（講評用卷）2024年河南南陽二模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年河南南陽二?！?shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.手機信號的強弱通常采用負數(shù)來表示，絕對值越小表示信號越強（單位：dBm），則下列信號最強的是（）A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣801.A【解析】∵|?50|＝50，|?60|＝60，|?70|＝70，|?80|＝80，50＜60＜70＜80，∴信號最強的是?50.2.我國古代數(shù)學家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體．如圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，將它在水平面內逆時針旋轉90°后，則旋轉后模型的主視圖是（）2.D【解析】如圖題所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，將它在水平面內逆時針旋轉90°后，旋轉后模型的主視圖是.3.2024年一季度我國國民經濟實現(xiàn)良好開局，一季度國內生產總值296299億元，按不變價格計算，同比增長5.3%，比上年四季度環(huán)比增長1.6%．其中296299億用科學記數(shù)法表示為（）A．2.96299×1012 B．2.96299×1013C．29.6299×1012 D．2.96299×10143.B【解析】296299億＝29629900000000有14個位數(shù)，根據(jù)科學記數(shù)法要求表示為2.96299×1013.4.下列計算正確的是（）A．(a?b)(?a?b)＝a2

?b2 B．2a3+3a3＝5a6C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．(?2x2)3＝?6x64.C【解析】(a?b)(?a?b)＝b2﹣a2，故選項A錯誤；2a3+3a3＝5a3，故選項B錯誤；6x3y2÷3x＝2x2y2，故選項C正確；(?2x2)3＝?8x6，故選項D錯誤.5.光線在不同介質中的傳播速度不同，從一種介質射向另一種介質時會發(fā)生折射．如圖是一塊玻璃的a，b兩面，且a∥b，現(xiàn)有一束光線CD從玻璃中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成DE，F(xiàn)為射線CD延長線上一點，已知∠1＝135°，∠2＝23°，則∠3的度數(shù)為（）A．20° B．22° C．32° D．35°5.B【解析】如圖，∵a∥b，∠1＝135°，∴∠CDG＝180°

?∠1＝45°，∴∠FDH＝∠CDG＝45°，∵∠2＝23°，∴∠3＝∠FDH

?∠2＝22°．6.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，且∠BEC＝35°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．115° C．125° D．130°6.C【解析】如圖，連接BD，∵AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，且∠BEC＝35°，∴∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BEC＝35°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+35°＝125°．7.對于實數(shù)a，b定義新運算：a※b＝ab2﹣b，若關于x的方程1※x＝k有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍（）A．k＞?B．k＜C．k＞?14D．k≥?147.A【解析】根據(jù)定義新運算，得x2?x＝k，即x2?x?k＝0，∵關于x的方程1※x＝k有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2－4ac＝(?1)2

?4×(?k)＞0，解得k＞8.圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達、歐拉等數(shù)學家都對π有過深入的研究，某校進行校園文化建設，擬從以上4位數(shù)學家的畫像中隨機選用2幅，則其中至少有一幅是中國數(shù)學家的概率是（）A．16

B．5C．12

D．8.B【解析】將4位數(shù)學家的畫像分別記為A、B、C、D，列表如下：ABCDA—（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）—（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）—（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）—由表格可知共有12種等可能的結果，其中至少有一幅是中國數(shù)學家的結果有（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共10種，∴至少有一幅是中國數(shù)學家的概率是10129.若二次函數(shù)y＝(x+h)2+k的圖象如圖所示，則點P（h，k）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9.D【解析】由題意，∵二次函數(shù)為y＝(x+h)2+k，∴其圖象的頂點坐標為（﹣h，k），又∵由圖象可知，頂點在第三象限，∴﹣h＜0，k＜0，∴h＞0，k＜0，∴點P（h，k）在第四象限．10.如圖①，正方形ABCD的邊長為4，M是邊BC的中點，點P從點A出發(fā)，沿線段AB、BM運動，到達點M即停止運動．設點P運動的路程為x，正方形ABCD的面積與△CDP的面積之比為y，圖②是y隨x變化的圖象．當點P運動到BM的中點時，對應圖象上點G的坐標為（）A．(5B．（5，2）C．(5D．(10.C【解析】∵四邊形ABCD為邊長為4的正方形，M是邊BC的中點，∴BM＝CM＝12BC＝2，∴當點P運動到BM的中點時，BP＝PM＝1，∴CP＝3，此時AB+BP＝5，即x＝5，∴

