數(shù)列的概念（1課時）教案

第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念（1課時）【教學內(nèi)容】學習數(shù)列的概念與表示，數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關系?！窘虒W目標】1、經(jīng)歷數(shù)列概念的抽象過程，了解數(shù)列的定義、了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，了解表示方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。2、理解數(shù)列的通項公式。3、理解數(shù)列遞推公式的含義,會用遞推公式解決有關問題。4、會利用數(shù)列的前n項和與通項的關系求通項公式。【教學重難點】教學重點：數(shù)列的有關概念與數(shù)列的表示方法，數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關系。教學難點：數(shù)列的函數(shù)特征，用數(shù)列的前n項和與通項的關系求通項公式?！窘虒W過程】新知探究閱讀課本P10-P11，認識斐波那契數(shù)列，思考如下問題。 問題：觀察下列這組數(shù)的規(guī)律，你能完成填空嗎？1，1，2，3，5，8，____，_____，……[設計意圖]通過斐波那契數(shù)列的情景，引導學生運用數(shù)學眼光，分析問題，進行數(shù)學分析。一、知識梳理問題1：如何給“數(shù)列”下定義？師生活動：教師引導學生思考給數(shù)列下定義的方法，即：類比給出函數(shù)概念的思路，歸納幾個具體的例子所滿足的共同特征，通過“事實—概念（定義、表示）”的數(shù)學抽象過程，給出數(shù)列的定義。追問（1）：王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？師生活動：教師引導學生記王芳第i歲時的身高為hi，i=1的時候，就表示1歲時的身高h1，也就是75。同理，h2＝87，h3=96，h17＝168。hi中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，也就是說h1＝75是排在第１位的數(shù)，h2＝87是排在第２位的數(shù)……h(huán)17＝168是排在第17位的數(shù)。學生不難理解，如果它們之間交換位置，那么表示的意義就不一樣了。所以，這是具有確定順序的一列數(shù)。追問（2）：在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上就有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240。它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？師生活動：教師引導學生類比描述第一個例子的方法來分析這列數(shù)。記第i天月亮可見部分的數(shù)為si，那么s1＝5，s2＝10，…，s15＝240。這里，si中的i反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的確定位置。s1＝5是排在第1位的數(shù)，s2＝10是排在第2位的數(shù)……s15＝240是排在第15位的數(shù)，它們之間不能交換位置．所以，這也是具有確定順序的一列數(shù)。追問（3）：的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：，，，，…。你能仿照上面的敘述，說明這也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？師生活動：學生仿照前兩個例子的敘述，分析這列數(shù)。追問（4）：上述例子的共同特征是什么？師生活動：教師引導學生從特殊到一般，歸納三個例子的共同特征，抓住“一列數(shù)”和“順序”這兩個關鍵點。[設計意圖]通過具體問題的思考和分析，幫助學生觀察、分析、歸納總結出數(shù)列的概念。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。問題2：數(shù)列的定義是什么？師生活動：教師引導學生根據(jù)上述三個例子的共同特征，給出數(shù)列的定義：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。追問（1）：1，3，5，7是一個數(shù)列，7，5，3，1也是一個數(shù)列，這兩個數(shù)列是不是同一個數(shù)列？師生活動：教師提醒學生，根據(jù)數(shù)列的概念，數(shù)列中的數(shù)是有先后順序的，兩個數(shù)列即使所含的數(shù)完全相同，只要排列的順序不同，就是兩個不同的數(shù)列。追問（2）：1，1，1，1，1…是不是一個數(shù)列？師生活動：教師讓學生認識到數(shù)列中的數(shù)只要求按一定順序排列，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，同一個數(shù)可以在數(shù)列中重復出現(xiàn)。掌握數(shù)列的概念，要抓住兩個關鍵詞：一列數(shù)和順序。問題3：如何用一般的符號來表示數(shù)列？師生活動：教師引導學生通過數(shù)列的定義獲得從數(shù)學上刻畫數(shù)列的方法——用正整數(shù)表示數(shù)列確定的順序，即用，，···，，…分別表示數(shù)列的第1項（或稱為首項）、第2項、…，第n項，…。數(shù)列的一般形式可以寫成，，···，，···，簡記為。追問：在數(shù)列中，符號與所表示的意義是否相同？師生活動：教師引導學生認識到僅表示數(shù)列中的第n項這一個數(shù)值。而表示一個數(shù)列，通常要在其前面寫上“數(shù)列”這兩個字，即“數(shù)列”。問題4：對于不同的數(shù)列，它們的項數(shù)有何特點呢？師生活動：教師引導學生回顧第一個例子，一共有17項，第二個例子有15項，這都是含有有限項的數(shù)列。而第三個數(shù)列就不同了，它有無窮多個項?？