2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和第1課時等差數(shù)列的前n項和練習(xí)新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時等差數(shù)列的前n項和1.在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝5，則{an}的前5項和S5＝A.7 B.15 C.20 D解析S5＝eq\f(5×（a1＋a5）,2)＝eq\f(5×（a2＋a4）,2)＝eq\f(5×6,2)＝15.答案B2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于A.8 B.10解析由題意知a1＝2，由S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故選C.答案C3.已知{an}是等差數(shù)列，a4＋a6＝6，其前5項和S5＝10，則其公差為d＝________.解析a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋eq\f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②由①②聯(lián)立解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S12＝21，則a2＋a5＋a8＋a11＝________.解析S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝21，即6(a1＋a12)＝21，則a2＋a5＋a8＋a11＝2(a1＋a12)＝7.答案75.(2024·北京)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________.解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,2a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,d＝－2，))所以S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝36＋15×(－2)＝6.答案6[限時45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝3，a6＝11，則S7＝A.13 B.35 C.49 D解析4d＝a6－a2＝8，所以d＝2，則S7＝7a4＝7(a2＋4)＝49.答案C2.若等差數(shù)列{an}的前5項的和S5＝25，且a2＝3，則a7等于A.12 B.13 C.14 D.1解析由題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝25，,a1＋d＝3，))解之，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴a7＝1＋2×6＝13.答案B3.在等差數(shù)列{an}中，若a6＋a9＋a12＋a15＝20，則S20等于A.90 B.100解析∵a6＋a15＝a9＋a12＝a1＋a20，a6＋a9＋a12＋a15＝20，∴a1＋a20＝10，故S20＝eq\f(1,2)×20(a1＋a20)＝100.答案B4.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，若a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，則S13等于A.152 B.154解析因為a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，兩式相加可得a3＋a7－a10＋a11－a4＝(a3＋a11)－(a4＋a10)＋a7＝a7＝12，所以S13＝13a7＝13×12＝156.答案C5.含2n＋1項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為A.eq\f(2n＋1,n) B.eq\f(n＋1,n) C.eq\f(n－1,n) D.eq\f(n＋1,2n)解析S奇＝eq\f(（n＋1）（a1＋a2n＋1）,2)，S偶＝eq\f(n（a2＋a2n）,2)，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).答案B6.(實力提升)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，則m等于A.38 B.20 C.10 D.解析因為{an}是等差數(shù)列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，得2am－aeq\o\al(2,m)＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即eq\f(（2m－1）（a1＋a2m－1）,2)＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故選C.答案C二、填空題(每小題5分，共15分)7.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項和等于________.解析因為a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，所以前9項和S9＝9＋eq\f(9×8,2)×eq\f(1,2)＝27.答案278.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，若S6＝3，S12－S6＝9，則S18＝________.解析由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得：S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列，所以2×9＝3＋S18－S12，S12＝9＋3＝12，所以S18＝27.答案279.(實力提升)(2024·江蘇)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，S5＝10，則a9的值是________.解析解法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化簡得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.解法二設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知eq\f(5（a1＋a5）,2)＝5a3＝10，所以a3＝2.所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化簡得aeq\o\al(2,2)＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.答案20三、解答題(本大題共3小題，共35分)10.(11分)已知等差數(shù)列{an}的前三項為a－1，4，2a，記前n項和為Sn(1)設(shè)Sk＝2550，求a和k的值；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.解析設(shè){an}的公差為d，由已知，得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a.又2a2＝a1＋a3，∴8＝a－1＋2a，即a＝3，∴a1＝2，d＝a2－a1＝2.(1)由Sk＝ka1＋eq\f(k（k－1）,2)d，得2k＋eq\f(k（k－1）,2)×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)，∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，得Sn＝2n＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝n2＋n，∴bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1.又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差數(shù)列，且共有n項，∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝eq\f(n（b3＋b4n－1）,2)＝eq\f(n（4＋4n）,2)＝2n2＋2n.11.(12分)甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，(1)甲、乙起先運動后幾分鐘相遇？(2)假如甲、乙到達對方起點后馬上返回，甲接著每分鐘比前1分鐘多走1m，乙接著每分鐘走5m解析(1)設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意，有2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去).所以第1次相遇是在起先運動后7分鐘.(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意，有2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去).所以第2次相遇是在起先運動后15分鐘.12.(12分)(實力提升)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿意：a3a4＝117，a2＋a5(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常數(shù)c.解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩個根.又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4，))∴an＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝n×1＋eq\