專題03 解題技巧專題：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)壓軸題五種模型全攻略（解析版）

專題03解題技巧專題：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問題】 1【考點(diǎn)二二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象共存問題】 5【考點(diǎn)三含字母參數(shù)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】 10【考點(diǎn)四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c的問題】 20【考點(diǎn)五二次函數(shù)的圖象與幾何動點(diǎn)問題】 29【典型例題】【考點(diǎn)一二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問題】例題：（2023秋·廣東東莞·九年級東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知a是不為0的常數(shù)，函數(shù)和函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)題意分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：A.正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向下，，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，則，矛盾，故A不正確；B.正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向上，，與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，則，矛盾，故B不正確；C.正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向上，，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，則，故C正確；D..正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向下，，與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，則，矛盾，故D不正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，掌握正比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象即可分析判斷得出答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為：，∴對稱軸為，故A和B錯誤；當(dāng)，一次函數(shù)過第一、二、三象限，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，故C正確，D錯誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象解決問題是本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．

C．

D．

【答案】C【分析】由二次函數(shù)得拋物線開口向上，根據(jù)一次函數(shù)，得直線與軸的正半軸相交，交點(diǎn)為，可排除B、D，根據(jù)A、C圖象可知，拋物線交軸于負(fù)半軸得，則直線應(yīng)為下降趨勢，選擇答案即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，一次函數(shù)，∴得拋物線開口向上，直線與y軸的正半軸相交，交點(diǎn)為，∴B、D圖象不可能，∵根據(jù)A、C圖象可知，拋物線交軸于負(fù)半軸，∴，∴直線應(yīng)為下降趨勢，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東江門·九年級校考階段練習(xí)）如圖，函數(shù)和（a是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)解析式可得拋物線頂點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過一三四象限，即可求解．【詳解】解：∵的頂點(diǎn)為，∴只有A，C選項符合題意，當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過一三四象限，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．4．（2023秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷【詳解】解：A選項中二次函數(shù)圖象開口朝下，可得，由一次函數(shù)圖象可得，故此選項錯誤；B選項中二次函數(shù)圖象開口朝上，可得，可得，又由一次函數(shù)圖象可得，故此選項正確；C選項二次函數(shù)圖象開口朝上，可得，由一次函數(shù)圖象可得，故此選項錯誤；D選項二次函數(shù)圖象開口朝上，可得，可得，由一次函數(shù)圖象可得，故此選項錯誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，熟練的掌握函數(shù)圖象的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江杭州·九年級蕭山區(qū)金山初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象求出，，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與其系數(shù)的關(guān)系判斷出一次函數(shù)經(jīng)過的象限即可得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，∴，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴四個選項中只有C選項符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合判斷，正確根據(jù)二次函數(shù)推出，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象共存問題】例題：（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可知，二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)為時，即二次函數(shù)圖象過原點(diǎn)．再分兩種情況即，時結(jié)合二次函數(shù)中a，b同號對稱軸在y軸左側(cè)，a，b異號對稱軸在y軸右側(cè)來判斷出二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案．