S正方形ABCD＝4×4＝16，S△CDP=12×4×3＝6，∴y＝166二、填空題11.甲、乙兩位同學各給出某個函數(shù)的一個特性，甲：“當x＞0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大”；乙：“函數(shù)圖象經過點（0，1）”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數(shù)，其表達式可以是

．11.y＝x+1（答案不唯一）【解析】∵當x＞0時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，且該函數(shù)圖象經過點（0，1），∴該函數(shù)可以為一次函數(shù)，設該一次函數(shù)的表達式為y＝kx+b（k≠0），則k＞0，b＝1，取k＝1，此時一次函數(shù)的表達式為y＝x+1．（答案不唯一，合理即可）12.如果將電阻R1，R2并聯(lián)，電路中的總電阻用R表示，那么總電阻用R與電阻R1，R2之間滿足公式1R=1R1+1R2，如圖，已知R，12.R【解析】∵1R＝1R1+1R2，即1R113.我國古代算書《四元玉鑒》記載“二果問價”問題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢”，其大意是：現(xiàn)有九百九十九文錢，共買甜果和苦果一千個，已知九個甜果十一文錢，七個苦果四文錢，請問甜果和苦果各買多少個？買甜果和苦果各需要多少文錢？設甜果買x個，苦果買y個，則可列方程組為

．13.x【解析】每個甜果的價格＝119（文），每個苦果的價格＝47（文），設甜果買x個，苦果買y個，根據(jù)題意，得x+14.如圖，BC與⊙O相切于點C，線段BO交⊙O于點A，過點A作⊙O的切線交BC于點D．若CD=103，AB＝8，則⊙14.5【解析】∵DA，CD是⊙O的切線，∴AD＝CD=103，∠BCO＝∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝8，∴BD＝AB2+AD2＝82+(103)2＝263，∴BC＝BD+CD＝263+103＝363＝12，OB=OA+AB=OA+8.在Rt△OBC中，OC215.如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝12，AC＝11，D為AB邊上一動點，點E在AC邊上，DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，點A的對應點為點F，連接BF．當△BDF為直角三角形時，AE的長為

．15.113或【解析】∵∠ABC＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，由折疊可得∠FDE＝∠ADE＝60°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴分兩種情況：①如圖①，當∠BFD＝90°時，點F在△ABC內，∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DF，由折疊的性質得DF＝AD，∴BD＝2AD，∴3AD＝12，∴AD＝4.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

ADAB=AEAC，即412=AE11，∴AE=113；②如圖②，當∠DBF＝90°時，點F在△ABC外，同理可得AD＝DF＝2BD，∴3BD＝12，∴BD＝4，∴AD＝AB﹣BD＝12﹣4＝8.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AE

答案圖①

答案圖②三、解答題16.（1）計算：(sin（2）解不等式組：3(16.解：（1）原式＝1－4+4

＝1；

（2）由①得，x＞?1，由②得，x＜3，∴原不等式組的解集為?1＜x＜3，∴它的所有整數(shù)解為0，1，2．17.某學校在“體育節(jié)”期間舉行投籃比賽活動．學校在每班隨機抽取10名同學參加，規(guī)定每人投籃10次．下面對八年級（3）班10名參賽同學的投中次數(shù)進行了收集、整理和分析．【收集數(shù)據(jù)】3，2，1，4，3，5，6，4，3，5；【整理數(shù)據(jù)】投中次數(shù)123456頻數(shù)1ab221根據(jù)上面整理的數(shù)據(jù)，制作出扇形統(tǒng)計圖，如圖；【分析數(shù)據(jù)】統(tǒng)計量班平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差八年級（3）班ef32.04【解決問題】根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：d＝

