第4章 立體幾何（過關(guān)測(cè)試）-【中職專用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測(cè)（高教版2021·拓展模塊一上冊(cè)）解析版

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)第4章立體幾何一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列說法正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面和平面有不同在一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)【答案】C【解析】A，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，確定一個(gè)平面，所以A錯(cuò)誤.B，四邊形可能是空間四邊形，不一定是平面圖形，所以B錯(cuò)誤.C，梯形有一組對(duì)邊平行，所以是平面圖形，所以C正確.D，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，故選：D2．已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面【答案】D【解析】∵α∥β，∴α與β無公共點(diǎn)，又m?α，n?β，∴m與n無公共點(diǎn)，∴m與n平行或異面，故選：D．3．如圖，空間四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，則四邊形是()A．梯形

B．平行四邊形

C．菱形

D．矩形【答案】B【解析】根據(jù)中位線定理可知：//且，可知四邊形為平行四邊形，故選：B.4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，EH∥FG，則EH與BD的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面 D．不確定【答案】A【解析】∵EH∥FG，EH?平面BDC，F(xiàn)G?平面BDC，∴EH∥平面BDC，又EH?平面ABD，且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴EH∥BD.5．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β【答案】C【解析】∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，∴由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故選C.6．如圖所示，已知S為四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，G，H分別為SB，BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則()A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能【答案】B【解析】∵GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.7．在四面體P－ABC中，若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影一定是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．垂心 D．重心【答案】A【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)O，連接OP，則PO⊥平面ABC，連接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又PA＝PB＝PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，則OA＝OB＝OC，∴O為△ABC的外心．8．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC，若AB∶BB1＝eq\r(2)∶1，則AB1與平面BB1C1C所成的角的大小為()A．45° B．60°C．30° D．75°【答案】A【解析】取BC的中點(diǎn)D，連接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即為AB1與平面BB1C1C所成的角．設(shè)AB＝eq\r(2)，則AA1＝1，AD＝eq\f(\r(6),2)，AB1＝eq\r(3)，∴sin∠AB1D＝eq\f(AD,AB1)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠AB1D＝45°，即AB1與平面BB1C1C所成的角為45°.9．在三棱錐A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有（）A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADB【答案】B【解析】如圖，因?yàn)锳D⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，所以AD⊥平面BCD，又AD?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD，故選：B.10．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有()A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】D【解析】如圖所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4對(duì)．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b的位置關(guān)系是．【答案】相交或異面【解析】a，b是異面直線，直線c∥直線a，因而c不平行于b，若c∥b，則a∥b，與已知矛盾，因而c不平行于b，即c與b相交或異面，故答案為：交或異面．12．如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC與平面α分別交于點(diǎn)M，N且點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，AB＝4，CD＝6，則MN＝．【答案】5【解析】因?yàn)锳B∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位線，故MN＝5.13．平行四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)P在平行四邊形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是．【答案】垂直【解析】在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.14．如圖，在五面體FE－ABCD中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，則MN與平面ADE的位置關(guān)系是．【答案】平行【解析】∵M(jìn)，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，∴MN∥CF，又四邊形CDEF為矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE.15．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角的大小為．【答案】45°【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以斜線PB在平面ABC上的射影為AB，所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直線PB與平面ABC所成的角等于45°.16．如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝．【答案】eq\r(5)【解析】平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).17．在三棱錐SABC中，G為△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，則EG與平面SBC的位置關(guān)系為．【答案】平行【解析】如圖，延長(zhǎng)AG交BC于F，連接SF，則由G為△ABC的重心知AG∶GF＝2∶1，又AE∶ES＝2∶1，∴EG∥SF，又SF?平面SBC，EG?平面SBC，∴EG∥平面SBC.18．如圖所示，已知三棱錐A－BCD的各棱長(zhǎng)均為2，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為．【答案】eq\f(1,3)【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD，由二面角的定義可知∠AMB為二面角A－CD－B的平面角．設(shè)點(diǎn)H是△BCD的中心，連接AH，則AH⊥平面BCD，且點(diǎn)H在線段BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，HM＝eq\f(\r(3),2)×2×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),3)，則cos∠AMB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，即所求二面角的平面角的余弦值為eq\f(1,3).三、解答題（本題共6小題，共46分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.）19．（6分）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)．求證：EF∥平面BDD1B1.【答案】證明見解析【解析】證明取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB(圖略)．∵F為C1D1的中點(diǎn)，∴OF∥B1C1且OF＝eq\f(1,2)B1C1，又BE∥B1C1，BE＝eq\f(1,2)B1C1，∴OF∥BE且OF＝BE，∴四邊形OFEB是平行四邊形，∴EF∥BO.∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.20．（6分）如圖，已知三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.【答案】證明見解析【解析】證明：作SH⊥AC交AC于點(diǎn)H，連接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABC中，H是AC的中點(diǎn)，∴BH＝eq\f(1,2)AC＝AH，又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，又AC∩BH＝H，AC，BH?平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH?平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.21．（8分）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求AE與平面BDE所成的角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)30°(1)證明∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE?平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.(2)解設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，如圖所示．∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角．在Rt△EAD中，EA＝eq\r(AD2＋DE2)＝2eq\r(2)，AO＝eq\r(2)，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝eq\f(AO,EA)＝eq\f(1,2)，∴∠AEO＝30°，即AE與平面BDE所成的角為30°.22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。敬鸢浮?5°【解析】解：由題意知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.23．（8分）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到空間圖形D－ABC.求證：BC⊥平面ACD.【答案】證明見解析【解析】證明：如題圖(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，過C作CE⊥AB，E為垂足(圖略)，則四邊形AECD為正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，如題圖(2)，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，又BC?平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.24．（10分）如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面PAD；(2)若PD與平面ABCD所成的角為α，當(dāng)α為多少度時(shí)，MN⊥平面PCD?【答案】(1)證明見解析；(2)45°(1)證明：取PD的中點(diǎn)E，連接NE，AE，如圖．∵N是PC的中點(diǎn)，∴NE∥DC且NE＝eq\f(1,2)DC，又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝eq\f(1,2)AB，∴AM∥CD且AM＝eq\f(1,2)CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，∴四邊形