梢愿鶕?jù)數(shù)列中項數(shù)的有限和無限，將數(shù)列分成以下兩類：有窮數(shù)列（項數(shù)有限的數(shù)列）；無窮數(shù)列（項數(shù)無限的數(shù)列）。二、概念辨析問題5：數(shù)列中的各項與各項序號k（k＝1，2，3，···，n，···）之間的對應關系是什么關系？師生活動：教師呈現(xiàn)數(shù)列各項與序號一一對應的關系：學生根據(jù)教師呈現(xiàn)的數(shù)列各項與其序號的對應關系，認識到對于每一個正整數(shù)n，都有唯一的數(shù)與之對應，所以數(shù)列中的各項與各項序號k（k＝1，2，3，···，n，···）之間的對應關系是函數(shù)關系。由此可見，數(shù)列實際上是由序號和項構成的函數(shù)。追問：，，，，···，，…和，，，是同一個數(shù)列嗎？能否從函數(shù)的角度解釋一下？師生活動：學生從函數(shù)的角度解釋它們不是同一個數(shù)列的原因：第一個數(shù)列n可取一切正整數(shù)，所以定義域就是正整數(shù)集，它是個無窮數(shù)列。而第二個數(shù)列是個有窮數(shù)列，它的定義域實際上是正整數(shù)集的一個有限子集。因為定義域不同，所以不是同一個數(shù)列。教師借機讓學生認識到繼續(xù)研究數(shù)列的函數(shù)特性的必要性，并進一步引導學生得出：數(shù)列的定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，值域是實數(shù)集的子集。所以數(shù)列是從正整數(shù)集（或它的有限子集）到實數(shù)集的函數(shù)。問題6：數(shù)列有哪些表示方法？師生活動：教師引導學生回顧當初研究函數(shù)的時候，學習了函數(shù)的概念和構成三要素之后，又學習了函數(shù)的表示方法，有列表法、圖象法、解析法。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，也應當有這三種表示方法。追問（1）：數(shù)列的圖象有什么特點？師生活動：學生畫出某一數(shù)列的圖象，發(fā)現(xiàn)它是離散的，由一些孤立的點構成，不能連在一起，這跟之前見到的大部分函數(shù)圖象不太一樣。教師引導學生思考導致這個現(xiàn)象的原因。學生不難發(fā)現(xiàn)根源在定義域：以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列的自變量只能取一個一個的整數(shù)，是離散的數(shù)，所以畫出的圖象自然也就是離散的。追問（2）：數(shù)列通項公式的作用是什么？師生活動：教師給出數(shù)列通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就是數(shù)列的函數(shù)解析式，叫做這個數(shù)列的通項公式。教師幫助學生認識到：有了通項公式，就可以寫出數(shù)列的各項。問題7：數(shù)列的單調(diào)性是怎樣定義的？師生活動：教師引導學生用列表法和圖像法表示數(shù)列：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。教師讓學生從表和圖中觀察該數(shù)列中的項隨序號的變化呈現(xiàn)出的特點。學生不難發(fā)現(xiàn)從第2項起，每一項都大于它的前一項。教師趁機給出遞增數(shù)列的定義：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列。類比遞增數(shù)列的定義，給出遞減數(shù)列的定義：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列。特別地，各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列，如前面提到過的1，1，1，1，1…。[設計意圖]加深學生對數(shù)列概念的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)問題探究一、由通項公式寫出數(shù)列的項例1：根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖象。（1）；（2）師生活動：教師引導學生根據(jù)通項公式，令n=1，就得到了首項，令n=2，就得到，以此類推，就可分別求出這兩個數(shù)列的前5項：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1。根據(jù)前5項的數(shù)據(jù)進行描點。教師提醒學生注意描點后不能連線了，因為數(shù)列圖象就是由一些孤立的點構成的。追問：你能判斷（1）中數(shù)列的單調(diào)性嗎？師生活動：學生根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，結合圖象，不難得出：（1）中的數(shù)列是遞增數(shù)列。二、由數(shù)列的前n項的特征，猜想通項公式例2：根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）1，，，，…；（2）2，0，2，0，…．師生活動：學生在教師的引導下發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)列的特點是有正有負，正負相間。教師說明：我們常常用或來表示正負相間的變化規(guī)律。學生不難發(fā)現(xiàn)，除了正負方面的特征之外，（1）中數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為。有了第一個的基礎，學生在探究（2）中的數(shù)列時，不難發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列前４項的奇數(shù)項是2，偶數(shù)項是0，所以它的一個通項公式為。由圖形的特征，猜想數(shù)列的通項公式例3：圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形。