【詳解】解：①當(dāng)時，二次函數(shù)開口向上，過原點(diǎn)，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在一、二、三象限，反比例函數(shù)在一、三象限；②當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，過原點(diǎn)，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在二、三、四象限，反比例函數(shù)在二、四象限，觀察圖象可知只有D符合，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)中a的取值確定二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東日照·九年級?？计谥校┰谕恢苯亲鴺?biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)的取值范圍分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過一、三象限，二次函數(shù)的圖像開口向上，其對稱軸在軸右側(cè)，且與軸交于負(fù)半軸，故選項C、D不符合題意；當(dāng)時，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過二、四象限，二次函數(shù)的圖像開口向上，其對稱軸在軸左側(cè)，且與軸交于正半軸，故選項A不符合題意，選項B符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)的取值范圍分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況進(jìn)行討論．2．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）若，函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先由函數(shù)的圖象所在象限判斷的正負(fù)，得的正負(fù)，判斷函數(shù)的圖象開口方向是否符合；由，得，判斷函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)應(yīng)在軸的正半軸上．據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】由，得，判斷函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)應(yīng)在軸的正半軸上．A、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得，則，拋物線開口方向應(yīng)向下、拋物線與軸的交點(diǎn)應(yīng)在軸的正半軸上，本圖象符合，故選項A正確；B、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得，則，拋物線與軸的交點(diǎn)應(yīng)在軸的正半軸上，拋物線開口方向應(yīng)向上，而本圖象拋物線開口方向是向下，不符合，故選項B錯誤；C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得，則，拋物線開口方向應(yīng)向下、拋物線與軸的交點(diǎn)應(yīng)在軸的正半軸上，本圖象拋物線開口方向、與軸的交點(diǎn)都不符合，故選項C錯誤；D、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得，則，拋物線開口方向應(yīng)向上、拋物線與軸的交點(diǎn)應(yīng)在軸的正半軸上，而本圖象拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，不符合，故選項D錯誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決此類問題方法步驟一般為：（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限與二次函數(shù)圖象開口方向是否同時符合的正負(fù)；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與軸的交點(diǎn)是否符合要求．掌握解決此類問題的方法步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可知，二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)為時，即二次函數(shù)圖象過原點(diǎn)．再分兩種情況即，時結(jié)合二次函數(shù)中a，b同號對稱軸在y軸左側(cè)，a，b異號對稱軸在y軸右側(cè)來判斷出二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案．【詳解】解：①當(dāng)時，二次函數(shù)開口向上，過原點(diǎn)，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在一、二、三象限，反比例函數(shù)在一、三象限；②當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，過原點(diǎn)，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在二、三、四象限，反比例函數(shù)在二、四象限，觀察圖象可知只有D符合，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)中a的取值確定二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象．4．（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┖瘮?shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)，，結(jié)合兩個函數(shù)的圖象及其性質(zhì)分類討論．【詳解】解：分兩種情況討論：①當(dāng)時，反比例函數(shù)，在二、四象限，而二次函數(shù)開口向下，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，故選項B、C、D都不符合題意，選項A符合題意；②當(dāng)時，反比例函數(shù)，在一、三象限，而二次函數(shù)開口向上，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，故選項A、B、C、D都不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點(diǎn)判斷k取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)是否符合要求．5．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像，則二次函數(shù)的圖像可能是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象位置，確定出的正負(fù)，進(jìn)而利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：觀察圖象可得：，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，則二次函數(shù)的圖象可能是

