2024-2025學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.1.2瞬時速度與導數(shù)學案新人教B版選修2-2

PAGEPAGE11．1.2瞬時速度與導數(shù)1.了解瞬時速度的意義，導數(shù)函數(shù)的實際背景．2.理解函數(shù)在某一點處的導數(shù)及導函數(shù)的概念．3．駕馭利用定義求導數(shù)的方法．1．物體運動的瞬時速度設物體運動路程與時間的關系是s＝f(t)，當Δt趨近于0時，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變更率eq\f(f（t0＋Δt）－f（t0）,Δt)趨近于某個常數(shù)，這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度．2．函數(shù)在某點的瞬時變更率設函數(shù)y＝f(x)在x0及其旁邊有定義，當自變量在x＝x0旁邊變更量為Δx時，函數(shù)值相應地變更Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，假如當Δx趨近于0時，平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)趨近于一個常數(shù)l，那么常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變更率．記作：當Δx→0時，eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)→l.還可以說：當Δx→0時，函數(shù)平均變更率的極限等于函數(shù)在x0的瞬時變更率l，記作eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝l.3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變更率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．4．函數(shù)的導數(shù)(1)函數(shù)可導的定義假如f(x)在開區(qū)間(a，b)內每一點x導數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)內可導．(2)導函數(shù)的定義若f(x)在區(qū)間(a，b)內可導，則對開區(qū)間(a，b)內每個值x，都對應一個確定的導數(shù)f′(x)，于是在區(qū)間(a，b)內f′(x)構成一個新的函數(shù)，把這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，記為f′(x)(或y′x、y′)．導函數(shù)通常簡稱為導數(shù).1．一個物體的運動方程是s＝3＋t2，則物體在t＝3時的瞬時速度為()A．3 B．4C．5 D．6答案：D2．函數(shù)y＝2x＋1在x＝1處的導數(shù)為________．答案：23．函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1處的瞬時變更率為________．答案：－1物體運動的瞬時速度一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2.(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；(3)求t＝0到t＝2之間的平均速度．[解](1)當t＝0時的速度為初速度．在0時刻取一時間段[0，0＋Δt]，即[0，Δt]，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（Δt）－s（0）,Δt)＝eq\f(3Δt－（Δt）2,Δt)＝3－Δt.當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→3，所以物體的初速度為3.(2)取一時間段[2，2＋Δt]，則eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝eq\f(3（2＋Δt）－（2＋Δt）2－（6－4）,Δt)＝eq\f(－（Δt）2－Δt,Δt)＝－Δt－1，當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→－1，所以當t＝2時，物體的瞬時速度為－1.(3)當t∈[0，2]時，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（2）－s（0）,2－0)＝eq\f(3×2－4,2)＝1.所以在0到2之間，物體的平均速度為1.若本例中物體運動方程改為s＝3t2＋2，求解第(1)(2)問．解：(1)s＝3t2＋2，當t＝0時，Δs＝s(0＋Δt)－s(0)＝3(0＋Δt)2＋2－(3×02＋2)＝3(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝3Δt，所以當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→0，所以v0＝0.(2)s＝3t2＋2，當t＝2時，Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝3(2＋Δt)2＋2－(3×22＋2)＝12·Δt＋3(Δt)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(12Δt＋3（Δt）2,Δt)＝12＋3Δt.所以當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→12，所以v2＝12.eq\a\vs4\al()求運動物體瞬時速度的三個步驟第一步：求時間變更量Δt和位移變更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；其次步：求平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)；第三步：求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝s′(t0)．一物體的運動方程為s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0時的瞬時速度為1，則t0＝________．解析：因為Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7teq\o\al(2,0)＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1.答案：1用定義求函數(shù)的導數(shù)依據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù)y＝x2＋3在x＝1處的導數(shù)．[解]Δy＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋（Δx）2,Δx)＝2＋Δx.所以y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(2＋Δx)＝2.eq\a\vs4\al()求函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的三個步驟簡稱：一差、二比、三極限．1.設函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：選C.因為f′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）＋3－（a＋3）,Δx)＝a.因為f′(1)＝3，所以a＝3.故選C.2．求函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導數(shù)．解：因為Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2，所以f′(1)＝2，即函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導數(shù)為2.“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”三者之間的區(qū)分與聯(lián)系：(1)“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”是一個數(shù)值，是針對一個點x0而言的，與給定的函數(shù)及x0的位置有關，而與Δx無關；(2)“導函數(shù)”簡記為“導數(shù)”，它是一個函數(shù)，導函數(shù)是對一個區(qū)間而言的，它是一個確定的函數(shù)，依靠于函數(shù)本身，而與x，Δx無關；(3)函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.用定義法求導數(shù)時，當Δx≠0時，比值eq\f(Δy,Δx)的極限存在，則f(x)在點x0處可導；若eq\f(Δy,Δx)的極限不存在，則f(x)在點x0處不行導或無導數(shù)．1．設函數(shù)f(x)可導，則limeq\o(,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)等于()A．f′(1) B．2f′(1)C.eq\f(1,2)f′(1) D．f′(2)解析：選C.原式＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(1,2)f′(1)．2．假如質點M依據(jù)規(guī)律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為()A．6 B．18C．54 D．81解析：選B.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3（3＋Δt）2－3×32,Δt)＝18＋3Δt，s′＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(18＋3Δt)＝18，故選B.3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1處的導數(shù)是________．