圓的最值模型之阿氏圓模型（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專(zhuān)題08圓的最值模型之阿氏圓模型一、模型說(shuō)明背景故事：“阿氏圓”又稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足PA：PB=k（k≠1），則滿(mǎn)足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)“阿氏圓”.模型建立：當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示：易證：△BOP∽△POA，，∴對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P都有.對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線(xiàn)上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈恢眠x取A、B點(diǎn)，則需【技巧總結(jié)】計(jì)算的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等構(gòu)造母子型相似三角形問(wèn)題：在圓上找一點(diǎn)P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線(xiàn)段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB②計(jì)算出這兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度比③在OB上取一點(diǎn)C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)可得最小值二、例題精講例1．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【答案】①；②；③；④．【分析】①在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說(shuō)明當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可；②由，即可求出結(jié)果；③在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說(shuō)明當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可；④由，即可求出結(jié)果．【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．∵在中，．∴的最小值為；②∵，∴的最小值為；③如圖，在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．∵在中，．∴的最小值為；④∵，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線(xiàn)，并且理解三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)線(xiàn)段最短是解答本題的關(guān)鍵．例2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，連接、，推得，因?yàn)?，求出即可求出答案．解?：如圖：連接、、，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，接著推導(dǎo)出，最后證明，即可求解．【詳解】解法1如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，∴，，四邊形正方形，又，在與中，故答案為：2．解法2如圖：連接、、根據(jù)題意正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則如圖所示連接在與中，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵．例3．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且BP＝．連接CP，將線(xiàn)段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．【答案】5【分析】連接AC、AQ，先證明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，證明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．【詳解】解：如圖，連接AC、AQ，∵四邊形ABCD是正方形，PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴∵BP＝，∴AQ＝2，∴Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，在AD上取AE＝1，∵，，∠QAE＝∠DAQ，∴△QAE∽△DAQ，∴即EQ＝QD，∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，連接CE，∴，∴DQ+CQ的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠連接AC、AQ，證明兩對(duì)相似三角形求解.例4．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上時(shí)，直接寫(xiě)出BD＋AD的值；（3）直接寫(xiě)出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD＋AD的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或；（3）【分析】（1）利用SAS，即可證明△FCA≌△DCB；（2）分兩種情況當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)，討論即可求解；（3）取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．則CM＝1，可證得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，從而得到當(dāng)B，D，M共線(xiàn)時(shí)，BD+AD的值最小，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；（2）解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝；②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝，綜上所述，BD＋AD的值或；（3）如圖4中．取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．則CM＝1，∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM?CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴當(dāng)B，D，M共線(xiàn)時(shí)，BD+AD的值最小，最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例5．如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交直線(xiàn)于點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．【分析】對(duì)于（1），結(jié)合已知先求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；對(duì)于（2），在Rt△OAC中，利用三角函數(shù)的知識(shí)求出∠OAC的度數(shù)，再利用角平分線(xiàn)的定義求出∠OAD的度數(shù)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；接下來(lái)求出直線(xiàn)AD的解析式，表示出點(diǎn)P，H，F(xiàn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可完成解答；對(duì)于（3），首先求出⊙H的半徑，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK=14，此時(shí)K（-，）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性質(zhì)求出KQ=AQ，進(jìn)而可得當(dāng)E、Q、K共線(xiàn)時(shí)，AQ+EQ的值最小，據(jù)此解答.【詳解】（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線(xiàn)的解析式為yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線(xiàn)AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F(xiàn)（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）解得m或（舍棄），∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為．（3）如圖，∵PF是對(duì)稱(chēng)軸，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK，此時(shí)K（）．∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當(dāng)E、Q、K共線(xiàn)時(shí)，AQ+QE的值最小，最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線(xiàn)上時(shí)，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線(xiàn)時(shí)，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，，，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當(dāng)D、M、P共線(xiàn)時(shí)，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．問(wèn)題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫(xiě)出答案：的最小值為_(kāi)_______；（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）13．【分析】（1）根據(jù)題意可知最小值為AD長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出AD長(zhǎng)度．（2）連接CP，在CA上取一點(diǎn)D，使，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BD長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出BD長(zhǎng)度．（3）延長(zhǎng)OC到E，使，連接PE，OP，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BE長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出BE長(zhǎng)度．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值．故答案為：．（2）連接CP，在CA上取一點(diǎn)D，使，則有，∵，∴∽，得，∴，故，僅當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的最小值．（3）延長(zhǎng)OC到E，使，連接PE，OP，則，∵，∴∽，∴，∴，∴，僅當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，，即的最小值為13．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)閱讀材料的思路構(gòu)造出∽和∽是解題的關(guān)鍵．本題較難．【變式訓(xùn)練4】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線(xiàn)解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5，B（5，0）；（2）當(dāng)M（3，﹣4）時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；（3）PC+PA的最小值為，理由詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由直線(xiàn)y＝﹣5x+5求點(diǎn)A、C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)B坐標(biāo)．（2）從x軸把四邊形AMBC分成△ABC與△ABM；由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求△ABC面積；設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)段MH，則能用m表示MH的長(zhǎng)，進(jìn)而求△ABM的面積，得到△ABM面積與m的二次函數(shù)關(guān)系式，且對(duì)應(yīng)的a值小于0，配方即求得m為何值時(shí)取得最大值，進(jìn)而求點(diǎn)M坐標(biāo)和四邊形AMBC的面積最大值．（3）作點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，0），可得BD＝1，進(jìn)而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等可證△PBD∽△ABP，得等于相似比，進(jìn)而得PD＝AP，所以當(dāng)C、P、D在同一直線(xiàn)上時(shí)，PC+PA＝PC+PD＝CD最?。脙牲c(diǎn)間距離公式即求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）直線(xiàn)y＝﹣5x+5，x＝0時(shí)，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0時(shí)，解得：x＝1∴A（1，0）∵拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)∴