，e＝

，f＝

；（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖，將投中次數(shù)所占百分比不低于20%的記為“最多投中數(shù)”，學校通過“最多投中數(shù)”來評估八年級（3）班學生的投籃情況．若八年級（3）班共有40名學生，估計全班同學能達到“最多投中數(shù)”的有多少名？【數(shù)據(jù)應用】（3）八年級（6）班10名參賽同學的投中次數(shù)的相關信息如表：統(tǒng)計量班平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差八年級（6）班3.6423.64根據(jù)以上兩個班表中的統(tǒng)計量，你認為哪個班同學的投籃水平更高一些？并給出一條合理的解釋．17.解：（1）30，3.6，3.5；【解法提示】d%＝310×100%＝30%，∴d＝30，平均數(shù)e＝1×1+2×1+3×3+4×2+5（2）∵投中次數(shù)所占百分比不低于20%的記為“最多投中數(shù)”，∴40名學生能達到“最多投中數(shù)”的人數(shù)為40×（20%+20%+30%）＝28（人），答：八年級（3）班共有40名學生，估計全班同學能達到“最多投中數(shù)”的有28名；（3）八（3）班同學的投籃水平更高一些.理由：∵兩個班投中次數(shù)的平均數(shù)相同，但八（3）班投中次數(shù)的眾數(shù)比八（6）班的高，且投中次數(shù)的方差小于八（6）班，水平比較穩(wěn)定，∴八（3）班同學的投籃水平更高一些.18.如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，E是BC邊上一點，連接DE．（1）過點A作BC的平行線，與ED的延長線交于點F（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接AE、BF，若D是AB的中點，求證：AE∥BF．18.（1）解：如圖，直線AF即為所求（作法不唯一）；（2）∵AF∥BC，∴∠AFD＝∠BED，∵D是AB的中點，∴AD＝BD，在△AFD和△BED中，∠A∴△AFD≌△BED（AAS），∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∴AE∥BF．19.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點為A（0，4），B（0，2），C（3，0），將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，其中點B、C的對應點分別為點D、E．（1）若反比例函數(shù)y＝kx(x＜（2）若點C的運動軌跡為CE?，求陰影部分的周（3）直接寫出直線CE的函數(shù)表達式．19.解：（1）由題意得，CO＝3，OA＝4，AB＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，則點D（?2，4），將點D的坐標代入反比例函數(shù)表達式得k＝?2×4＝

?8，∴該反比例函數(shù)表達式為y

＝?（2）由點A、B、C的坐標得，AC

＝CO2+OA2＝又∵有旋轉的性質得，∠EAC=90°，∴

CE?

=∴陰影部分的周長為AE+AB+BC+

CE?

（3）如圖，過點E作EH⊥y軸于點H，∵∠COA＝∠EHA＝∠CAE＝90°，∴∠CAO+∠AHE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠EAH，∵AC＝AE，∴△COA≌△AHE（AAS），∴OC＝AH，OA＝HE，∵CO＝3，OA＝4，則AH＝OC＝3，EH＝OA＝4，∴OH＝OA

?AH則點E（?4，1），設直線CE的函數(shù)表達式為y＝ax+b（a≠0），由點C、E的坐標得，

?4解得

a＝∴直線CE的函數(shù)表達式為y

＝?17x20.為建設綠色南陽、美麗南陽，營造良好的生態(tài)和景觀環(huán)境，我市市政管理處在景觀樹的下方安裝了射燈（如圖①），圖②是其示意圖，斜坡BC的坡頂有一棵豎直的樹AB，在坡底放置一射燈CD（與AB平行），當射燈的光線DA與水平面的夾角α為65°時，光線DA恰好射到樹頂A處，已知斜坡BC的坡度為1:3，射燈CD的高為10cm，斜坡BC的長為100cm，A、B、C、D在同一平面內，求景觀樹AB的高度．（結果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin65°≈0.91，20.解：如圖，過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，過點D作DF⊥AE，垂足為點F，由題意得CD＝EF＝10cm，DF＝CE，∵斜坡BC的坡度為1:∴

BE在Rt△BCE中，tan∠BCE

＝B∴∠BCE＝30°.∵BC＝100cm，∴BE

＝12BC＝50（cm），CE＝DF＝3BE＝503（在Rt△ADF中，∠ADF＝65°，∴AF＝DF?tan65°≈50

3×2.14＝1073（cm∴AB＝AF+EF

?BE＝107

3+10

?50＝107

×1.73+10?50≈145∴景觀樹AB的高度約為145cm．21.近年來，電商平臺直播帶貨成了一個火熱的新興職業(yè)，某主播帶貨圖書《蘇東坡傳》，他用雙語直播，風趣幽默，點燃了不同年齡讀者的讀書熱情．已知這本書的成本價為10元，規(guī)定銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的3倍，通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，該書每天的銷售量y（本）與銷售單價x（元/本）之間近似滿足一次函數(shù)關系，部分對應數(shù)據(jù)如表：x（元/本）…1525…y（本）…700500…（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，求y關于x的函數(shù)表達式，并寫出x的取值范圍；（2）若銷售該書每天的利潤為6000元，求該書的銷售單價；（3）銷售該書每天的利潤能否達到9000元？請說明理由．21.解：（1）設y關于x的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k≠0），將（15，700）、（25，500）代入上式，得

