專題11 比例性質(zhì)、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專題11比例性質(zhì)、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】 1【考點二利用黃金分割求線段的長】 3【考點三與黃金分割有關(guān)的證明】 4【考點四由平行判斷成比例的線段】 8【考點五由平行截線求相關(guān)線段的長或比值】 11【考點六構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長或比值】 13【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【考點一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若，求的值．【答案】6或【分析】分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出m的值即可．【詳解】解：當(dāng)時，根據(jù)比例的等比性可得：；當(dāng)時，可得，∴．【點睛】本題主要考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對式子用等比性時一定要注意根據(jù)分母是否為0進行分類討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽合肥·九年級合肥市五十中學(xué)西校?？计谀┤?，則.【答案】3【分析】根據(jù)比例設(shè)，則，然后代入比例式進行計算即可．【詳解】解：，設(shè)，則，，．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，掌握比的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）已知（，，均不為0），則式子的值是．【答案】1【分析】設(shè)，則，，，然后把，，代入代數(shù)式中進行分式的化簡運算即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，所以．故答案為：1．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中）已知，求的值．【答案】8或【分析】觀察與發(fā)現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出的值解出，因此設(shè)通過變換化為那么可能是或?qū)@兩種情況分別討論；【詳解】設(shè)則即所以或當(dāng)時，則同理所以當(dāng)時，所以故答案為8或-1【點睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個變量間的關(guān)系，因而假設(shè)做到這步已經(jīng)成功了一半，因而同學(xué)們在解題中一定要仔細(xì)觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系【考點二利用黃金分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一本書的寬與長之比為黃金比，書的長為14cm，則它的寬為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金比例求解即可．【詳解】解：∵一本書的寬與長之比為黃金比，書的長為，∴它的寬，故選：D．【點睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┤艟€段的長為2cm，點P是線段的黃金分割點，則最短的線段的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】較長的線段的長為cm，則較短的線段長是．根據(jù)黃金分割的定義即可列方程求解．【詳解】解：較長的線段的長為cm，則較短的線段長是．則，解得或（舍去）．較短的線段長是故選：C．【點睛】本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關(guān)鍵．2．（2023春·河南鄭州·九年級鄭州外國語中學(xué)?？奸_學(xué)考試）鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，是的黃金分割點，若線段的長為4cm，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵P是AB的黃金分割點，，∴；故選：A．【點睛】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵．【考點三與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）中，D是上一點，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先由等高的兩個三角形面積之比等于底之比，可得，，又因為，等量代換得出，根據(jù)黃金分割點的定義即可證明D是的黃金分割點；（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵，，又∵，∴，∴D是的黃金分割點；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點P，連接，在的延長線上取點F，使，以AF為邊作正方形，點M在上．(1)求的長；(2)點M是的黃金分割點嗎？為什么？【答案】(1)的長為，的長為；(2)點M是的黃金分割點，理由見解析【分析】（1）要求AM的長，只需求得AF的長，又，，則；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點的概念，則點M是AD的黃金分割點．【詳解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的長為，的長為；（2）點M是AD的黃金分割點．∵，∴點M是的黃金分割點．【點睛】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段的長，然后求得線段和之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進行判斷．2．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點P叫做線段AB的黃金分割點．采用如下方法可以得到黃金分割點：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點B作BD⊥AB于點B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則BC的長為．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設(shè)則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結(jié)論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設(shè)則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．【考點四由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項錯誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項錯誤，D選項正確；C．由，得，故C選項錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用平行線分線段成比例定理．2．（2023秋·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【詳解】解：，，，，；∴選項A、C、D正確，故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【考點五由平行截線求相關(guān)線段的長或比值】例題：（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點，點、分別在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】解：，，，，，，，，．故答案為：10．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知直線，如果，，那么線段的長是．

【答案】6【分析】由平行線所截線段對應(yīng)成比例可知，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查平行線所截線段對應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點分別在的邊上，且，過點作，分別交、的平分線于點．若，平分線段，則．【答案】//【分析】設(shè)、交于點，結(jié)合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設(shè)、交于點，∵，平分線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識，熟練運用平行線分線段定理是解題關(guān)鍵．【考點六構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在中，D為邊的中點，點E在線段上，的延長線交邊于點F，若，，則線段的長為．

【答案】【分析】過點作于點,由平行線分線段成比例定理得，求得，再結(jié)合中點進一步可得，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過點作于點；則；而，，；為邊的中點，，，故答案為：．