解得：∴拋物線(xiàn)解析式為y＝x2﹣6x+5當(dāng)y＝x2﹣6x+5＝0時(shí)，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5），∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB?OC＝×4×5＝10∵點(diǎn)M為x軸下方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，∴設(shè)M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB?MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四邊形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴當(dāng)m＝3，即M（3，﹣4）時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18（3）如圖2，在x軸上取點(diǎn)D（4，0），連接PD、CD，∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2，∴∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP∴，∴PD＝AP，∴PC+PA＝PC+PD∴當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線(xiàn)上時(shí)，PC+PA＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+PA的最小值為【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及相似三角形的判斷與性質(zhì).三、課后訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問(wèn)題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．2．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意，本題屬于動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-“阿氏圓”模型，首先作于，作于，如圖所示，通過(guò)代換，將轉(zhuǎn)化為，得到當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合解直角三角形即可得到相應(yīng)最值，進(jìn)而得到取值范圍．【詳解】解：作于，作于，如圖所示：，，，，，，，，當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，①連接，，，如圖1所示：可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②連接，，，如圖2所示：可得：四邊形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值模型-“阿氏圓”，難度較大，掌握解決動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的方法，熟記相關(guān)幾何知識(shí)，尤其是圓的相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使得，連接，，利用相似三角形的性質(zhì)證明，求的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．4．如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出AD得到PA的最小值．【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，∵AC為切線(xiàn)，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用相似比確定線(xiàn)段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是.

【答案】【分析】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E，使得CE=4，先證△DCE∽△ACD，將轉(zhuǎn)化為DE，從而求得的最小距離，進(jìn)而得出2AD+3BD的最小值．【詳解】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E，使得CE=4

∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小為EB，即ED+DB=EB∴在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出△DCE∽△ACD．6．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為．【答案】5【詳解】分析:由PD?PC＝PD?PG≤DG，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，PD?PC的值最大，最大值為DG＝5．詳解:在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1，如圖，∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，PD?PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5點(diǎn)睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．7．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．【答案】．【分析】在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據(jù)PC+PT≥TC，求出CT即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．【答案】【分析】連接OP，在射線(xiàn)OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)，最后在中利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖，連接OP，在射線(xiàn)OA上截取AE=6，連接PE．∵C是OA的中