在圖中４個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前４項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式。師生活動：教師引導學生先數(shù)各圖中著色三角形的個數(shù)，從而得到數(shù)列的前四項：1，3，9，27。教師啟發(fā)學生：求這個數(shù)列的通項公式，就要找項與序號之間的關系。學生發(fā)現(xiàn)第1項是，第2項是，第3項，第4項是。這些數(shù)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號-1。因此，學生得出這個數(shù)列的一個通項公式就是。追問：你能用數(shù)學語言歸納出后一項與前一項的關系嗎？師生活動：教師給學生以提示：當不能明顯看出數(shù)列的項的取值規(guī)律時，我們可以嘗試通過運算來尋找規(guī)律。如依次取出數(shù)列的某一項，減去或除以它的前一項，再對差或商加以觀察。教師強調(diào)這是一種通過運算發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思想，在數(shù)列的研究中有重要作用。學生按照教師的提示，發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的后一項等于前一項的3倍。教師接著幫助學生通過圖形解釋這個問題：每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為３個著色小三角形和１個無色小三角形。于是從第２個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的３倍。學生接著把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學語言歸納出來，得出。教師提醒學生注意：這個式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情況我們只能單獨討論。于是寫成。教師總結：同樣一個數(shù)列，從兩個不同的角度去觀察，就發(fā)現(xiàn)了不同的規(guī)律。通項公式反映的是項與序號之間的關系。而（n≥2）這個式子反映的是后一項與前一項之間的關系。根據(jù)這個式子，我們已知第1項就能推出第2項，已知第2項就能推出第3項，以此類推。問題8什么是一個數(shù)列的遞推公式？師生活動：教師呈現(xiàn)數(shù)列遞推公式的定義：“如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式?！睂W生根據(jù)前面對遞推公式的認識，對教師呈現(xiàn)的數(shù)列遞推公式的定義進行理解。教師提醒學生：知道了首項和遞推公式，就能求出該數(shù)列的每一項了。追問（1）：相鄰多項之間的關系能用遞推公式表示嗎？師生活動：教師提到大名鼎鼎的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引導學生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列第n項等于它的前一項（第n-1項）加上再往前一項（第n-2項）。學生認識到這其實就是相鄰三項之間的關系：。教師提醒學生注意：因為下標最小是1，所以這里n≥3。這個數(shù)列的遞推公式反映的是相鄰三項之間的關系。教師向學生介紹：這個數(shù)列由意大利數(shù)學家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性質。追問（2）：一個數(shù)列的通項公式和遞推公式有何聯(lián)系與區(qū)別？師生活動：學生將通項公式和遞推公式相比較，發(fā)現(xiàn)和剛剛學習的通項公式一樣，遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。只不過通項公式反映的是項與序號之間的對應關系，而遞推公式反映的則是相鄰兩項或多項之間的關系。學生在教師的引導下認識到通項公式和遞推公式各有利弊，在數(shù)列的研究中都發(fā)揮著巨大的作用。[設計意圖]通過具體問題的思考和分析，幫助學生認識數(shù)列中的遞推公式。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、由遞推公式求通項公式例4：已知數(shù)列的首項為，遞推公式為（n≥2），寫出這個數(shù)列的前5項。師生活動：教師引導學生根據(jù)遞推公式，令n=2，就得到。同理，令n分別等于3，4，5，就可依次求出，，。教師總結：知道了首項和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了。[設計意圖]強化遞推公式推數(shù)列的項，培養(yǎng)學生運算的素養(yǎng)。問題9什么是數(shù)列的前n項和公式？師生活動：教師引導學生顧名思義：一個數(shù)列從第1項起到第n項止的各項之和就是該數(shù)列的前n項和，記作。如果數(shù)列的前n項和與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的前n項和公式。追問：數(shù)列的前n項和公式與通項公式有何聯(lián)系？師生活動：教師引導學生觀察，發(fā)現(xiàn)其中有。如果把留出來，前面的就是前n-1項的和，也就是。如果已知前n項和公式，那么把公式中的n給換成n-1，就能得到，然后用就可以得到。教師提醒學生注意是前n-1項的和，這里n一定是大于或等于2的，所以當n≥2時，。學生接著思考n=1的情況，發(fā)現(xiàn)就是第1項，所以就等于。于是我們有。[設計意圖]通過數(shù)列的通項與前n項和的認識，幫助學生理解。 五、由數(shù)列的前n項和，求通項公式問題10已知數(shù)列的前n項和公式為，你能求出的通項公式嗎？師生活動：教師引導學生根據(jù)一個數(shù)列前n項和公式與通項公式的關系，即，進行求解。教師提醒學生關注n=1的情況是否滿足n≥2時求出的通項公式，如果不滿足，要分開寫。[設計意圖]通過具體問題引出通項公式與遞推公式之間的關系，強化已知前n項和求通項，幫助學生課堂掌握。課堂小結回顧本節(jié)課所學的知識，思考：（1）什么是數(shù)列？數(shù)列的本質是什么？