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Page252024屆高三月考試卷(四)數(shù)學(xué)一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合,,則集合等于()A.; B.; C.; D..【答案】D【解析】【分析】求出集合,根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故,故,故選:D.2.已知平面向量,則與方向相同的單位向量是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】向量除以模長(zhǎng)即可.【詳解】與方向相同的單位向量為.故選:C.3.第19屆亞運(yùn)會(huì)正在杭州舉行,運(yùn)動(dòng)員甲就近選擇A餐廳或者B餐廳就餐,第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐,如果第一天去A餐廳,那么第二天去A餐廳的概率為0.7;如果第一天去B餐廳,那么第二天去A餐廳的概率為0.5,運(yùn)動(dòng)員甲第二天去A餐廳用餐的概率為()A.0.75 B.0.6 C.0.55 D.0.45【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算即可.
【詳解】運(yùn)動(dòng)員甲第二天去餐廳用餐的概率為,故選:B.4.函數(shù)的部分圖象如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象求出解析式,A選項(xiàng),計(jì)算出,A正確;B選項(xiàng),,B正確;C選項(xiàng),求出,整體法得到函數(shù)在此區(qū)間上不單調(diào);D選項(xiàng),根據(jù)左加右減求出平移后的解析式.【詳解】因?yàn)椋蓤D象可知,設(shè)的最小正周期為,由圖象可知,解得,因,所以,解得,故,將代入解析式,可得,故,解得,因?yàn)?,所以,故,A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,A正確;B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,B正確;C選項(xiàng),時(shí),,因?yàn)樵诓粏握{(diào),故函數(shù)在不單調(diào)遞減,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),的圖象向右平移個(gè)單位可得,D正確.故選:C5.若與軸相切的圓與直線也相切,且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則圓的半徑為()A.1 B. C.或 D.1或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,得到圓的圓心在兩切線所成角的角平分線上,設(shè)圓心,得到圓的方程為,將點(diǎn)代入,求得的值,即可得到答案.【詳解】如圖所示,因?yàn)橹本€的傾斜角為,且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),因?yàn)閳A與軸和直線都相切,所以圓的圓心在兩切線所成角的角平分線上,設(shè)圓心,則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得,整理得,解得或,所以圓的半徑為1或.故選:D.6.若函數(shù)是偶函數(shù),則的最小值為()A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)求出,再利用基本不等式求解.【詳解】由為偶函數(shù)可得,即,所以.因?yàn)?,且,,所以,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最小值4.故選:A7.已知函數(shù),,,若,圖像上分別存在點(diǎn)M,N關(guān)于直線對(duì)稱,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意,設(shè)的圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)為,可得的坐標(biāo)為,列出方程可得,求得函數(shù),的值域,即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)的圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)為,其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在圖像上.所以有,且,消去可得,所以.令,,則,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞增,且,所以的值域?yàn)椋詫?shí)數(shù)的取值范圍為.故選:A.8.如圖,在四棱錐中,底面是正方形,,側(cè)棱底面,是的中點(diǎn),是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),,則的軌跡長(zhǎng)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先構(gòu)造與垂直的平面,利用面面平行,得到平面,進(jìn)而確定交線,最后再應(yīng)用余弦定理計(jì)算即可.【詳解】先找到一個(gè)平面總是保持與垂直,取,的中點(diǎn),,連接,,.因?yàn)槭钦叫?,所?因?yàn)榈酌?所以.又,所以平面.所以.因?yàn)樵谥?,,為的中點(diǎn),所以.又,所以平面.進(jìn)一步.取,,的中點(diǎn),,,連接,,,,易證平面平面.故平面,記,又是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),根據(jù)平面的基本性質(zhì)得:點(diǎn)的軌跡為平面與平面的交線段,在中,,,,由余弦定理得:.故.故選:B.二、選擇題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分)9.“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn),比歐洲早393年發(fā)現(xiàn).如圖所示,在“楊輝三角”中,除每行兩邊的數(shù)都是1外,其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和,例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是()A.由“在相鄰兩行中,除1以外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和”猜想B.由“第行所有數(shù)之和為”猜想:C.第20行中,第10個(gè)數(shù)最大D.第15行中,第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)的比為7:9【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng),根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律進(jìn)行判斷即可;對(duì)于B選項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可;對(duì)于C選項(xiàng),第20行的數(shù)為,進(jìn)而求解其最大項(xiàng)即可;對(duì)于D選項(xiàng),根據(jù)規(guī)律找到第7、8個(gè)數(shù),直接計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),由“楊輝三角”的規(guī)律可得A正確;對(duì)于B選項(xiàng),由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知,B正確;第20行的數(shù)是,最大的是第11個(gè)數(shù),C錯(cuò)誤;第15行中,第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)分別是和,,D正確.