2023-2024學(xué)年廣東省惠州市博羅縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省惠州市博羅縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線C的方程為y=4x2，則其準(zhǔn)線方程為(

)A.y=?116 B.y=116 C.2.若直線l的方向向量是e=(?1,3)，則直線lA.π6 B.π3 C.2π33.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a3為2a2與A.22 B.12 C.4.已知平面α={P|n?P0P=0}，其中P0(1,1,1)A.(2,0,1) B.(2,0,2) C.(?1,1,0) D.(0,2,0)5.設(shè)A，B為兩個互斥的事件，且P(A)>0，P(B)>0，則下列各式錯誤的是(

)A.P(AB)=0 B.P(A?B)=[1?P(A)]P(B)

C.p(6.在數(shù)列{an}中，若a1=1，a2=2A.?1 B.?2 C.2 D.17.如圖，四面體O?ABC，G是底面△ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，A.13a+23b+238.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、A.2 B.3 C.2 二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前項和為Sn，a1=11A.S5=35 B.an=13?2n C.|an|10.已知圓C：(x?1)2+(y?2)2=25，直線lA.直線l與圓C可能相切

B.圓C被y軸截得的弦長為46

C.直線l被圓C截得的最短弦長為25

D.直線l被圓C11.已知正方體ABCD?A1B1C1DA.直線BC1與直線AD1所成的角為90°

B.B1D⊥平面ACD1

C.點(diǎn)B1到平面ACD12.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與(x?a)2+(y?b)2相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(a,b)A.函數(shù)f(x)=x2+4x+8?x2?4x+8有1個零點(diǎn)

B.函數(shù)g(x)=x2+4x+8?x2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是12，13，則該密碼被成功破譯的概率為

．14.圓C1：x2+15.已知直線l過點(diǎn)A(1,2,3)，且直線l的方向向量為m=(1,0,?1)，則點(diǎn)P(1,1,1)到l的距離為______．16.已知函數(shù)f(x)=2x2?1，正數(shù)數(shù)列{an}滿足f(an+1)=四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n2．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)18.(本小題12分)

已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是34，得到黃球或藍(lán)球的概率是12．

(1)求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)；

(2)隨機(jī)試驗：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．

(i)寫出該試驗的樣本空間Ω；

(ii)設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個游戲是否公平，請說明理由．19.(本小題12分)

已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點(diǎn)P與定點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8，求直線l的方程．20.(本小題12分)

如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．

(1)求該圓弧所在圓的方程；

(2)若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？(將汽車看作長方體)21.(本小題12分)

如圖所示的幾何體是由一個直三棱柱和半個圓柱拼接而成其中，∠FAB=90°，AB=AF=2，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)，且C，G，D，E四點(diǎn)共面．

(1)證明：D，G，B，F(xiàn)四點(diǎn)共面；

(2)若平面BDF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為216，求AD22.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)A(?2,0)，且離心率為12，設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P，Q是橢圓C上異于A，B的兩個動點(diǎn)，記直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，且3k1+k2=0．

(1)求證：直線PQ過定點(diǎn)R；

參考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.B

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.BD

11.BD

12.ACD

13.2314.215.316.217.解：(1)由Sn=n2，知a1=1．

當(dāng)n≥2時，an=Sn?Sn?1=2n?1(n=1也成立)．

∴an=2n?118.解：(1)從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球為事件A，B，C，

因為A，B，C為兩兩互斥事件，

由已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12，

解得P(A)=12P(B)=14P(C)=14，

∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)分別是2，1，1；

(2)(i)由(1)知紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用a表示黃球，用b表示藍(lán)球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示試驗的樣本點(diǎn)，

則樣本空間Ω={(1,1)，(1,2)，(1,a)，(1,b)，(2,1)，(2,2)，(2,a)，(2,b)，(a,1)，(a,2)，(a,a)，(a,b)，(b,1)，(b,2)，(b,a)，(b,b)}；

(ii)由(i)得n(Ω)=16，記“取到兩個球顏色相同”為事件M，“取到兩個球顏色不相同”為事件N，

則n(M)=619.解：(1)由題意動點(diǎn)P(x,y)(x>0)與定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到直線x=?1的距離相等，

所以，曲線C是以F為焦點(diǎn)，直線x=?1為準(zhǔn)線的拋物線(去掉頂點(diǎn))，p2=1,p=2，

所以曲線C的軌跡方程是y2=4x(x>0)；

(2)若直線AB斜率不存在，則|AB|=4不合題意，因此直線AB斜率存在，

設(shè)直線AB方程為y=k(x?1)，代入曲線C方程整理得k2x2?(2k2+4)x+k2=0，

設(shè)A(x1,y20.解：(1)由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，

由圖形可得A(?8,0)，B(8,0)，D(0,4)，

設(shè)該圓的半徑為r米，則r2=82+(r?4)2，解得r=10，

圓心為(0,?6)，

故該圓弧所在圓的方程為x2+(y+6)2=100．

(2)設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，

則(d2)2+(6+1.6)2=102，

解得d=221.解：(1)證明：解析一：

連接DG，因為AB⊥AF，AF=AB，

所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，∠DCE=45°，

在半圓DGC上，G是弧CD中點(diǎn)，所以∠GDC=45°，

所以DG/?/EC，又EC//FB，

所以DG//FB，B、F、D、G四點(diǎn)共面．

解析二：

直三棱柱中，AB⊥AF，以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

AF=AB=2，設(shè)AD=?，

A(0,0,0)B(0,2,0)，F(xiàn)(2,0,0)，D(0,0,?)，G(?1,1,?)，

則DG=(?1,1,0)，F(xiàn)B=(?2,2,0)，F(xiàn)B=2DG，

所以DG//FB，B、F、D、G四點(diǎn)共面．

(2)直棱柱中，AB⊥AF，以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

AF=AB=2，設(shè)AD=?，F(xiàn)(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,?)，

FD=(?2,0,?)，BF=(2,?2,0)，

設(shè)平面BFD的法向量為n=(x,y,z)．

則n?FD=0n?BF=0，有?2x+?z=0,2x?2y=0.，化簡得x=?2z,x=y,，取n=(?,?,2)，

A(0,0,0)，B(0,2,0)，G(?1,1,?)，AB=(0,2,0)，AG=(?11,?)，

設(shè)平面ABG的法向量為m=(r,s.t)，

則m?AB=0m?AG=022.解：(1)證明：因為A(?2,0)，

所以a=2，

因為橢圓C的離心率為12，

所以ca=12，

解得c=1，

此時b2=a2?c2=3，

則橢圓C的方程為x24+y23=1，

所以B(2,0)，

此時k1=yPxP+2，k2=yQxQ?2，

若PQ斜率為0，

則P，Q關(guān)于y軸對稱，顯然與3k1+k2=0矛盾，

所以PQ斜率不為0，

不妨設(shè)直線PQ的方程為x=ty+m(m≠±2)，

聯(lián)立x=ty+mx24+y23=1，消去x并整理得(3