專題57 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題57成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 4【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)1】成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性 9【考點(diǎn)2】回歸分析 11【考點(diǎn)3】獨(dú)立性檢驗(yàn) 14【分層檢測(cè)】 18【基礎(chǔ)篇】 18【能力篇】 22考試要求：1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).(3)線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系.②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1].當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中(2)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差.4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為xy合計(jì)y＝y(tǒng)1y＝y(tǒng)2x＝x1aba＋bx＝x2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)臨界值χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn).(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應(yīng)充分利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).2.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的eq\o(y,\s\up6(^))值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.3.根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若χ2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種二、多選題3．（2023·全國(guó)·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差三、解答題4．（2024·全國(guó)·高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.6356．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6357．（2023·全國(guó)·高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）8．（2023·全國(guó)·高考真題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性一、單選題1．（2024·四川成都·二模）對(duì)變量有觀測(cè)數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量有觀測(cè)數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且2．（2024·四川涼山·三模）調(diào)查某校高三學(xué)生的身高和體重得到如圖所示散點(diǎn)圖，其中身高和體重相關(guān)系數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．學(xué)生身高和體重沒有相關(guān)性B．學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)C．學(xué)生身高和體重呈負(fù)相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是二、多選題3．（22-23高三上·江蘇無(wú)錫·期末）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．在余下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)和新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程中（

）．A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B．新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為C．隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小D．樣本的殘差為4．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）為了研發(fā)某種流感疫苗，某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：mg），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）．根據(jù)散點(diǎn)圖，可以得到回歸直線方程為：．下列說(shuō)法正確的是（

）A．回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的函數(shù)關(guān)系C．回歸直線方程可以精確反映體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量的變化趨勢(shì)D．回歸直線方程可以用來(lái)預(yù)測(cè)攝入抗體藥物后體內(nèi)抗體數(shù)量的變化三、填空題5．（23-24高三上·浙江·開學(xué)考試）已知成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中互不相等，且所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)．反思提升：判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法：(1)散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)決定系數(shù)法：利用決定系數(shù)判定，R2越趨近1，擬合效果越好，相關(guān)性越強(qiáng).【考點(diǎn)2】回歸分析一、單選題1．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系C．該回歸直線必過(guò)點(diǎn)D．x增加1個(gè)單位，y一定增加2個(gè)單位2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，亞運(yùn)會(huì)的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）時(shí)間x12345銷售量y/萬(wàn)只54.543.52.5A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān)B．當(dāng)時(shí)，殘差為0.2C．可以預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)銷量約為2.1萬(wàn)只D．線性回歸方程中二、多選題3．（23-24高三上·廣東揭陽(yáng)·期末）2023年入冬以來(lái)，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當(dāng)時(shí)，殘差為-2C．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測(cè)值為1304．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了預(yù)測(cè)某地的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1～6月的GDP的數(shù)據(jù)y（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中自變量x指的是1～6月的編號(hào)，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：時(shí)間2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月編號(hào)x123456y/百億元11.107參考數(shù)據(jù)：．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．C．根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為14.57百億元D．相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為0.103三、填空題5．（2024·江蘇·一模）已知變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，對(duì)表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法，計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的值為.567893.54566.56．（2024·陜西渭南·一模）已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則．四、解答題7．（2024·山東日照·二模）某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí)．(1)已知該公司甲部門有3名負(fù)責(zé)人，乙部門有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來(lái)自甲部門的人數(shù)為，求的最有可能的取值：(2)該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門測(cè)試的平均成績(jī)（滿分100分）與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計(jì)算得，（?。┮阎巢块T測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0分，估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率；（ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績(jī)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．經(jīng)計(jì)算，求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于的概率．參考公式與數(shù)據(jù)：①．②線性回歸方程中，，．③若隨機(jī)變量，則，，．8．（22-23高三上·山東青島·期末）由個(gè)小正方形構(gòu)成長(zhǎng)方形網(wǎng)格有行和列.每次將一個(gè)小球放到一個(gè)小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為，放紅球的概率為q，.(1)若，，記表示100輪放球試驗(yàn)中“每一列至少一個(gè)紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：n12345y7656423026求y關(guān)于n的回歸方程，并預(yù)測(cè)時(shí)，y的值；（精確到1）(2)若，，，，記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)求事件“不是每一列都至少一個(gè)紅球”發(fā)生的概率，并證明：.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，，，.反思提升：(1)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程：利用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)求eq\o(b,\s\up6(^))；利用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))求eq\o(a,\s\up6(^))，寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)|r|判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).或利用決定系數(shù)R2判斷，R2越大，擬合效果越好.(3)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法①若eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))eq\r(x)，設(shè)t＝eq\r(x)，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；②若滿足對(duì)數(shù)式：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))lnx，設(shè)t＝lnx，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；③若滿足指數(shù)式：y＝c1ec2x，兩邊取對(duì)數(shù)解lny＝lnc1＋c2x，設(shè)z＝lny，a＝lnc1，b＝c2，則z＝a＋bx.【考點(diǎn)3】獨(dú)立性檢驗(yàn)一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）針對(duì)2025年第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉辦，校團(tuán)委對(duì)“是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與學(xué)生性別的關(guān)系”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與學(xué)生性別有關(guān)，則被調(diào)查的學(xué)生中男生的人數(shù)不可能是（

