專題01 線段與角中的分類討論和動(dòng)點(diǎn)問題、折疊中求角（原卷版）-A4

第頁專題01線段與角中的分類討論與動(dòng)點(diǎn)問題、折疊中求角類型一：線段的分類討論問題類型二：線段中的動(dòng)點(diǎn)問題類型三：角中的分類討論問題類型四：角中的運(yùn)動(dòng)問題類型五：在長方形的折疊中求角的度數(shù)類型一：線段的分類討論問題1．如圖，將一根繩子對(duì)折以后用線段AB表示，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為12cm，若AP：PB＝1：3，則這根繩子原來的長度為（）A．16cm B．28cm C．16cm或32cm D．16cm或28cm2．直線l上有三點(diǎn)A、B、C，其中AB＝8cm，BC＝6cm，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，則MN的長是（）A．6cm或2cm B．7cm或1cm C．4cm或3cm D．16cm或12cm3．已知線段AB＝6cm，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AB上且，則線段AD的長為（）A．2cm B．4cm C．2cm或3cm D．2cm或4cm4．直線上有A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，如果AB＝6，BC＝12，求線段MN的長度．5．閱讀感悟：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖1，一條直線上有A、B、C、D四點(diǎn)，線段AB＝8cm，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，線段BD＝2.5cm，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求CD的長度．以下是小華的解答過程：解：如圖2，因?yàn)榫€段AB＝8cm，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，所以BC＝AB＝cm．因?yàn)锽D＝2.5cm，所以CD＝BC﹣BD＝cm．小斌說：我覺得這個(gè)題應(yīng)該有兩種情況，小華只考慮了點(diǎn)D在線段AB上，事實(shí)上，點(diǎn)D還可以在線段AB的延長線上．完成以下問題：（1）請(qǐng)?zhí)羁眨簩⑿∪A的解答過程補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)小斌的想法，請(qǐng)你在備用圖中畫出另一種情況對(duì)應(yīng)的示意圖，并求出此時(shí)CD的長度．6．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC＝12cm，CB＝8cm，點(diǎn)D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)．（1）求DE的長度；（2）若M在直線AB上，且MB＝6cm，求AM的長度．7．已知AB＝24，DE＝10，點(diǎn)C為線段AB的三等分點(diǎn)（BC＞AC），點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)．（1）若線段DE在線段AB上運(yùn)動(dòng)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C為線段DE的中點(diǎn)時(shí)，BE＝；（直接寫出結(jié)果）②M為線段AB上一點(diǎn)，且BM＝2BE，，求線段CE的長；（2）若線段DE在射線BA上運(yùn)動(dòng)，且2AD+CE＝BD，求線段CD的長．類型二：線段中的動(dòng)點(diǎn)問題8．如圖所示：C是線段AB上一點(diǎn)，且AB＝3AC，P、Q從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別朝著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)Q的一半，當(dāng)AP＝6cm時(shí)，BQ的長為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm9．如圖，A，B，C為直線l上從左到右的三個(gè)點(diǎn)，AB＝2BC，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度是點(diǎn)N的速度的3倍．在運(yùn)動(dòng)過程中，若要知道MN的長，則只要知道下列哪條線段的長，該線段是（）A．AM B．BN C．BM D．CM10．如圖，數(shù)軸上，O點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是0、60，將一根質(zhì)地均勻的直尺AB放在數(shù)軸上（A在B的左邊），若將直尺在數(shù)軸上水平移動(dòng)，當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)的位置時(shí)，B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，當(dāng)B點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)的位置時(shí)，A點(diǎn)與O點(diǎn)重合．（1）直尺AB的長為個(gè)單位長度；（2）若直尺AB在數(shù)軸上O、C間，且B、C兩點(diǎn)之間的距離是O、A兩點(diǎn)之間的距離的4倍，求此時(shí)A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）設(shè)直尺AB以（2）中的位置為起點(diǎn)，以1個(gè)單位秒的速度沿?cái)?shù)軸勻速向右移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以m個(gè)單位/秒的速度也沿?cái)?shù)軸勻速向右移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若B、P、C三點(diǎn)恰好在同一時(shí)刻重合，求m的值；②當(dāng)t＝10時(shí)，B、P、C三個(gè)點(diǎn)互不重合，且恰好有一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的m的值．11．【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．【綜合運(yùn)用】（1）填空：①A、B兩點(diǎn)間的距離AB＝，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)Q表示的數(shù)為．（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB；（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出線段MN的長．12．【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“巧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，點(diǎn)C是線段AB的巧點(diǎn)，則AC＝cm；【解決問題】（3）如圖②，已知AB＝12cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（s）．當(dāng)t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)？