故選:ABD.10.設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項(xiàng)和為,前項(xiàng)積為,且,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C.最大值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件,確定公比的取值范圍,然后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】A項(xiàng),且,而和異號(hào).由于知,,即,,,故A項(xiàng)正確;B項(xiàng),從前面的求解過(guò)程知,,說(shuō)明是單調(diào)遞減的正項(xiàng)等比數(shù)列,且,所以,那么,故B項(xiàng)正確;C項(xiàng),是正項(xiàng)數(shù)列,沒(méi)有最大值,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng),從前面的分析過(guò)程可知前6項(xiàng)均大于1.從起全部在上.所以的最大值為,故D項(xiàng)正確,故選:ABD11.如圖,等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,為邊的中點(diǎn),于.將沿翻折至的位置,連接.那么在翻折過(guò)程中,下列說(shuō)法當(dāng)中正確的是()A.B.四棱錐的體積的最大值是C.存在某個(gè)位置,使D.在線段上,存在點(diǎn)滿足,使為定值【答案】ABD【解析】【分析】由線面垂直的判定及性質(zhì)判斷A;首先確定平面平面時(shí),四棱錐的體積最大,再由線面垂直的判定找到四棱錐底面上的高,最后應(yīng)用棱錐體積公式求體積判斷B;假設(shè)存在某個(gè)位置,使得,連接,根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)證得,進(jìn)而有得到矛盾判斷C;取的中點(diǎn),連接,由線面垂直的性質(zhì)得,結(jié)合已知求判斷D.【詳解】A:因?yàn)椋?,,因?yàn)?,面,則平面,因?yàn)槠矫?,所以,正確;B:當(dāng)平面平面時(shí),四棱錐的體積最大.由A易知為二面角的平面角,此時(shí).即,,,面,此時(shí)平面,即為四棱錐底面上的高,四棱錐的體積的最大值為:,正確;C:假設(shè)存在某個(gè)位置,使得,連接,由正三角形性質(zhì)得,因?yàn)?,面,所以平面,由平面,所以,由A知,因?yàn)椋?,所以平面,由平面,所以,則,與題設(shè)矛盾,假設(shè)不成立,錯(cuò)誤;D:由題設(shè),點(diǎn)在線段上,且,取的中點(diǎn),連接,則,,由底面三角形的邊長(zhǎng)為4,則,,,因?yàn)槠矫?,所以面,面,所以,所以為直角三角形,且,,故為定值,正確.故選:ABD.12.已知雙曲線:,點(diǎn)為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作兩條漸近線的垂線,垂足分別為,兩點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.雙曲線的離心率為B.存在點(diǎn),使得四邊形為正方形C.直線,的斜率之積為2D.存在點(diǎn),使得【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)雙股曲線方程求出離心率判斷A;取特殊點(diǎn)判斷B;設(shè),求出的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線,的斜率之積,判斷C;利用兩點(diǎn)間距離公式表示出,令其等于,結(jié)合雙曲線方程可判斷D.【詳解】對(duì)于A,由雙曲線:,得,故,A正確;對(duì)于B,雙曲線:的漸近線為,則四邊形為矩形,又雙曲線右頂點(diǎn)為,到直線的距離均為,故矩形為正方形,即存在點(diǎn),即M為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí),使得四邊形為正方形,B正確;對(duì)于C,設(shè),不妨設(shè)A在第一象限,B在第四象限,由于,故可得方程為,聯(lián)立,可得,則,同理,可得的方程為,聯(lián)立,可得,則,故,而,故,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由以上分析可知,同理,故,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,不妨假設(shè)M在第一象限,則,故,令,將代入,即有,顯然不可能,即雙曲線上不存在點(diǎn),使得,D錯(cuò)誤,故選:AB【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛:本題綜合考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用,解答的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷,解答時(shí)要注意根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出的表達(dá)式,進(jìn)而結(jié)合方程推出矛盾,判斷該選項(xiàng)錯(cuò)誤.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分)13.已知角的終邊過(guò)點(diǎn),且,則___________.【答案】##【解析】【分析】先求得,然后求得.【詳解】,由于角的終邊過(guò)點(diǎn),所以在第四象限,所以,所以.故答案為:14.已知圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為2和4,高為1,則該圓臺(tái)外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圓臺(tái)的上、下底面直徑,及勾股定理,列出等式即可.【詳解】設(shè)外接球的半徑為,下底面距圓心的距離為.易得,解得,.故外接球的表面積為.故答案為:15.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,,為該拋物線上不同的三點(diǎn),若,為坐標(biāo)原點(diǎn),則___________.【答案】14【解析】【分析】解:設(shè),,,根據(jù),得到,再利用拋物線的定義求解.【詳解】解:設(shè),,,易知,,則,,.因?yàn)?,所以,?由拋物線的定義可得,,,所以.故答案:1416.函數(shù)的值域?yàn)開_________.【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的周期,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性,進(jìn)而求得函數(shù)的值域.【詳解】是函數(shù)的一個(gè)周期,所以只需要考慮函數(shù)在的取值范圍即可.,易知在內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn),依次,,.