第一枚硬幣與第二枚硬幣），可以采用“分步”的策略對(duì)兩個(gè)因素逐一進(jìn)行分析?！驹O(shè)計(jì)意圖】用問題提示學(xué)生：當(dāng)試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素時(shí)，可以“分步”對(duì)問題進(jìn)行分析。追問2：能否設(shè)計(jì)出一種方式，將“分步”分析的所有結(jié)果更清晰地列舉出來？師生活動(dòng)：師生交流，可以設(shè)計(jì)出如下表格，將“分步”思考的結(jié)果表示出來，從而列舉出所有等可能的結(jié)果。第二枚第一枚正反正正正反正反正反反反追問3：在設(shè)計(jì)表格時(shí)，表頭的橫行、豎列分別表示什么？每個(gè)格表示什么？師生活動(dòng)：設(shè)計(jì)表格時(shí)，表頭的橫行表示擲第一枚硬幣所有可能的結(jié)果，豎列表示擲第二枚硬幣所有可能的結(jié)果，表格中的每個(gè)格表示擲兩枚硬幣的一種可能結(jié)果.可以清晰地看到，所有結(jié)果共有4個(gè)，并且這4個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.教師點(diǎn)明列表法。【設(shè)計(jì)意圖】用問題啟發(fā)思考，讓學(xué)生感受到“分步”分析對(duì)思考較復(fù)雜問題時(shí)起到的作用.學(xué)生探索、歸納得出列表法，感受到用表格更有利于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果，更有說服力.知識(shí)二運(yùn)用列表法求概率例2同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，計(jì)算下列事件的概率：(1)兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同；(2)兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和是9；(3)至少有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為2.問題2例2的試驗(yàn)涉及幾個(gè)因素？能否直接列舉出試驗(yàn)所有可能的結(jié)果師生活動(dòng)：師生分析得出，與例1類似，例2的試驗(yàn)也涉及兩個(gè)因素（第一枚骰子和第二枚骰子)，但這里每個(gè)因素的取值個(gè)數(shù)要比例1多（拋一枚硬幣有2種可能的結(jié)果，但擲一枚骰子有6種可能的結(jié)果)，因此試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)也就相應(yīng)要多很多.因此，直接列舉會(huì)比較繁雜，可以使用列表法.列表法適合列舉每次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，并且每個(gè)因素的取值個(gè)數(shù)較多的情形.【設(shè)計(jì)意圖】分析列表法在解決如例2的問題時(shí)的優(yōu)勢(shì)。追問1：如何列表？師生活動(dòng)：學(xué)生分析，因?yàn)樵囼?yàn)涉及兩個(gè)因素（兩枚骰子），可以分兩步進(jìn)行思考，將第1枚骰子的所有可能結(jié)果作為表頭的橫行，將第2枚骰子的所有可能結(jié)果作為表頭的豎列，列出如下表格：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）(2，3)（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）上述表格不重不漏地列舉出了擲兩枚骰子所有可能的結(jié)果，可以看出，可能的結(jié)果共有36個(gè)，并且它們發(fā)生的可能性相等【設(shè)計(jì)意圖】明確列表法.追問2：如何計(jì)算上述三個(gè)事件的概率？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，根據(jù)用列舉法求概率的方法，已經(jīng)通過列表知道試驗(yàn)共有36種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，還需弄清各事件包含其中的多少種可能結(jié)果.從表格中可以看出：“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”（記為事件A)的結(jié)果有6個(gè)，所以P(A)=;“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和是9”（記為事件B)的結(jié)果有4個(gè)，所以P(B)=；“至少有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為2”（記為事件C)的結(jié)果有11個(gè)，所以P(C)=.【設(shè)計(jì)意圖】鞏固用列舉法求概率。追問3：如果把例2中的“同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子”改為“把一枚質(zhì)地均勻的骰子擲兩次”，得到的結(jié)果有變化嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分析回答，就例2中的三個(gè)問題而言，“同時(shí)擲兩個(gè)骰子”與“把一個(gè)骰子擲兩次”可以取同樣的試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，因此作此改動(dòng)對(duì)所得結(jié)果沒有影響.教師小結(jié)，當(dāng)試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素時(shí)，可以“分步”對(duì)問題進(jìn)行分析.【設(shè)計(jì)意圖】鞏固“分步”分析問題的意識(shí).（三）鞏固新知練習(xí)1.一個(gè)不透明的布袋子里裝有完全相同的四個(gè)乒乓球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.小林和小華按照以下方式抽取乒乓球：先從布袋中隨機(jī)抽取一個(gè)乒乓球，記下標(biāo)號(hào)后放回袋內(nèi)攪勻，再?gòu)牟即鼉?nèi)隨機(jī)抽取第二個(gè)乒乓球，記下標(biāo)號(hào).若兩次取的乒乓球標(biāo)號(hào)之和為4，小林贏；若標(biāo)號(hào)之和為5，小華贏.請(qǐng)判斷這個(gè)游戲是否公平，并說明理由.師生活動(dòng)：師生分析，這是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，要判斷游戲是否公平，需考察“標(biāo)號(hào)之和為4”(記為事件A)的概率與“標(biāo)號(hào)之和為5”（記為事件B)的概率是否相同.學(xué)生列表、計(jì)算得出，，所以這個(gè)游戲不公平，小華獲勝的可