說明理由類型三：角中的分類討論問題13．已知OC是∠AOB的平分線，，OE平分∠COD，設(shè)∠AOB＝α，則∠BOE＝（）A． B． C． D．14．已知∠AOC＝100°，過點(diǎn)O作射線OB，OM，使∠AOB＝30°．OM是∠BOC的平分線，則∠AOM的度數(shù)為（）A．35° B．35°或65° C．40°或65° D．65°15．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的頂點(diǎn)O引射線OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度數(shù)是（）A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°16．如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度數(shù)．17．已知∠AOB內(nèi)部有三條射線OD，OC，OE且在同一個(gè)平面內(nèi)，∠AOC＝2∠BOC，射線OD始終在射線OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如圖1，當(dāng)OE平分∠BOC時(shí)，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOD＝5∠COE時(shí)，求∠BOE的度數(shù)．18．如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度數(shù)；（2）作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內(nèi)作射線ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度數(shù)；（3）過點(diǎn)O作射線OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度數(shù)．類型四：角中的運(yùn)動(dòng)問題19．如圖所示，設(shè)∠AOB＝3∠COD＝60°．將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠COB＝3∠AOD時(shí)，∠AOD＝（）A．20° B．40° C．60° D．20°或40°20．如圖，∠AOB＝140°，OC平分∠AOB．現(xiàn)有射線OP、OQ分別從OC、OB同時(shí)出發(fā)，以每秒15°和每秒10°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OP旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，這兩條射線都停止旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過秒后，射線OP、OQ的夾角為30°．21．如圖①，O是直線AB上一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)為；（2）將圖①中的∠COD繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其他條件不變，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；（3）將圖①中的∠COD繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，其他條件不變，直接寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：．22．將一副三角板的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線．（1）如圖①所示，當(dāng)OB與OC重合時(shí)，則∠MON的大小為；（2）當(dāng)∠COD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示，當(dāng)∠BOC＝14°，則∠MON的大小為多少？（3）當(dāng)∠COD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖③所示，當(dāng)∠BOC＝α?xí)r，求∠MON的大?。?3．【問題驅(qū)動(dòng)】已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）如圖1，若∠AOC＝44°，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖1，若∠AOC＝α，則∠DOE的度數(shù)為（用含有α的式子表示）不必說明理由；【拓廣探索】（3）將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究∠DOE和∠AOC度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；（4）將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若∠AOC＝α，則∠DOE的度數(shù)為（用含有α的式子表示），不必說明理由．24．如圖1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC內(nèi)，ON在∠BOD內(nèi)，∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終有，．（本題中所有角均大于0°且小于等于180°）（1）∠COD從圖1中的位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OC與OB重合時(shí)，如圖2，求∠MON；（2）∠COD從圖2中的位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；n°（0＜n＜60），則∠MOC＝，∠NOD＝．（用n的代數(shù)式表示）（3）∠COD從圖2中的位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜120且n≠60），則∠MON＝．類型五：在長方形的折疊中求角的度數(shù)25．將長方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG為折痕，則∠FEG的度數(shù)為（）A．40° B．70° C．80° D．110°26．如圖，將一張長方形紙片ABCD分別沿著BE，BF折疊，使邊AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，則∠EBF等于（）A．30° B．35° C．45° D．60°27．如圖，把一張長方形紙片沿對(duì)角線BD折疊，∠CBD＝25°，則∠ABF的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．40° D．50°28．將一張正方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，若∠B′AD′＝26°，則∠EAF的度數(shù)為（）A．51° B．45° C．40° D．32°29．如圖，長方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，連接DF，EF．將∠C沿DF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處；將∠B沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在FG的延長線上點(diǎn)H處．若∠BFE＝19°59