2025屆黑龍江省佳木斯市建三江管理局第一中學高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆黑龍江省佳木斯市建三江管理局第一中學高三第三次模擬考試數(shù)學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線過雙曲線C：的左焦點F，且與雙曲線C在第二象限交于點A，若（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．2．如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當運動時，下列結論中不正確的是A．在內(nèi)總存在與平面平行的線段B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．可能為直角三角形3．本次模擬考試結束后，班級要排一張語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表，若化學排在生物前面，數(shù)學與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種4．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．5．復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足：，則()A．16 B．25 C．28 D．337．已知，為兩條不同直線，，，為三個不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③8．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．139．正項等比數(shù)列中，，且與的等差中項為4，則的公比是()A．1 B．2 C． D．10．已知函數(shù)（，）的一個零點是，函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，則當取得最小值時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）11．已知正方體的棱長為1，平面與此正方體相交.對于實數(shù)，如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于，那么下列結論中，一定正確的是A． B．C． D．12．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則可取到的最大值為__________.14．設為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則.15．已知正方形邊長為，空間中的動點滿足，，則三棱錐體積的最大值是______.16．已知向量，，且，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，，，且滿足（1）求點的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．18．（12分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．19．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的面積.20．（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，直線與橢圓相交于兩點；當直線經(jīng)過橢圓的下頂點和右焦點時，的周長為，且與橢圓的另一個交點的橫坐標為（1）求橢圓的方程；（2）點為內(nèi)一點，為坐標原點，滿足，若點恰好在圓上，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.22．（10分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當?shù)拿娣e取得最大值時，求AD的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設雙曲線C的右焦點為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．2、D【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項利用線面垂直的判定定理；C項三棱錐與三棱錐體積相等，三棱錐的底面積是定值，高也是定值，則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確；B項，如圖：當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正確；C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確；D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結構特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應用，是中檔題.3、B【解析】

利用分步計數(shù)原理結合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學，生物4種，且化學排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應用，不相鄰采用插空法求解，準確分步是關鍵，是基礎題4、A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎題.5、C【解析】

直接利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算法則的應用，考查計算能力．6、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時，，n=2時，，n=3時，，n=4時，，n=5時，.故選：C【點睛】本題主要考查遞推公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7、C【解析】

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關系進行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯誤；若，，則可能平行，故③錯誤；由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；故選：C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關系，屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學運算能力.9、D【解析】

設等比數(shù)列的公比為q，，運用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，以及等差數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得公比q．【詳解】由題意，正項等比數(shù)列中，，可得，即，與的等差中項為4，即，設公比為q，則，則負的舍去，故選D．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式，合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了方程思想和運算能力，屬于基礎題．10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個零點是，得出，再根據(jù)是對稱軸，得出，求出的最小值與對應的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因為，所以（）.又，所以，所以，令（），則（）.因此，當取得最小值時，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數(shù)值為零，屬于較易題目.11、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個點到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個點到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.【點睛】本題以空間幾何體為載體考查點，面的位置關系，考查空間想象能力，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，屬于難題.12、C【解析】

由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入錐體體積公式，可得答案．【詳解】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其底面面積，高，故體積，故選：．【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由于曲線與直線相交，存在相鄰兩個交點間的距離為，所以函數(shù)的周期，可得到的取值范圍，再由解出的兩類不同的值，然后列方程求出，再結合的取值范圍可得的最大值.【詳解】，可得，由，則或，即或，由題意得，所以，則或，所以可取到的最大值為4.故答案為：4【點睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應用及三角方程的求解，熟練應用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關鍵，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.14、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.15、【解析】

以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，設點，根據(jù)題中條件得出，進而可求出的最大值，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，則，，，設點，空間中的動點滿足，，所以，整理得，，當，時，取最大值，所以，三棱錐的體積為.因此，三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．16、【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標表示可得出關于實數(shù)的等式，即可求得實數(shù)的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標表示，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）的方程為．【解析】

（1）令，則，由此能求出點C的軌跡方程．（2）令，令直線，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達定理，三角形面積公式，結合已知條件能求出直線的方程?！驹斀狻拷猓海?）因為，即直線的斜率分別為且，設點，則，整理得.（2）令，易知直線不與軸重合，令直線，與聯(lián)立得，所以有，由，故，即，從而，解得，即。所以直線的方程為?！军c睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關系，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。18、（1）（2）【解析】

（1）項和轉(zhuǎn)換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數(shù)列為遞增數(shù)列可得，，令，可證明為遞增數(shù)列，即，即得解【詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即．令，即．∴為遞增數(shù)列，∴，即的取值范圍為．【點睛】本題考查了數(shù)列綜合問題，考查了項和轉(zhuǎn)換，數(shù)列的單調(diào)性，最值等知識點，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.19、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，結合可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）計算出直線截圓所得弦長，并計算出原點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由得，故直線的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲線的直角坐標方程是；（2）因為曲線的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長.又到直線的距離為，所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）或【解析】

（1）由橢圓的定義可知，焦點三角形的周長為，從而求出.寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)交點橫坐標為，求出和，從而寫出橢圓的方程；（2）設出P、Q兩點坐標，由可知點為的重心，根據(jù)重心坐標公式可將點用P、Q兩點坐標來表示.由點在圓O上，知點M的坐標滿足圓O的方程，得式.為直線l與橢圓的兩個交點，用韋達定理表示，將其代入方程，再利用求得的范圍，最終求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知.，直線的方程為∵直線與橢圓的另一個交點的橫坐標為解得或(舍去)，∴橢圓的方程為（2）設.∴點為的重心，∵點在圓上，由得，代入方程，得，即由得解得.或【點睛】本題考查了橢圓的焦點三角形的周長，標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系，其中重心坐標公式、韋達定理的應用是關鍵.考查了學生的運算能力，屬于較難的題.21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）在不等式兩邊平方化簡轉(zhuǎn)化為二次不等式，解此二次不等式即可得出結果；（2）利用絕對值三角不等式可證得成立.【詳解】（1），，由得，不等式兩邊平方得，即，解得或.因此，不等式的