2024-2025學年吉林省松原市寧江一中九年級（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年吉林省松原市寧江一中九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋物線y=?2x2+5的頂點坐標是A.(0,0) B.(?5,?2) C.(?2,5) D.(0,5)2.下列美術字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.方程(x?2)2=3(x?2)的解是A.x1=2，x2=3 B.x1=2，x2=?2

C.4.如圖，將△ABC繞B點順時針方向旋轉一個角α到△DBE，點A的對應點D恰好落在AC上，且BE//AC.若∠DBC=30°，則α的度數(shù)為(

)A.30°

B.40°

C.45°

D.36°5.如圖，點B、C、D在⊙O上，∠ADB=30°，A是BC的中點，若OB=3，則BC的長是(

)A.23π

B.43π

C.6.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，且過點A(3,?2)，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，下列結論正確的是(

)A.b2<4ac

B.ac>0

C.2a+b=0

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。7.在平面直角坐標系中，點P(2,?6)關于原點對稱的點P′的坐標是______．8.已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OB的中點，當OB=10cm時，點A與⊙O的位置關系是點A在⊙O______(填“內”“外”或“上”)．9.已知x=a是方程x2?2x?24=0的一個根，則代數(shù)式2a10.如圖，該圖形繞其中心旋轉能與其自身完全重合，則其旋轉角最小為______度.11.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE.若∠BCD=124°，則∠DAE的度數(shù)是______．12.某商品原售價為100元，經(jīng)連續(xù)兩次漲價后售價為121元，設平均每次漲價的百分率為x，則依題意所列的方程是______．13.如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內切圓，分別切AB，CD于點M，N，P是優(yōu)弧MPN上的一點，則∠MPN的度數(shù)為______°.14.如圖，將二次函數(shù)y=x2?1位于x軸的下方的圖象沿x軸翻折，得到一個新函數(shù)的圖象(實線部分).當新函數(shù)中函數(shù)值y隨x的增大而增大時，自變量x三、解答題：本題共12小題，共84分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題5分)

用配方法解方程：x2?6x+3=016.(本小題5分)

已知某拋物線的頂點坐標為(1,5)，且經(jīng)過點(3,4)，求該拋物線的解析式．17.(本小題5分)

某型號的圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面.設其圓心為點O，若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm.求這個圓形截面的半徑．18.(本小題5分)

已知關于x的一元二次方程kx2?4x+4=0．

(1)若k是最小的正整數(shù)，求此方程的解；

(2)若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求19.(本小題7分)

如圖，在平面直角坐標系中，一個三角板ABC的三個頂點分別是A(?3,2)，B(0,4)，C(0,2)．

(1)操作與實踐：

步驟一：將三角板ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C；

步驟二：平移三角板ABC，點A的對應點A2的坐標為(1,?4)，畫出平移后對應的△A2B2C220.(本小題7分)

如圖，拋物線y=ax2?x?32與x軸正半軸交于點A(3,0)，以OA為邊.在x軸上方作正方形OABC，延長CB交拋物線于點D，再以BD為邊向上作矩形BDEF，使BF=2BD．

(1)求a的值；

21.(本小題7分)

如圖，AB是⊙O的直徑，AB與CD相交于點E，弦AD與弦CD相等，且BC=BD．

(1)求∠ADC的度數(shù)；

(2)如果OE=1，求AD22.(本小題7分)

如圖，在一面靠墻的空地上用長為24m的籬笆，圍成中間隔有2道籬笆的長方形花圃，墻的最大長度為8m.設花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．

(1)求S與x之間的函數(shù)關系式；

(2)求自變量的取值范圍；

(3)當x取何值時，所圍成的花圃面積最大？最大值是多少？23.(本小題8分)

如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，且與BC邊交于點E，OD⊥BE，連接AD交BC于點F，若AC=FC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑是6，∠ADB=60°，求圖中陰影部分的面積(結果保留根號和π)．24.(本小題8分)

九年級一班同學在數(shù)學老師的指導下，以“等腰三角形的旋轉”為主題，開展數(shù)學探究活動．

操作探究：

(1)如圖1，△OAB為等腰三角形，OA=OB，∠AOB=60°，將△OAB繞點O旋轉180°，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF，則∠BAE=______°，OF與DE的數(shù)量關系是______；

遷移探究：

(2)如圖2，(1)中的其他條件不變，當△OAB繞點O逆時針旋轉，點D正好落在∠AOB的角平分線上，得到△ODE，求出此時∠BAE的度數(shù)及OF與DE的數(shù)量關系；

拓展應用：

(3)如圖3，在等腰三角形OAB中，OA=OB=4，∠AOB=90°.將△OAB繞點O旋轉，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF.當∠EAB=15°時，請直接寫出OF的長．

25.(本小題10分)

如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC的中點，AC=22.動點P從點A出發(fā)，沿折線AC?CD運動，在AC和CD上的速度分別為每秒2個單位長度和每秒1個單位長度.當點P出發(fā)后，過點P作PQ⊥AB于點Q，將線段PQ繞點P順時針旋轉90°得到PM，連接QM.設點P的運動時間為t(s)，△PQM與△ACD重疊部分圖形的面積為S．

(1)當點P在線段AC上運動時，用含t的代數(shù)式表示OP的長；

(2)當點O在△PQM的內部時，求t的取值范圍；

(3)求S與26.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標系中，點A(?1,0)、B(0,3)在拋物線y=?x2+bx+c上，該拋物線的頂點為C.點P為該拋物線上一點，其橫坐標為m．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當BP⊥y軸時，求△BCP的面積；

