圓的最值模型之隱圓模型（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題09圓的最值模型之隱圓模型一、模型說明1、動點定長模型若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑2、直角圓周角模型固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點共圓，AB為直徑3、四點共圓模型固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C，則A、B、C、P四點共圓二、例題精講例1．（直角模型1）如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內(nèi)的動點，點P是邊上的動點，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，即可得點E在以為直徑的半圓上移動，設(shè)的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應(yīng)點是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，問題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點E在以為直徑的半圓上移動，如圖，設(shè)的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應(yīng)點是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的長度最小值為，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點E的運動路線是解題的關(guān)鍵．例2．（直角模型2）如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明，得出點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點為O，以O(shè)點為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點N∵點B為圓O外一點∴當(dāng)直線BM過圓心O時，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識．例3（四點共圓）．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點E、F同時從點D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動，當(dāng)點E到達點C時，運動停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點E、F移動過程中，點G移動路線的長度為（

）A．2 B．π C．2π D．π【答案】D【詳解】解：如圖，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四點共圓，∴點G的運動軌跡為弧CD，∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴點G的運動軌跡的長為π．故選：D．例4．（動點定長）如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當(dāng)A′C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線，得出A′的位置，過點M作MH⊥DC于點H，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長，進而求出A′C的長即可．【詳解】解：如圖所示，∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上．過點M作MH⊥DC于點H，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．【點睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，突破點是正確尋找點A′的位置．例5．（綜合1）正方形ABCD中，AB=4，點E、F分別是CD、BC邊上的動點，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先證明，從而，再根據(jù)，可求，可知點H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值．【詳解】解：如圖，取AD中點O，連接OG，以AO為斜邊作等腰直角三角形AOM，則，在和中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，是直角三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴點H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，如圖，連接BM，交圓M于，過點M作于點P，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3，在中，，∴．∴BH的最小值為．故選：C．【點睛】本題考查了最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，利用三角形相似以及點和圓的知識解決．例6．（綜合2）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、．（1）求證：；（2）①當(dāng)點在何處時，的值最?。虎诋?dāng)點在何處時，的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，求正方形的邊長．【答案】（1）見解析；（2）①當(dāng)M點落在BD的中點時；②當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，理由見解析；（3）【分析】（1）由題意得，，所以，容易證出；（2）①根據(jù)“兩點之間線段最短”，可得，當(dāng)點落在的中點時，的值最小；②根據(jù)“兩點之間線段最短”，當(dāng)點位于與的交點處時，的值最小，即等于的長（如圖）；（3）作輔助線，過點作交的延長線于，由題意求出，設(shè)正方形的邊長為，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為．【詳解】解：（1）證明：是等邊三角形，，．，．即．又，．（2）解：①當(dāng)點落在的中點時，、、三點共線，的值最?。谌鐖D，連接，當(dāng)點位于與的交點處時，的值最小，理由如下：連接，由（1）知，，，，，是等邊三角形．．．根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，若、、、在同一條直線上時，取得最小值，最小值為．在和中，，，，，，若連接，則，，，、可以同時在直線上．當(dāng)點位于與的交點處時，的值最小，即等于的長．（3）解：過點作交的延長線于，．設(shè)正方形的邊長為，則，．在中，，．解得，（舍去負值）．正方形的邊長為．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點，添加適當(dāng)輔助線，靈活運用．三、課后訓(xùn)練1．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，點E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），從而得BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），BE長度的最小值BE′＝BM?ME′．【詳解】如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點、可含點，最短時，即為連接與的交點（圖中點點），在中，，，則．，長度的最小值，故選：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識點，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法．2．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對稱性，得點P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點O、點P、點C三點共線時，PC最?。桓鶕?jù)勾股定理的性質(zhì)計算得，通過線段和差計算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點P在以AB為直徑的上，連接OC交于點P，當(dāng)點O、點P、點C三點共線時，PC最小在中，，，，，，最小值為故選：D．【點睛】本題考查了兩點之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、兩點之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．3．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．【答案】A【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當(dāng)BD與該圓相切時，∠DBA最大，過C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函數(shù)計算出BD、CF的長，代入面積公式求解即可．【詳解】解：由題意知，D點軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當(dāng)BD與D點的軌跡圓相切時，∠DBA取最大值，此時∠BDA=90°，如圖所示，過C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時三角形ACE的面積==6，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點．此題綜合性較強，解題關(guān)鍵是利用D的軌跡圓確定出∠DBA取最大值時的位置．4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為．【答案】/【分析】先由折疊判斷出F的運動軌跡是為以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時BD、BF的長度即可．