解析：Δy＝eq\f(1,1＋Δx)－eq\f(1,1)＝－eq\f(Δx,1＋Δx)，eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,1＋Δx)，f′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,1＋Δx)))＝－eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(1,1＋Δx)＝－1.答案：－1[A基礎達標]1．一質點運動的方程為s＝5－3t2，若一質點在時間段[1，1＋Δt]內相應的平均速度為－3Δt－6，則該質點在t＝1時的瞬時速度是()A．－3 B．3C．6 D．－6解析：選D.由平均速度和瞬時速度的關系可知，v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.2．函數(shù)y＝x3在x＝1處的導數(shù)為()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：選C.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（x＋Δx）3－x3,Δx)＝eq\f(3Δx·x2＋3（Δx）2x＋（Δx）3,Δx)＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3x2，y′|x＝1＝3.3．一物體的運動滿意曲線方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其實際意義是()A．物體5s內共走過42mB．物體每5s運動42mC．物體從起先運動到第5s運動的平均速度是42m/sD．物體以t＝5s時的瞬時速度運動的話，每經過1s，物體運動的路程為42m解析：選D.由導數(shù)的物理意義知，s′(5)＝42(m/s)表示物體在t＝5s時的瞬時速度．故選D.4．若可導函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿意eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，則f′(0)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選B.因為f(x)圖象過原點，所以f(0)＝0，所以f′(0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1.故選B.5．某物體做直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為()A．eq\f(123,16)米/秒 B．eq\f(125,16)米/秒C．8米/秒 D．eq\f(67,4)米/秒解析：選B.因為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(（4＋Δt）2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(（Δt）2＋8Δt＋\f(－3Δt,4（4＋Δt）),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt).所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16).6．函數(shù)y＝3x2－2在x＝1處的導數(shù)為________．解析：f′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(3（1＋Δx）2－2－3×12＋2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(3＋6Δx＋3（Δx）2－3,Δx)＝6.答案：67．設函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，則a＝________．解析：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(a（x＋Δx）2＋2（x＋Δx）－ax2－2x,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(2ax·Δx＋2Δx＋a（Δx）2,Δx)＝2ax＋2，所以f′(1)＝2a＋2＝4，所以a＝1.答案：18．子彈在槍筒中的運動可以看作是勻加速直線運動，假如它的加速度是a＝5×105m/s2，子彈從槍口射出所用的時間為1.6×10－3s，則子彈射出槍口時的瞬時速度為________m/s.解析：運動方程為s＝eq\f(1,2)at2.因為Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2.所以eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1,2)aΔt，所以v＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.又因為a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以v＝at0＝8×102＝800(m/s)．答案：8009．求函數(shù)y＝eq\f(4,x2)的導函數(shù)．解：因為Δy＝eq\f(4,（x＋Δx）2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx（2x＋Δx）,x2（x＋Δx）2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝－4·eq\f(2x＋Δx,x2（x＋Δx）2)，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))[－4·eq\f(2x＋Δx,x2（x＋Δx）2)]＝－eq\f(8,x3)，所以y′＝－eq\f(8,x3).10．已知函數(shù)y＝f(x)在點x0處可導，試求下列各極限的值．(1)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)；(2)eq\o(lim,\s\do10(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0－h(huán)）,2h).解：(1)原式＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－（－Δx）)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)(Δx→0時，－Δx→0)＝－f′(x0)．(2)原式＝eq\o(lim,\s\do10(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0）＋f（x0）－f（x0－h(huán)）,2h)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\o(lim,\s\do10(h→0))\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)＋eq\o(lim,\s\do10(h→0)))\f(f（x0）－f（x0－h(huán)）,h)))＝eq\f(1,2)[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．[B實力提升]11．已知車輪旋轉的角度與時間的平方成正比．若車輪起先轉動后的第一圈須要1s，則車輪轉動起先后第2s時的瞬時速度為()A．π B．2πC．4π D．8π解析：選D.設角度θ關于時間t的函數(shù)關系式為θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π，故θ(t)＝2πt2.第2s時的瞬時速度即為θ′(2)．由于eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π（2＋Δt）2－2π·22,Δt)＝2πΔt＋8π，所以θ′(2)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δθ,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(2πΔt＋8π)＝8π，即第2s時的瞬時速度為8π.12．一物體的運動方程為s＝7t2＋8，則其在t＝________時的瞬時速度為1.解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(7（t0＋Δt）2＋8－（7teq\o\al(2,0)＋8）,Δt)＝7Δt＋14t0，當eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(7Δt＋14t0)＝1時，t0＝eq\f(1,14).答案：eq\f(1,14)13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))，x>0，,1＋x2，x≤0))求f′(4)·f′(－1)的值．解：當x＝4時，Δy＝－eq\f(1,\r(4＋Δx))＋eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,\r(4＋Δx))＝eq\f(\r(4＋Δx)－2,2\r(4＋Δx))＝eq\f(Δx,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）)＝eq\f(1,2×\r(4)×（\r(4)＋2）)＝eq\f(1,16).所以f′(4)＝eq\f(1,16).當x＝－1時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（－1＋Δx）－f（－1）,Δx)＝eq\f(1＋（－1＋Δx）2－1－（－1）2,Δx)＝Δx－2，由導數(shù)的定義，得f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(Δ