，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各自圖象的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江杭州·八年級校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由拋物線的圖象可知，橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，即在第四象限可得，從而得到反比例函數(shù)的圖象分布在二、四象限，由拋物線的開口方向和與的交點(diǎn)個數(shù)得到，從而得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，即可得到答案．【詳解】解：由拋物線的圖象可知，橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，即在第四象限，，反比例函數(shù)的圖象分布在二、四象限，拋物線的開口向上，，拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三含字母參數(shù)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是(

)A．點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上B．當(dāng)且時，C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)D．當(dāng)時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的左側(cè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，當(dāng)時：，∵，∴，即：點(diǎn)不在該函數(shù)的圖象上，故A選項錯誤；當(dāng)時，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，，∴當(dāng)時，有最大值為，當(dāng)時，有最小值為，∴，故B選項錯誤；∵，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)，故選項C正確；當(dāng)時，拋物線的對稱軸為：，∴該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的右側(cè)，故選項D錯誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當(dāng)時，拋物線與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當(dāng)時，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）拋物線（是常數(shù)且）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）．下列四個結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過；②；③點(diǎn)，在拋物線上，且，則；④若是方程的兩個根，其中，則．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)的對稱軸為直線，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，逐一分析，判斷對錯即可解答．【詳解】解：①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，當(dāng)時，，，∴該拋物線一定經(jīng)過，故此項正確；②由①得：，，，，，，，故此項正確；③拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時，，，，也符合題意與矛盾，故此項錯誤．④∵拋物線，對稱軸為直線，拋物線對稱軸為直線，∴拋物線圖象向左平移2個單位得到拋物線的圖象，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，是方程的兩個根，是拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，，故此項正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)自變量x的取值范圍為時，函數(shù)y有最大值，最大值為13，則下列結(jié)論不正確的是（）A．拋物線與x軸有兩個交點(diǎn) B．當(dāng)拋物線開口向下時，C．對稱軸在y軸的左側(cè) D．當(dāng)拋物線開口向上時，【答案】D【分析】先把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：由題意得，有最大值是13∵，∴，解得，∴B選項正確．拋物線解析式為：，即對稱軸是：直線，∴C選項正確，又當(dāng)時，，，∴有兩個不等的實(shí)數(shù)根，∴A選項正確，∵，∴當(dāng)拋物線開口向上時，由時，得當(dāng)時，則，解得，∴D選項錯誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的二次函數(shù)的結(jié)論①對于任意實(shí)數(shù)，都有對應(yīng)的函數(shù)值與對應(yīng)的函數(shù)值相等．②若圖象過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則當(dāng)時，．③若，對應(yīng)的的整數(shù)值有個，則或．④當(dāng)且時，，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先求出該函數(shù)對稱軸為直線，再得出和關(guān)于直線對稱，即可判斷①；把代入，求出，則當(dāng)時，y隨x的增大而增大，得出，即可判斷②；根據(jù)，然后進(jìn)行分類討論：當(dāng)時，當(dāng)時，即可判斷③；根據(jù)當(dāng)且時，得出y隨x的增大而減小，根據(jù)時，，求出，則當(dāng)時，，求出n的值，即可判斷④．【詳解】解：①∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的對稱軸為直線，∵，，∴，即和關(guān)于直線對稱，∴對應(yīng)的函數(shù)值與對應(yīng)的函數(shù)值相等，故①正確，符合題意；②把代入得：，解得：，∴二次函數(shù)表達(dá)式為，∵，該函數(shù)的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∵，∴，∴，∴，故②不正確，不符合題意；③∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，∵，∴y隨x的增大而增大，∵，對應(yīng)的的整數(shù)值有個，∴四個整數(shù)解為：，∴，解得：，當(dāng)時，∵，∴y隨x的增大而減小，∵，對應(yīng)的的整數(shù)值有個，∴四個整數(shù)解為：，∴，解得：，綜上：或，故③正確，符合題意；④當(dāng)且時，y隨x的增大而減小，∵，∴當(dāng)時，，解得：，∴，當(dāng)時，，解得：，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，共2個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握的對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；時，函數(shù)開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，時，函數(shù)開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減?。?．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，下列說法中正確的個數(shù)是（

）（1）當(dāng)時，此拋物線圖象關(guān)于軸對稱；（2）若點(diǎn)，點(diǎn)在此函數(shù)圖象上，則；（3）若此拋物線與直線有且只有一個交點(diǎn)，則；（4）無論為何值，此拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離都等于．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求得拋物線的對稱軸即可判斷①；求得兩點(diǎn)到對稱軸的距離即可判斷②；令，根據(jù)，求得m的值即可判斷③；求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的頂點(diǎn)在直線上，可知直線與直線平行，求得兩直線的距離即可判斷④．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，∴拋物線的對稱軸為y軸，此拋物線圖象關(guān)于y軸對稱，故該項正確；（2）∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∵點(diǎn)，點(diǎn)在此函數(shù)圖象上，且，∴，故該項錯誤；（3）若此拋物線與直線有且只有一個交點(diǎn)，則令，整理得，∴解得，故該項錯誤；（4）∵∴頂點(diǎn)為，∴拋物線的頂點(diǎn)在直線上，∵直線與直線平行，∴此拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離都相等．