15k解得

k＝∴y關于x的函數(shù)表達式為y＝

?20x+1000（10≤x≤30）；（2）依題意有(x?10)(?20x+1000)＝6000，解得x1＝20，x2＝40，∵10≤x≤30，∴x＝20；答：該書的銷售單價為20元；（3）銷售該書每天的利潤不能達到9000元．理由如下：根據(jù)題意得(x?10)(?20x+1000)＝9000，整理得x2

?60x+950＝0，∵

b2?4ac＝602?4×1×950＝∴該方程沒有實數(shù)根，∴銷售該書每天的利潤不能達到9000元．22.為有效地應對高樓火災，某消防中隊進行消防技能比賽．如圖，在一個廢棄高樓距地面10m的點A和15m的點B處，各設置了一個火源，消防員來到火源正前方，水槍噴出的水流看作拋物線的一部分．第一次滅火時站在水平地面的點C處，水流從C點射出恰好到達點A處，且水流的最大高度為16m，水流的最高點到高樓的水平距離為4m.建立如圖所示的平面直角坐標系，水流的高度y（m）與出水點到高樓的水平距離x（m）之間滿足二次函數(shù)關系．（1）求消防員第一次滅火時水流所在拋物線的函數(shù)表達式；（2）待A處火熄滅后，消防員前進2m到點D（水流從D點射出）處進行第二次滅火，若兩次滅火時水流所在拋物線的形狀完全相同，請判斷水流是否到達點B處，并說明理由．22.解：（1）由題意得，拋物線的頂點坐標為（4，16），A（0，10），∴設拋物線的函數(shù)表達式為y＝a（x?4）2+16（a

<0）．將點A（0，10）代入，得10＝a（0?4）2+16．解得a＝?∴消防員第一次滅火時水流所在拋物線的函數(shù)表達式為y＝?38(x

?4)（2）不能．理由如下：由題意得，消防員第二次滅火時水流所在拋物線是由第一次拋物線向左平移2個單位得到的，∴消防員第二次滅火時水流所在拋物線的函數(shù)表達式為y

＝?38(x﹣4+2)2+16

＝?38(令x＝0，得y

＝?32+∵14.5＜15，∴消防員第二次滅火時水流所在拋物線不過B（0，15），∴水流不能到達B（0，15）處．23.綜合與實踐課上，老師和同學們開展了一場以“最小值”為主題的探究活動．【提出問題】老師提出了一個問題：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P為AD邊上的一動點，以PC為邊向右作等邊△PCE，連接BE，求BE的最小值；【探究發(fā)現(xiàn)】小明發(fā)現(xiàn)：如圖④所示，以BC為邊向下構造一個等邊△BCM，便可得到△PCM?△ECB，進而將BE的最小值轉化為PM的最小值．（1）按照小明的想法，請求出BE的最小值；（2）小剛受此啟發(fā)，舉一反三，提出新問題：如圖②，若將圖①

當中構造的等邊三角形，改為以PC為邊向右構造正方形PCFG，則運動過程中，BG的最小值是

；（3）小紅同學深入研究了小剛的問題，并又提出了新的問題：如圖③，若將圖②當中構造的正方形改為以PC為邊向右構造菱形PCHI，使∠CPI＝120°，也可求得BI的最小值，請你直接寫出BI最小值為

．23.解：（1）如解圖①，過點M作MK⊥AD于點K，交BC于點L，∵△PCE和△BCM都是等邊三角形，∴CE＝CP，CB＝CM，∠PCE＝∠MCB＝∠MBC＝60°，∴∠PCE+∠PCB＝∠MCB+∠PCB，即∠BCE＝∠MCP，在△BCE和△MCP中，

CE∴△BCE?△MCP（SAS），∴BE＝MP，∴當MP最小時，BE最小.∵M為定點，∴當MP⊥AD時，即點P與點K重合時，

MP最∵四邊形ABCD是矩形，BC＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，∴∠AKL＝∠A＝∠ABC＝90°，∴四邊形ABLK是矩形，∴KL＝AB＝3，在Rt△MCL中，ML＝CM?sin∠MCB＝6sin60°＝3

3，∴MK＝ML+KL＝3

3+3∵此時BE＝MP＝MK，∴BE的最小值為3

3+3（2）62；【解法提示】如解圖②