）附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．48 B．54 C．60 D．662．（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”二、多選題3．（2024·山東臨沂·一模）下列結(jié)論正確的是（

）A．一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為B．已知隨機(jī)變量，若，則C．在列聯(lián)表中，若每個(gè)數(shù)據(jù)均變成原來(lái)的2倍，則也變成原來(lái)的2倍（，其中）D．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，“2枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)相同”，則互為獨(dú)立事件4．（22-23高三下·浙江·開學(xué)考試）下列結(jié)論中，正確的有（

）A．?dāng)?shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為5B．若隨機(jī)變量，則C．已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+1.8，且D．根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2=9.632，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001三、填空題5．（21-22高二下·福建福州·期末）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病服用a50未服用50合計(jì)8020100若在本次考察中得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值為．（其中且）（參考數(shù)據(jù)：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8286．（2024·上海金山·二模）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病服用50未服用50合計(jì)8020100取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為．(參考公式：；參考值：）四、解答題7．（2023·廣東深圳·二模）飛盤運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)入門簡(jiǎn)單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動(dòng)，目前已經(jīng)成為了年輕人運(yùn)動(dòng)的新潮流.某俱樂(lè)部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運(yùn)動(dòng)合計(jì)不愛好愛好男61622女42428合計(jì)104050(1)在上述愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.8288．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對(duì)當(dāng)天前來(lái)旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來(lái)的280名游客中南方游客有200人.(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：?jiǎn)挝唬喝擞慰投桃曨l合計(jì)收看未看南方游客北方游客合計(jì)(2)為了增加游客的旅游樂(lè)趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過(guò)次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828反思提升：1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng).2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計(jì)算χ2；(3)通過(guò)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系來(lái)作統(tǒng)計(jì)推斷.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·浙江寧波·二模）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組為研究本地區(qū)兒子身高與父親身高之間的關(guān)系，抽樣調(diào)查后得出與線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.調(diào)查所得的部分樣本數(shù)據(jù)如下：父親身高164166170173173174180兒子身高165168176170172176178則下列說(shuō)法正確的是（

）A．兒子身高是關(guān)于父親身高的函數(shù)B．當(dāng)父親身高增加時(shí)，兒子身高增加C．兒子身高為時(shí)，父親身高一定為D．父親身高為時(shí)，兒子身高的均值為2．（2024·天津河西·一模）隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對(duì)居住條件的改善的需求也在逐漸升溫．某城市統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月的房屋交易量，如下表所示：時(shí)間12345交易量（萬(wàn)套）0.81.01.21.5若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關(guān)B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程中C．可以預(yù)測(cè)時(shí)房屋交易量約為（萬(wàn)套）D．時(shí)，殘差為3．（2024·天津·一模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為17；B．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；C．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0；D．若隨機(jī)變量滿足，則．4．（23-24高三上·天津北辰·期中）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為6B．若隨機(jī)變量，則C．已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，則D．根據(jù)分類變量與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2=9.632，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001二、多選題5．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中正確的是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)，，，的樣本方差為3，則數(shù)據(jù)，，，的方差為7B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)C．對(duì)于隨機(jī)事件A與B，，，若，則事件A與B相互獨(dú)立D．若，則取最大值時(shí)6．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)變量y與x對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x12345y5m8910.5若y與x滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．y與x正相關(guān) B．C．樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為8 D．各組數(shù)據(jù)的殘差和為07．（2024·湖北武漢·二模）下列結(jié)論正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B．若隨機(jī)變量，滿足，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)三、填空題8．（23-24高三下·上海嘉定·階段練習(xí)）某產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）與銷售額y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：x24568y3040a5070已知y關(guān)于x的線性回歸方程為，則表格中實(shí)數(shù)a的值為．9．（23-24高二下·江西贛州·期中）甲、乙、丙、丁各自研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計(jì)算得到各自研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.10．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）收集數(shù)據(jù)，利用列聯(lián)表，分析學(xué)習(xí)成績(jī)好與上課注意力集中是否有關(guān)時(shí)，提出的零假設(shè)為：學(xué)習(xí)成績(jī)好與上課注意力集中（填：有關(guān)或無(wú)關(guān)）四、解答題11．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)在線直播用戶規(guī)模及在線直播購(gòu)物規(guī)模近幾年都保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，某線下家電商場(chǎng)為提升人氣和提高營(yíng)業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計(jì)了該商場(chǎng)開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計(jì)算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個(gè)變量y與x相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；(2)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計(jì)該商場(chǎng)開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參