第11講 利用導數(shù)研究雙變量問題（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第11講利用導數(shù)研究雙變量問題（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【命題預測】題型分析雙變量問題運算量大，綜合性強，解決起來需要很強的技巧性，解題總的思想方法是化雙變量為單變量，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決．知識講解破解雙參數(shù)不等式的方法:一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式:二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值;三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結(jié)果考點一、利用導數(shù)解決函數(shù)中的雙變量問題1．（2024·天津·高考真題）設函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)當時，若且，比較與的大小，并說明理由2．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.3．（23-24高三下·北京·開學考試）已知.(1)若，求在處的切線方程；(2)設，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當時，.4．（22-23高三下·四川成都·開學考試）已知函數(shù)，．(1)求證：存在唯一零點；(2)設，若存在，使得，求證：．5．（23-24高三上·江西·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，存在，使得，求M的最大值；(2)已知m，n是的兩個零點，記為的導函數(shù)，若，且，證明：.1．（2023·甘肅定西·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若a＝1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求證：．2．（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，求的最小值.3．（2023·福建龍巖·模擬預測）設函數(shù).(1)求的極值；(2)已知，有最小值，求的取值范圍.4．（2024·河南商丘·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個定點；(2)若，滿足，且，求的取值范圍．5．（2022·四川瀘州·一模）已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且時，，求實數(shù)m的取值范圍．6．（2023·河南鄭州·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．7．（2023·福建龍巖·二模）已知函數(shù)，．(1)若滿足，證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線；(2)若，且，證明：．8．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設是函數(shù)的兩個極值點，證明：．9．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．10．（2023·廣西·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若有兩個不同零點，證明：．11．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，當時，證明：．12．（2023·海南·模擬預測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的取值范圍；(2)若存在正數(shù)滿足（為的導函數(shù)），求證：.13．（2024高三下·全國·專題練習）設是函數(shù)的一個極值點．(1)求與的關系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；(2)設，．若存在，，使得，求實數(shù)的取值范圍．14．（2024·浙江紹興·三模）若函數(shù)有且僅有一個極值點，函數(shù)有且僅有一個極值點，且，則稱與具有性質(zhì)．(1)函數(shù)與是否具有性質(zhì)？并說明理由．(2)已知函數(shù)與具有性質(zhì)．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．15．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù).(1)設函數(shù)，若恒成立，求的最小值；(2)若方程有兩個不相等的實根、，求證：.1．（重慶·高考真題）設函數(shù)，.（1）求導數(shù)，并證明有兩個不同的極值點?；（2）若不等式成立，求的取值范圍.2．（湖南·高考真題）設函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；