設(shè)直線交x軸于A，交y軸于B，點(diǎn)O到的距離為，則，∴∵∴∴，∴兩直線間的距離為，故該項正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與方程的關(guān)系，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)，下列四個結(jié)論：當(dāng)時，圖象與坐標(biāo)軸所夾的銳角為；若，則當(dāng)時，隨著的增大而減小；不論為何值，若將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，則圖象經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)時，拋物線頂點(diǎn)在第一象限．其中正確的結(jié)論是（填寫序號）【答案】【分析】由一次函數(shù)即可判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；得到平移后的解析式即可判斷；求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷．【詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)為一次函數(shù)，由于系數(shù)為，所以圖象與坐標(biāo)軸所夾的銳角不為，故錯誤；若，拋物線的對稱軸為直線，則當(dāng)時，隨著的增大而減小，故正確；當(dāng)函數(shù)圖象向左平移個單位時，解析式為，則其圖象過原點(diǎn)，故正確；當(dāng)時，對稱軸直線，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故拋物線頂點(diǎn)在第一象限，故正確；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．7．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)校考期末）對于二次函數(shù)．有下列說法：①若，則二次函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸相交；②若，當(dāng)時，y有最大值3；③若a為整數(shù)，且二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個公共點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)，則a的值只能等于1；④若，且為該函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，則．其中正確的是．（只需填寫序號）【答案】①②④【分析】求出的取值即可判斷①；由對稱軸方程可判斷出當(dāng)時，函數(shù)在時，y有最大值3，故可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個公共點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)可知對稱軸也是整數(shù)，可求出a，進(jìn)而判斷③；分別求出A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，再進(jìn)行比較即可判斷④．【詳解】解：①對于，令，得，由可得，即二次函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸相交，故①正確；②二次函數(shù)對稱軸方程為直線，∵，∴又拋物線的開口向上，∴二次函數(shù)的圖象在內(nèi)，當(dāng)時，y有最大值，最大值為：3；故②正確；③∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，∴，∵a為整數(shù)，∴，即a為任意整數(shù)；又二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個公共點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)，∴對稱軸必為整數(shù)，此時a的值不只能等于1，也可以是，故③錯誤；④∵為函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∵，∴，即．故④正確，所以，正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，從開口方向、對稱軸、與x軸（y軸）的交點(diǎn)進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c的問題】例題：（2023秋·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤，（的實(shí)數(shù)）；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)對稱性，判斷時函數(shù)值的符號，判斷①；根據(jù)圖象的開口方向，對稱軸，與y軸的交點(diǎn)位置判斷②；根據(jù)圖象判斷時，函數(shù)值的符號，判斷③；結(jié)合對稱軸和特殊點(diǎn)判斷④；根據(jù)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)判斷⑤，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴和的函數(shù)值相同，即：，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故①正確；∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴，，∴，∴，故②正確；由圖象可知：當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值小于0，即，∴，故③錯誤；∵，，∴，∴，即：，故④正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，∴，∴，故⑤錯誤；綜上：正確的有①②④，共3個．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子的符號．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北黃石·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④若為任意實(shí)數(shù)，則有．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)對稱軸在軸左側(cè)可得同號，根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)可得，即可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸為直線可得，即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時，結(jié)合即可判斷③；根據(jù)當(dāng)時，為最大值，即可判斷④，由此即可得到答案．【詳解】解：對稱軸在軸的左側(cè)，同號，拋物線與軸交于正半軸，，，故①錯誤，不符合題意；拋物線的對稱軸為直線，，，即，故②正確，符合題意；當(dāng)2，，，，故③正確，符合題意；當(dāng)時，為最大值，，即，故④錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有②③，共2個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)的圖象為拋物線，當(dāng)時，拋物線開口向上；對稱軸為直線，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．2．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對稱軸為直線．下列結(jié)論：；；；；．其中正確的結(jié)論有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)對稱軸、圖象開口方向、與軸的交點(diǎn)判斷出的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過，從而判斷②；根據(jù)圖象與軸有兩個交點(diǎn)可以得到，從而可以判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在和之間可以得出，再根據(jù)即可判斷④，根據(jù)，進(jìn)行比較即可判斷⑤，從而得到答案．【詳解】解：函數(shù)開口向上，，對稱軸在軸右側(cè)，異號，，拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，，，故①正確，符合題意；圖象與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，圖象與軸的另一個交點(diǎn)為，當(dāng)時，，故②錯誤，不符合題意；由圖象可得：拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，，，，，，故③正確，符合題意；二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在和之間，，圖象與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，，，，，，，故④正確，符合題意；，，，故⑤正確，符合題意；綜上所述，正確的有：①③④⑤，共4個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與軸的交點(diǎn)位置確定，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·北京·九年級?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（）的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列4個結(jié)論：