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點D、E是邊上的點，，連接，交點為F，，那么的值是．【答案】/【分析】過作，交于，依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得到，，進而可得的值．【詳解】解：如圖所示，過作，交于，則，即：，，，即：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·遼寧沈陽·八年級東北育才雙語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，與相交于點，則.【答案】【分析】先過E作，交于G，再作交于H，由平行線分線段成比例定理的推論，再結(jié)合已知條件，可分別求出和的值，相加即可．【詳解】解：作交于，作交于，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線分線段成比例定理．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）若（），則（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到，，代入代數(shù)式即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查了比例線段，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點D、E、F分別在邊上，，，則下列比例式中錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【詳解】A、∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∴，不符合題意；B、∵，∴，∴，不符合題意；C、∵，∴，∴，不符合題意；D、∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行線判定三角形的相似和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形中，，過點C作交于點E，連接，，若，則的長度是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】延長交于點P，先說明，利用全等三角形的性質(zhì)說明，再利用平行線分線段成比例定理說明是中位線，利用中位線的性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】解：延長交于點P．∵，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．∴是的中位線．∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的全等，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理、三角形的中位線定理等知識點是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期末）“黃金分割”廣泛存在于人們生活實踐中．在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.36m【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割比列方程直接進行求解．【詳解】解：設(shè)該雕像的下部設(shè)計高度為xm，由題意得：，解得：；故選C．【點睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2023秋·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）如果，則．【答案】【分析】設(shè)，，將，代入即可求解．【詳解】設(shè)，，∴故答案為：【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)，．6．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，abc，若，，則的長為．【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，解得，，故答案為：6．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川·九年級專題練習(xí)）如圖，樂器上的一根弦，兩個端點固定在樂器板面上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，之間的距離為．【答案】【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．【詳解】解：弦，點是靠近點的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，點是靠近點的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）作業(yè)本中有一道題：“如圖，在中，點為的中點，點在上，且，，交于點，求的值”，小明解決時碰到了困難，哥哥提示他過點作，交于點．最后小明求解正確，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)可得，結(jié)合，可得，根據(jù)點為的中點即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵點為的中點，∴，∵，∴，故答案為；【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例性質(zhì)得到線段比例．三、解答題9．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）（1）若，求的值；（2）若，且，求．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）先設(shè)，得到，然后代入計算即可；（2）先設(shè)，得到，再根據(jù)求出，最后進行比較即可．【詳解】解：（1）設(shè)，∴，∴；（2）設(shè)，∴，∴，解得，∴，∴．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個量的比值時，常用的解法是：設(shè)一個參數(shù)，把題目中的幾個量用所設(shè)的參數(shù)表示出來，然后消掉所設(shè)的參數(shù)，即可求得所給代數(shù)式的值．10．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，可得再代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）由，可得可得結(jié)合，從而可得答案.【詳解】解（1），AB＝3，BC＝6，DE＝4，經(jīng)檢驗：符合題意；（2），而DE：EF＝2：3，【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“兩條直線被一組平行線所截的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵.11．（2023秋·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．【答案】(1)燈桿AB的高度為4米(2)燈桿AB的高度為米【分析】（1）利用平行線分線段成比例的推論可知，代入求解即可；（2）同（1）可得，，先求出BC，進而求出AB．【詳解】（1）解：由題意可知，，，∴，由題意，，∴，即，解得，∴燈桿AB的高度為4米；（2）解：由題意可知，，，，∵中，，∴，即，同理，中，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴燈桿AB的高度為米．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．12．（2023·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題．角平分線分線段成比例定理：如圖，在中，平分，則．下面是這個定理的部分證明過程．證明：如圖②，過點C作，交的延長線于點E……任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；(2)如圖③，在中，是角平分線，，，．求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點C作，交BA的延長線于點E，由，可求證，，，可得，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）過點C作，交BA的延長線于點E，如圖②，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）的結(jié)論，可得，∵，，，∴，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的根，∴．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、角平分線的定義、解分式方程，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．13．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）材料一：北師大版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第四章，對“黃金分割比”的定義如下：“如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點D也是線段AB的黃金分割點．材料二：對于實數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a3為a1，a4的黃金數(shù)，a2為a1，a4的白銀數(shù)．請根據(jù)以上材料，回答下列問題（1）如圖，若AB＝4，點C和點D是線段AB的黃金分割點，則AC＝，CD＝．（2）實數(shù)0＜a＜b＜1，且b為0，1的黃金數(shù)，a為0，1的白銀數(shù)，求b﹣a的值．（3）實數(shù)k＜n＜m＜t，t＝2|