重慶市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析

Page202023-2024學(xué)年高二上期10月月考數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘總分：150分一、單選題（每小題5分，共40分）1.若事件A與事件B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，則（）．A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式計(jì)算直接得出結(jié)果.【詳解】事件A與事件B互斥，則.故選：B2.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：，經(jīng)計(jì)算，該組數(shù)據(jù)中位數(shù)是16，若分位數(shù)是20，則（）A.33 B.34 C.35 D.36【答案】D【解析】【分析】利用中位數(shù)和百分位數(shù)的定義得到，，求出答案.【詳解】一共有9個(gè)數(shù)，故從小到大的第5個(gè)數(shù)為中位數(shù)，即，，故選取第7個(gè)數(shù)為分位數(shù)，故，所以.故選：D3.如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以?故選：C4.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立的是（）A.至多一次中靶 B.兩次都中靶 C.只有一次中靶 D.兩次都沒(méi)中靶【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)立事件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、兩次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、兩次都中靶，A選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于B，“兩次都中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，B選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于C，“只有一次中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，C選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于D，“兩次都沒(méi)有中靶”與“至少一次中靶”對(duì)立，D選項(xiàng)滿足條件.故選：D.5.已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，存在實(shí)數(shù)值得，列出方程組，即可求解.【詳解】由向量，，，因?yàn)?，，三向量共面，則存在實(shí)數(shù)值得，即，可得，解得，則.故選：A.6.如圖，在四棱錐中，底面，，底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)為，連接，，確定即為異面直線與所成的角，確定為等邊三角形，得到答案.【詳解】如圖所示：取中點(diǎn)為，連接，，在中，分別為中點(diǎn)，故，即為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），在中，，，，即為等邊三角形，，.故選：B.7.已知，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．【詳解】因?yàn)椋?，，，2，，則向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量是．故選：．8.如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并求出面PBC的法向量，結(jié)合線面平行及向量共線定理求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，△為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，等邊△的高為，在正棱錐中，以原點(diǎn)，平行為x軸，垂直為y軸，為z軸，如上圖示，則，且，所以，，，若為面PBC的法向量，則，令，則，又平面PBC，則且k為實(shí)數(shù)，，故.故選：D二、多選題（每小題全選對(duì)得5分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分，部分選對(duì)得2分，滿分20分.）9.從10個(gè)同類產(chǎn)品中（其中8個(gè)正品，2個(gè)次品）任意抽取3個(gè)．下列事件是必然事件的是（）A.至少有一個(gè)是正品 B.至多有兩個(gè)次品C.恰有一個(gè)是正品 D.至多有三個(gè)正品【答案】ABD【解析】【分析】把從10個(gè)同類產(chǎn)品中（其中8個(gè)正品，2個(gè)次品）任意抽取3個(gè)的三種情況一一列舉出來(lái)，即可判斷.【詳解】從10個(gè)同類產(chǎn)品中任取3個(gè)共有3種情況，分別為3個(gè)正品、2個(gè)正品1個(gè)次品、1個(gè)正品2個(gè)次品，所以從10個(gè)同類產(chǎn)品中任意抽取3個(gè)，那么至少有一個(gè)正品，至多有兩個(gè)次品，至多有三個(gè)正品.故選：ABD.10.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列說(shuō)法一定正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，，由面面平行的性質(zhì)定理可知，故A正確；對(duì)于B：若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則存在直線，使得，又，，所以，所以，故D正確；故選：AD11.已知事件、發(fā)生的概率分別為，，則（）A.若，則事件與相互獨(dú)立B.若與相互獨(dú)立，則C.若與互斥，則D.若發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則【答案】AB【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的定義可判斷A選項(xiàng)；利用并事件的概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用互斥事件的概率公式可判斷C選項(xiàng)；分析可知，可判斷出D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，所以，事件與相互獨(dú)立，A對(duì)；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C，若與互斥，則，C錯(cuò)；對(duì)于D，若發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則，則，D錯(cuò).故選：AB.12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量（），點(diǎn)，點(diǎn).（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量，是直線上的任意一點(diǎn)且其坐標(biāo)滿足，稱為直線的方程；（2）若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)且其坐標(biāo)滿足，稱為平面的方程.設(shè)直線的方程為，平面的方程為，，則（）A.B.直線與平面所成角的余弦值為C.到平面的距離為D.向量是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，其中.【答案】ACD【解析】【分析】點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線方程、平面方程可判斷A；求出平面的一個(gè)法向量、直線的方向向量，利用向量的夾角公式可判斷B；利用點(diǎn)到平面的向量求法可判斷C；由空間向量基本定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，故A正確；對(duì)于B，平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，由，得直線與平面所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以到平面的距離為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又，，則，即在平面內(nèi)，由空間向量基本定理可得存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，故D正確.