空間幾何（解答題5種考法）

空間幾何（解答題5種考法）考法一證明平行常用的思路【例1-1】（2022福建模擬節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是線段上的中點，證明：平面【例1-2】（2022廣東模擬節(jié)選）如圖，ABCD是菱形，AF//DE，DE=2AF.求證：AC//平面BEF.【例1-3】（2022廣西模擬節(jié)選）如圖，在直角梯形中，，截面交于點,求證：；【例1-4】（2022甘肅節(jié)選）如圖，三棱錐中，是的中點，是的中點，點在上且，證明：平面；【例1-5】（2022山西）如圖5，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求證：平面ABCD；【例1-6】如圖，已知P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是PA，BD上的點，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.求證：直線MN∥平面PBC．圖圖5考法二證明垂直的常見思路【例2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中過點作的垂線交的延長線于點，.連接交于點，如圖1，將沿折起，使得點到達點的位置.如圖2.證明：直線平面.【例2-2】（2022·云南）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點，為的中點，且，，．證明：平面【例2-3】．（2022·廣東）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，，.求證：平面PCD⊥平面PAC；【例2-4】（2021·福建節(jié)選）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點，是線段靠近點的四等分點，點在線段上，求證：【例2-5】（2023·山西）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；考法三空間角【例3-1】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【例3-2】（2022·江西）如圖1，已知等邊的邊長為3，點M，N分別是邊AB，AC上的點，且滿足，，如圖2，將沿MN折起到的位置．(1)求證：平面平面BCNM；(2)若四棱錐的體積為，求平面和平面的夾角的余弦值．【例3-3】（2022·河北·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，點在底面內(nèi)的射影恰好是點，點是的中點，且.(1)證明：；(2)已知，，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小.【例3-4】（2022·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，，點為的中點，且平面．(1)求證：平面；(2)若二面角的余弦值為，求直線與所成角的正切值．【例3-5】（2022·河北石家莊·一模）如圖，在梯形中，為直角，，，將三角形沿折起至.(1)若平面平面，求證：；(2)設(shè)是的中點，若二面角為30°，求二面角的大小.考法四空間距離【例4-1】（2023·青海）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，M為CD中點，連接BM，CE交于點F，G為△ABE的重心．(1)證明：平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，當平面GCE與平面ADE所成銳二面角為60°時，求G到平面ADE的距離．【例4-2】（2022·北京·北大附中三模）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.【例4-3】（2022·北京市第五中學(xué)三模）如圖，在三棱柱中，平面平面，是矩形，已知，動點在棱上，點在棱上，且.(1)求證：;(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值;(3)在滿足（2）的條件下，求點到平面的距離.考法五動點問題【例5-1】（2022·廣東江門）如圖，在正四棱錐中，，，P在側(cè)棱上，平面.(1)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；(2)側(cè)棱上是否存在一點E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【例5-2】（2022·湖北）已知四棱錐中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分別是、、、的中點．(1)求平面與平面所成的銳二面角的大??；(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【例5-3】（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．(1)證明：；(2)在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，若存在，

求與所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．【例5-4】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，是邊長為6的正三角形，點E，F(xiàn)，N分別在邊AB，AC，BC上，且，為BC邊的中點，AM交EF于點，沿EF將三角形AEF折到DEF的位置，使.(1)證明：平面平面；(2)試探究在線段DM上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.考法六最值問題【例6-1】（2022·廣東·一模）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.(1)證明：平面DEF；(2)若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.【例6-2】（2022·四川）四棱雉中，平面，底面是等腰梯形，且，點在棱上.(1)當是棱的中點時，求證:平面;(2)當直線與平面所成角最大時，求二面角的大小.【例6-3】（2023·廣東）如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分別是對角線BD，AE上異于端點的動點，且．(1)求證：直線平面CDE；(2)當MN的長最小時，求二面角A-MN-D的正弦值．【例6-4】（2022·福建）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．考法七空間中的外接球【例7-1】（2022·河南）如圖，已知正三棱錐中，，，VD⊥平面ABC，垂足為D，DE⊥平面VAB，垂足為E，連接VE并延長，交AB于點M．(1)證明：M是AB的中點；(2)過點E作EF⊥平面VAC，垂足為F，求四面體VDEF的外接球的體積．【例7-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正三棱錐中，是高上一點，，直線與底面所成角的正切值為.（1）求證：平面；（2）求三棱錐外接球的體積.【例7-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)三棱錐的每個頂點都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.（1）求球的表面積；（2）證明：平面平面，且平面平面.（3）與側(cè)面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是，，，的中點，，與交于點，與交于點，連接．(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)求點到平面的距離．2．（2022秋·天津濱海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，，平面，且，點在棱上（不包括端點），點為中點．(1)若，求證：直線平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．3．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在斜三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側(cè)棱，頂點在平面上的射影為邊的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.4．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖所示，三棱錐，BC為圓O的直徑，A是弧上異于B、C的點.點D在直線AC上，平面PAB，E為PC的中點.(1)求證：平面PAB；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值.5．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，平面平面

，，點在棱上，且.(1)證明：平面；(2)設(shè)是的中點，點在棱上，且平面，求二面角的余弦值.6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，.以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M.(1)證明：M為PD的中點.(2)若二面角B-AM-C的余弦值為，求AB.7．（2022秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，為線段上一點.(1)求證：；(2)在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.8．（2023·天津河西·高三天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？计谀┤鐖D，平面，，，，，點，，分別為，，的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的大?。?3)若為線段上的點，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.9．（2023春·山東濟南·高三山東省實驗中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面.(1)證明：；(2)若為上的點，當與平面所成角的正弦值最大時，求的值.10．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）如圖，在多面體中，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，，H是棱AD的中點，P是棱EF上的動點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值.11．（2023江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）如圖1，在長方形ABCD中，已知，，E為CD中點，F(xiàn)為線段EC上（端點E，C除外）的動點，過點D作AF的垂線分別交AF，AB于O，K兩點．現(xiàn)將折起，使得（如圖2）．(1)證明：平面平面；(2)求直線DF與平面所成角的最大值．12．（2023春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形且，，．(1)求的值；(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．13．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，四邊形是菱形，，平面，，，設(shè)，連接，交于點，連接，.(1)試問是否存在實數(shù)，使得平面?若存在，請求出的值，并寫出求解過程；若不存在，請說明理由.(2)當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.14．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點，.(1)證明：；(2)若，平面與平面所成的銳二面角的角余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.15．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中點．(1)求證：平面平面PBC；(2)若二面角的余弦值為，求a的值；(3)在（2）的條件下求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．16．（2023浙江寧波·高三期末）在菱形中，G是對角線上異于端點的一動點（如圖1），現(xiàn)將沿向上翻折，得三棱錐（如圖2）.(1)在三棱錐中，證明：；(2)若菱形的邊長為，，且，在三棱錐中，當時，求直線與平面所成角的正弦值.17．（2023春·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，，BC1與交于點E，平面平面ABC，，是側(cè)棱上一點．(1)若D為的中點，證明：平面BCD．(2)是否存在點D，使得二面角的正弦值為？若存在，指出點D的位置；若不存在，請說明理由．18．（2023·湖南·模擬預(yù)測）如圖所示，圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且，點在線段上，且，點是以為直徑的圓上一動點．(1)當時，證明：平面平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．19．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD為菱形．，平面ABCD，，，設(shè)，連接AC，BD交于點M，連接EM，F(xiàn)M．(1)試問是否存在實數(shù)，使得平面AFC？若存在，請求出的值，并寫出求解過程；若不存在，請說明理由；(2)當時，求異面直線EM與FC所成角的余弦值．2