第13講 圓錐曲線中的定點、定直線問題（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page圓錐曲線中的定點、定直線問題（2類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新Ⅱ卷，第21題,12分雙曲線中的定直線問題直線的點斜式方程及辨析根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2023年全國乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的定點問題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2022年全國乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的直線過定點問題根據(jù)圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程2021年新Ⅱ卷，第20題,12分橢圓中的直線過定點問題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的弦長根據(jù)弦長求參數(shù)2023年全國甲卷（理科），第20題,12分橢圓中的直線過定點問題無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定點問題及其相關(guān)計算2.理解、掌握圓錐曲線的定直線問題及其相關(guān)計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點一、圓錐曲線中的定點問題1．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．2．（2020·全國·高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.3．（2019·全國·高考真題）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.4．（2019·北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.5．（山東·高考真題）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當(dāng)點的橫坐標(biāo)為時，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（?。┳C明直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.1．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知橢圓：，左右頂點分別是，，橢圓的離心率是.點是直線上的點，直線與分別交橢圓于另外兩點，.(1)求橢圓的方程.(2)若，求出的值.(3)試證明：直線過定點.2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別是，，且橢圓過點．(1)求橢圓C的方程；(2)過的左焦點作弦，這兩條弦的中點分別為，若，證明：直線過定點．3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為2，點為橢圓上的點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點A，B在橢圓上，直線PA，PB均與圓：相切，證明：直線AB過定點.4．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，不經(jīng)過坐標(biāo)原點且斜率為1的直線與交于P，Q兩點，為線段PQ的中點，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，直線PB與的另一個交點為，直線QB與的另一個交點為，其中，均不為橢圓的頂點，證明：直線MN過定點.6．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，點在上.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點（異于點），過點作軸的垂線與直線交于點，設(shè)直線的斜率分別為.證明：（i）為定值；（ii）直線過線段的中點.考點二、圓錐曲線中的定直線問題1．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.2．（安徽·高考真題）設(shè)橢圓過點，且左焦點為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的右頂點為，離心率為，過點的直線l與C交于M，N兩點．(1)若C的上頂點為B，直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；(2)過點M且垂直于x軸的直線交直線AN于點Q，證明：線段MQ的中點在定直線上．4．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長為，左、右頂點分別為，過右焦點的直線交橢圓于兩點（不與重合），直線與直線交于點．(1)求橢圓的方程；(2)求證：點在定直線上.5．（2024·山西臨汾·二模）已知橢圓的離心率為，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于P，Q兩點，過點作垂直于軸的直線與直線AQ相交于點，證明：線段PM的中點在定直線上．1．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，，動點P滿足，設(shè)點P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線l與曲線在y軸右側(cè)交于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點D，滿足．證明：點D在定直線上．2．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點，且，若點滿足，證明：點在一條定直線上.3．（2024·貴州遵義·一模）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，直線與的左、右兩支分別交于，兩點，四邊形為矩形，且面積為．(1)求四邊形的外接圓方程；(2)設(shè)，為的左、右頂點，直線過點與交于，兩點（異于，），直線與交于點，證明：點在定直線上．4．（2024·湖南長沙·三模）已知拋物線，過點的直線與交于不同的兩點.當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求的方程；(2)在線段上取異于點的點，且滿足，試問是否存在一條定直線，使得點恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請說明理由.5．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AD與BE交于點Q，證明：點在定直線上．1．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點．2．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點，點與橢圓上的點的距離的最小值為1.(1)求點的坐標(biāo).(2)過點作直線交橢圓于兩點（與不重合），連接，交于點.（ⅰ）證明：點在定直線上；（ⅱ）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.3．（2024·遼寧·二模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，面積為9的正方形的頂點分別在x軸和y軸上滑動，且，記動點P的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過點的動直線l與曲線交于不同的兩點時，在線段上取點Q，滿足．試探究點Q是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，說明理由．4．（2024·江西·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是上兩點（點，不同于點），直線，分別交直線于，兩點，若，證明：直線過定點．5．（2024·廣西·二模）已知拋物線，過點作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點，證明：．6．（2024·湖南婁底·一模）若拋物線的方程為，焦點為，設(shè)是拋物線上兩個不同的動點.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)中點為，若直線斜率為，證明在一條定直線上.7．（2024·山東濰坊·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，為直線上一點，動點滿足，.(1)求動點的軌跡的方程;(2)若過點作直線與交于不同的兩點，點，過點作軸的垂線分別與直線交于點.證明：為線段的中點.8．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標(biāo)原點O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．（2024·山西·一模）已知雙曲線經(jīng)過點，其右焦點為，且直線是的一條漸近線.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是上任意一點，直線.證明：與雙曲線相切于點；(3)設(shè)直線與相切于點，且，證明：點在定直線上.10．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右頂點分別是，直線與交于兩點（不與重合），設(shè)直線的斜率分別為，且.(1)判斷直線是否過軸上的定點.若過，求出該定點；若不過，請說明理由.(2)若分別在第一和第四象限內(nèi)，證明：直線與的交點在定直線上.11．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，點是上一點.(1)求的方程；(2)設(shè)是直線上的動點，分別是的左?右頂點，且直線分別與的右支交于兩點（均異于點），證明：直線過定點.12．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距為，點在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，點在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點．13．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為的上頂點和右頂點分別為，點的面積為2．(1)求的方程；(2)過點且斜率存在的直線與交于兩點，過點且與直線平行的直線與直線的交點為，證明：直線過定點．14．（2024·河南鄭州·三模）已知橢圓的左右頂點分別為和，離心率為，且經(jīng)過點，過點作垂直軸于點．在軸上存在一點（異于），使得．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)過點作一條垂直于軸的直線，在上任取一點，直線和直線分別交橢圓于兩點，證明：直線經(jīng)過定點．15．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）動點M到定點的距離與它到直線的距離之比為，記點M的軌跡為曲線.若為上的點，且.(1)求曲線的軌跡方程；(2)已知，，直線交曲線于兩點，點在軸上方.①求證：為定值；②若，直線是否過定點，若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.1．（陜西·高考真題）已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程;(Ⅱ)已知點B(－1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線l過定點.2．（山東·高考真題）已知動圓過定點，且與直線相切，其中．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)、是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．3．（廣東·高考真題）已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且軸，求證：直線經(jīng)過線段的中點．4．（山東·高考真題）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．（i）求證：點M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點P的坐標(biāo)．5．（山東·高考真題）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3,最小值為1.(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(I