【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點的運動軌跡為：以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點B、D、F共線，且F在B、D之間時，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點運動軌跡是解題關(guān)鍵．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點，E為AB上一動點，點B關(guān)于DE的對稱點在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為．【答案】【分析】首先根據(jù)運動特點分析出點的運動軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，然后分點恰好落在邊上和點恰好落在邊上兩種情況討論，分別利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和判定進行求解和證明即可得出兩種臨界情況下的長度，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵點B與關(guān)于DE對稱，∴，則點的運動軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，①如圖所示，當(dāng)點恰好落在邊上時，此時，連接和，由題意及“三線合一”知，，，∴在中，，此時，根據(jù)對稱的性質(zhì)，，∴由等面積法，，∴，在中，；②如圖所示，當(dāng)點恰好落在邊上時，連接、、和，由題意，，∴，，∴，即：，∴，即：，∵點B與關(guān)于DE對稱，∴，，∴，∴，，由對稱的性質(zhì)，，∴，∴，∴，即：此時點為的中點，∴此時，，綜上，長的范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動點的運動軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切芜M行求解是解題關(guān)鍵．6．如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，D為AC的中點，M為BD的中點，將線段AD繞A點任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點M為BD的中點），若AC＝8，BC＝6，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長度的取值范圍是．【答案】3≤CM≤7【分析】由勾股定理可求AB＝10，由三角形中位線定理可求OM＝2，點M在以O(shè)為圓心，OM長為半徑的圓上運動，即可求解．【詳解】解：如圖，取AB中點O，連接OC，OM，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝，∵D為AC的中點，點O是AB中點，∴AD＝4，CO＝5，∵M為BD的中點，點O是AB中點，∴OM＝AD＝2，∴點M在以O(shè)為圓心，OM長為半徑的圓上運動，∴當(dāng)點M在線段OC上時，CM有最小值＝5﹣2＝3，當(dāng)點M在線段CO的延長線時，CM有最大值＝5+2＝7，∴線段CM長度的取值范圍3≤CM≤7，故答案為：3≤CM≤7．【點睛】本題主要考查三角形中位線及隱圓問題，熟練掌握三角形的中位線及動點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在矩形中，，，點、分別是邊、上的動點，且，點是的中點，、，則四邊形面積的最小值為．【答案】38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時，三角形ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點軌跡圓，該軌跡與BH交點即為所求最小值時的G點，利用面積法求出BH、GH的長，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當(dāng)G在BH上時，△ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動點相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點的運動軌跡．8．如圖，四邊形中，，，，，點是四邊形內(nèi)的一個動點，滿足，則面積的最小值為．【答案】【分析】取的中點，連接，過點作交的延長線于點，過點作于，交于，則，通過計算得出當(dāng)三點共線時，有最小值，求出最小值即可．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，過點作交的延長線于點，過點作于，交于，則，，，，，，，，，，，四邊形為等腰梯形，，，，，，點在以點為圓心，2為半徑的圓上，，，，，，，，，，，，當(dāng)三點共線時，有最小值，面積的最小值為．【點睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識點，點位置的確定是解題關(guān)鍵．9．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為．【答案】【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點P的運動軌跡是，如圖所示：連接OA、OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CDAC＝1，∵所對的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的長為π；故答案為：π．10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．【答案】5【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．11．問題背景如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直線l繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，過B，C兩點分別向直線l作垂線BD，CE，垂足為D，E，此時△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。ㄈ∽钚⌒D(zhuǎn)角度）．嘗試應(yīng)用如圖（2），△ABC為等邊三角形，直線l繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，D、E為直線l上兩點，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到嗎？若可以，請指出旋轉(zhuǎn)中心O的位置并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖（3）在問題背景的條件下，若AB＝2，連接DC，直接寫出CD的長的取值范圍．【答案】（1）旋轉(zhuǎn)中心為BC邊的中點O，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針，旋轉(zhuǎn)角度為90°；（2）可以，旋轉(zhuǎn)中心為為等邊△ABC三邊垂直平分線的交點O，理由見解析；（3）【分析】問題背景（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定即可；嘗試應(yīng)用（2）首先通過證明△ABD和△CAE全等說明點A和點B對應(yīng)，點C和點A對應(yīng)，從而作AB和AC的垂直平分線，其交點即為旋轉(zhuǎn)中點；拓展創(chuàng)新（3）首先確定出D點的運動軌跡，然后結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，分別討論出CD最長和最短時的情況，并結(jié)合勾股定理進行求解即可．【詳解】解：問題背景（1）如圖所示，作AO⊥BC，交BC于點O，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：∠AOC=90°，OA=OC，∴點A是由點C繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，同理可得，點B是由點A繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點D是由點E繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，旋轉(zhuǎn)中心為BC邊的中點O，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針，旋轉(zhuǎn)角度為90°；嘗試應(yīng)用（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，∴∠DAB=∠ECA，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴△ABD的A、B、D三點的對應(yīng)點分別為△CAE的C、A、E三點，則AC、AB分別視作兩組對應(yīng)點的連線，此時，如圖所示，作AC和AB的垂直平分線交于點O，∵△ABC為等邊三角形，∴由等邊三角形的性質(zhì)可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°，∴△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，旋轉(zhuǎn)中心為為等邊△ABC三邊垂直平分線的交點O；拓展創(chuàng)新（3）由（1）知，在直線l旋轉(zhuǎn)的過程中，總有∠ADB=90°，∴點D的運動軌跡為以AB為直徑的圓，如圖，取AB的中點P，連接CP，交⊙P于點Q，則當(dāng)點D在CP的延長線時，CD的長度最大，當(dāng)點D與Q點重合時，CD的長度最小，即CQ的長度，∵AB=AC，AB=2，∴AP=1，AC=2，在Rt△APC中，，由圓的性質(zhì)，PD=AP=1，∴PD=PQ=1，∴，，∴CD的長的取值范圍為：．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)三要素的確定，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要涉及等腰直角三角形和等邊三角