①；②；③若，是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)時，；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】由圖象開口方向，對稱軸位置，與軸交點(diǎn)位置判斷符號；把分別代入函數(shù)解析式，結(jié)合圖象可得的結(jié)果符號為負(fù)；由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)值越大；由拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為可得，從而進(jìn)行判斷無實(shí)數(shù)根；【詳解】解：①拋物線圖象開口向上，∵對稱軸在直線軸左側(cè)，∴同號，，∵拋物線與軸交點(diǎn)在軸下方，∴，故①正確；②，當(dāng)時，由圖象可得，由圖象知，當(dāng)時，，由圖象可得，∴，即，故②正確；③，，∵，∴點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)，∴，故③錯誤；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴無實(shí)數(shù)根，故④正確，綜上所述，①②④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)中與函數(shù)圖象的關(guān)系．4．（2023秋·福建福州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②當(dāng)時，y隨x的增大而減?。虎?；④．其中正確的結(jié)論有．（填序號）

【答案】①③④【分析】根據(jù)拋物線的特征可判斷①，由拋物線與軸的交點(diǎn)確定對稱軸后可判斷②，由可判斷③，由圖可知，當(dāng)時，，可判斷④．【詳解】解：拋物線開口向下，，對稱軸在軸右側(cè)，，拋物線與軸交于正半軸，，，故①正確，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線的對稱軸，當(dāng)時，隨的增大而增大，故②錯誤，，，，故③正確，由圖可知，當(dāng)時，，故④正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征以及拋物線與軸的交點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線為常數(shù)，的頂點(diǎn)為，拋物線與軸交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若方程的解是，，且滿足，則，；③關(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根；④，其中，正確的結(jié)論有．

【答案】①②/②①【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法得到a，b，c的符號，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)對每個結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：由題意得：，∴．∵拋物線的開口方向向上，∴．∴．∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，∴．∴．∴①的結(jié)論正確；∵方程，即的解是，，，∴拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，∵對稱軸為直線，拋物線與x軸交于點(diǎn)，∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為，∵拋物線開口向上，∴，，∴②的結(jié)論正確；∵拋物線為常數(shù)，的頂點(diǎn)為，∴二次函數(shù)有最小值n．∴拋物線與直線沒有公共點(diǎn)．∴方程無解．即方程沒有實(shí)數(shù)根．∴③的結(jié)論錯誤；∵拋物線為常數(shù)，的頂點(diǎn)為，

∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴④的結(jié)論錯誤．綜上，正確的結(jié)論為：①②，故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題中考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，正確利用圖象的信息得出二次函數(shù)中的系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五二次函數(shù)的圖象與幾何動點(diǎn)問題】例題：（2023·河南周口·河南省淮陽中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以1單位長度/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，整個運(yùn)動停止．以為一邊向上作正方形，若設(shè)運(yùn)動時間為秒，正方形與重合部分的面積為，則下列能大致反映與的函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根