(3)當該拋物線在點A與點P之間(包含點A和點P)的部分的最高點和最低點的縱坐標之差為定值時，求m的取值范圍并寫出這個定值；

(4)當m>0時，設該拋物線在點B與點P之間(包含點B和點P)的部分的最高點和最低點到x軸的距離分別為d、n，當d?n=1時，直接寫出

參考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.(?2,6)

8.上

9.40

10.72

11.34°

12.100(1+x)13.72

14.?1≤x≤0或x≥1

15.解：x2?6x+3=0，

x2?6x=?3，

x2?6x+9=?3+9，

(x?3)216.解：設y=a(x?1)2+5，代入點坐標可得：4a+5=4，

∴a=?14，

17.解：如圖，作OE⊥AB交AB于點D，交⊙O于點E，

則DE=4cm，

∵AB=16cm，作OE⊥AB，

∴AD=12AB=8cm，

設半徑為R?cm，則OD=OE?DE=(R?4)cm，

由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，

即R18.解：(1)根據(jù)題意可知：k=1，

∴方程變形為x2?4x+4=0，

解得x1=x2=2．

(2)由條件可知：Δ=(?4)2?16k>0且19.20.解：(1)依題意得：把點A(3,0)代入y=ax2?x?32中，

得a=12；

(2)解：∵A(3,0)，

∴OA=3，

∵四邊形OABC是正方形，

∴OC=OA=AB=3，

當y=3時，12x2?x?32=3，

即x2?2x?9=0，

解得x1=1+10，x2=1?10<0(舍去)，

∴CD=1+21.解：(1)連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，BC=BD，

∴AC=AD，

∴AC=AD，

∵AD=CD，

∴AC=AD=CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ADC=60°；

(2)連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，BC=BD，

∴DE=EC=12CD，AB⊥CD，

∴∠AED=90°，

∵∠ADC=60°，

∴∠DAO=90°?∠ADC=30°，

∴∠DOE=2∠DAO=60°，

在Rt△OED中，OE=1，

∴DE=OE22.解：(1)設花圃的寬AB為x?m，則BC=(24?4x)m，

根據(jù)題意得出：S=x(24?4x)=?4x2+24x；

(2)∵墻的可用長度為8米

∴0<24?4x≤8

解得：4≤x<6；

(3)S=?4x2+24x=?4(x2?6x)=?4(x?3)2+36，

∵4≤x<6，a=?4<0，

∴S隨x的增大而減小，

∴當x=4m23.(1)證明：以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，且與BC邊交于點E，OD⊥BE，AC=FC.連接OA，

∴∠ODF+∠OFD=90°，

∵CA=CF，

∴∠CAF=∠CFA，

∵∠CFA=∠OFD，

∴∠ODF+∠CAF=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∵OA是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線．

(2)解：∵∠ADB=60°，

∴∠AOB=2∠ADB=120°，

∴∠AOE=60°，∠C=30°，

在Rt△OAC中，AO=6，

∴OC=2OA=12,AC=122?62=624.解：(1)90；DE=2OF．

(2)由旋轉的性質，可知△OAB≌△ODE，

∵△OAB為等邊三角形，OD平分∠AOB，△ODE為等邊三角形，

∴∠DOE=60°，∠AOD=12∠AOB=30°，

∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，

∵OA=OE，

∴∠OAE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，∠BAE=∠OAB?∠OAE=15°，

∵F是AE的中點，

∴OF⊥AE，

∴△OEF是等腰直角三角形，

∴DE=OE=2OF．25.解：(1)由題意得PC=2t，

∵O為正方形ABCD對角線AC的中點，AC=22，

∴OC=12AC=2，

當0≤t<1時，OP=OC?PC=2?2t；

當1<t≤2時，OP=PC?OC=2t?2；

(2)當點P在AC上，且點P與點O重合時，即PC=OC，

∴2t=2，

解得t=1；

點P與點C重合時，即PC=AC，

∴2t=22，

解得t=2；

∵O為正方形ABCD對角線AC的中點，AC=22，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，

∴AD=CD=2，

過點O作ON⊥CD于N，則CN=DN=1，

當點P在CD上，點O在PQ上時，(t?222)?1=CN=1．

∴t?2=1，

解得t=3．

綜上所述，當點O在△PQM的內部時，t的取值范圍是1<t<3，且t≠2．

(3)當P在線段AC上時，即0<t≤2時，四邊形AQPM是正方形，則S=14正方形AQPM=14AM2，AP=2t，AM=MP，

在Rt△AMP中，AM2+MP26.解：(1)把點A(?1,0)、B(0,3)代入y=?x2+bx+c得：

?1?b+c=0c=3，

解得：b=2c=3，

∴該拋物線的解析式為y=?x2+2x+3；

(2)由(1)知，y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，

∴點C為(1,4)，

當BP⊥y軸時，點P與點B關于對稱軸x=1對稱，

∴點P(2,3)，

∴BP=2，點C到PB的距離為1，

∴S△BCP=12×2×1=1，

∴△BCP的面積為1；

(3)設拋物線與x軸的另一交點為點D，如圖所示，

∴點A(?1,0)與點D關于直線x=1對稱，

∴點D為(3,0)

當點P在點C和點D之間時，點A與點P之間(包含點A和點P)的部分的最高點和最低點