函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,計(jì)算有,,,,所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為:四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.在平面四邊形ABCD中,,,.(1)若的面積為,求AC;(2)若,,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)應(yīng)用三角形面積公式有,可求,由余弦定理即可求;(2)設(shè),在中,在△中應(yīng)用正弦定理有,即可求,得解.【小問(wèn)1詳解】在中,,,∴,可得,在中,由余弦定理得,∴.【小問(wèn)2詳解】設(shè),則,在中,,易知:,在中,,由正弦定理得,即,∴,可得,即.18.某電視臺(tái)為了解不同性別的觀眾對(duì)同一檔電視節(jié)目的評(píng)價(jià)情況,隨機(jī)選取了100名觀看該檔節(jié)目的觀眾對(duì)這檔電視節(jié)目進(jìn)行評(píng)價(jià),已知被選取的觀眾中“男性”與“女性”的人數(shù)之比為,評(píng)價(jià)結(jié)果分為“喜歡”和“不喜歡”,并將部分評(píng)價(jià)結(jié)果整理如下表所示.評(píng)價(jià)性別喜歡不喜歡合計(jì)男性15女性合計(jì)50100(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成上面的列聯(lián)表;(2)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為性別因素與評(píng)價(jià)結(jié)果有關(guān)系?(3)電視臺(tái)計(jì)劃拓展男性觀眾市場(chǎng),現(xiàn)從參與評(píng)價(jià)的男性中,按比例分層抽樣的方法選取3人,進(jìn)行節(jié)目“建言”征集獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng),其中評(píng)價(jià)結(jié)果為“不喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為,評(píng)價(jià)結(jié)果為“喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為,“建言”被采用獎(jiǎng)勵(lì)100元,“建言”不被采用獎(jiǎng)勵(lì)50元,記3人獲得的總獎(jiǎng)金為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)能認(rèn)為性別因素與評(píng)價(jià)結(jié)果有關(guān)系(3)分布列見解析,【解析】【分析】(1)根據(jù)男女比例計(jì)算出男性和女性人數(shù),然后可得;(2)根據(jù)公式計(jì)算卡方值,然后查表可得;(3)根據(jù)“建言”被采用人數(shù)求出概率,得到分布列,由期望公式可得.【小問(wèn)1詳解】男性有人,女性有人,然后可得下表:評(píng)價(jià)性別喜歡不喜歡合計(jì)男性153045女性352055合計(jì)5050100【小問(wèn)2詳解】零假設(shè):假設(shè)性別因素與評(píng)價(jià)結(jié)果無(wú)關(guān),計(jì)算卡方值,小概率值對(duì)應(yīng)的臨界值為,所以.故推斷零假設(shè)不成立,評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系.【小問(wèn)3詳解】由題意得,選取的3人中,評(píng)價(jià)結(jié)果“喜歡”的為1人,“不喜歡”的為2人.所以的所有可能取值為.則,...150200250300數(shù)學(xué)期望為.19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,為整數(shù),且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,且數(shù)列前項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由可知,,列出不等式組,解之可得,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解;(2)由(1)得,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,結(jié)合和恒成立問(wèn)題依次計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由,可知,,即因?yàn)闉檎麛?shù),所以,結(jié)合不等式組解得,所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)可知.當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.又,即對(duì)任意偶數(shù)都成立,所以.同理,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,又,即對(duì)任意奇數(shù)都成立,易知當(dāng)奇數(shù)時(shí),函數(shù)取得最小值-15,故.綜上,.20.如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為2.,分別為與上的點(diǎn),且,.(1)求證:;(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定定理,證明均與平面垂直,進(jìn)而證明;(2)分別求出兩個(gè)面的法向量,利用法向量求面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明:如圖,連接,.因?yàn)槠矫?,平面,所?因?yàn)樗倪呅问钦叫?,所以,又因?yàn)?,平面,所以平?又因?yàn)槠矫?,所?同理可得,又因?yàn)?,平面,所以平?因?yàn)?,,所以四邊形為平行四邊形,所?因?yàn)?,所?又因?yàn)?,,平面,所以平?所以.【小問(wèn)2詳解】如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,.連接,,易知,,,平面,故平面,所以平面的一個(gè)法向量為.又,,設(shè)平面的法向量,由(1)知,故,則令,得,,∴平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為,則.所以平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的上焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)重合,過(guò)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為.(1)求和的方程;(2)當(dāng)在橢圓位于軸下方的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),試求面積的最大值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出,從而求出橢圓方程與其上焦點(diǎn)坐標(biāo),則可求拋物線方程;(2)依題意的斜率存在,設(shè),,(),聯(lián)立直線與拋物線方程,消元、列出韋達(dá)定理,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線、,聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo),從而得到,設(shè)的中點(diǎn)為,表示出點(diǎn)
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