故選：ACD.三、填空題（滿分20分，每題5分）13.用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高二年級(jí)有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).【詳解】，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故答案：180014.在一個(gè)由三個(gè)元件構(gòu)成的系統(tǒng)中，已知元件正常工作的概率分別是，，，且三個(gè)元件正常工作與否相互獨(dú)立，則這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一個(gè)能正常工作的概率，繼而求得這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率.【詳解】由題意可知都不工作概率為，所以至少有一個(gè)能正常工作的概率為，故這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為，故答案為：15.如圖，平行六面體中，，，則線段的長(zhǎng)度是______.【答案】【解析】【分析】由，轉(zhuǎn)化為向量的模長(zhǎng)，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題知，所以，所以，即，所以線段的長(zhǎng)度是.故答案為：16.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，設(shè)是該正方體表面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是______；的最大值為_(kāi)_____．【答案】①.②.12【解析】【分析】如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，可證明六邊形為正六邊形，從而可求其面積，利用向量數(shù)量積的幾何意義可求的最大值.【詳解】∵，∴點(diǎn)在平面上，如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，又由正方體可得，，故，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故五點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故六點(diǎn)共面，由正方體的對(duì)稱性可得六邊形為正六邊形.故點(diǎn)的軌跡是正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是．如圖，，∴的最大值為12．故答案為：，12．四、解答題（滿分70分，17題滿分10分，18～22題每題滿分12分）17.目前用外賣網(wǎng)點(diǎn)餐的人越來(lái)越多，現(xiàn)在對(duì)大眾等餐所需時(shí)間情況進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù).【答案】（1）；（2）眾數(shù)為，中位數(shù)為；【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得到方程即可求出．（2）眾數(shù)即直方圖中最高一組的組中值，首先判斷中位數(shù)位于，再設(shè)中位數(shù)為，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得：，解得．（2）由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為因?yàn)?，所以中位?shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故中位數(shù)為；18.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別是的中點(diǎn)，平面，且.（1）證明：平面；（2）證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量法解決線面平行即可.（2）運(yùn)用空間向量法解決線線垂直即可.【小問(wèn)1詳解】由題知，底面是矩形，分別是的中點(diǎn)，平面，且.所以,所以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，因?yàn)橐字獮槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，所以，所以，所以.19.已知甲、乙兩個(gè)盒子都裝有4個(gè)外形完全相同的小球．甲盒中是3個(gè)黑色小球（記為）和1個(gè)紅色小球（記為），乙盒中是2個(gè)黑色小球（記為）和2個(gè)紅色小球（記為）．（1）若從甲、乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)小球，共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有的結(jié)果；（2）若從甲、乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)小球，求取出的2個(gè)小球中至少有一個(gè)是黑色的概率．【答案】（1）種，答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）用列舉法列出所有可能結(jié)果；（2）利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】共16種不同結(jié)果，總體記為，則,．【小問(wèn)2詳解】記“取出的2個(gè)小球中至少有一個(gè)是黑色”，則,，故．20.在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，，.（1）求的值；（2）求△的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；（2）先用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，再用三角形面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理可得，即，解得，【小問(wèn)2詳解】∵，且，∴,由得，,∴.故△的面積為.21.在長(zhǎng)方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，可證，，得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)?，平面所以平面【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，；，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，，所以，平面與平面的夾角的余弦值為.22.在①，②，③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.如圖，在五面體中，已知__________，，，且，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面夾角的正弦值；（3）線段上是否存在一點(diǎn)F，使得平面與平面夾角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）若選①，要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明平面；若選②，根據(jù)線面垂直的判斷定理，并結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可證明；若選③，利用平行和垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法求線面角的正弦值；（3）首先假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，滿足條件，根據(jù)平面和平面的法向量夾角的余弦值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】若選①，取中點(diǎn)G，中點(diǎn)O，連接，,，，四邊形為平行四邊形，，，又，，，，又，，又，，，平面，平面，平面，平面平面.若選②，，，，，平面，平面，平面，平面平面.若選③，取中點(diǎn)O，中點(diǎn)H，連接，，，，，又，