2024北京延慶初三（上）期中數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京延慶初三（上）期中數(shù)學考生須知1．本試卷共8頁，共三道大題，28道小題，滿分100分，考試時間120分鐘．2．在試卷和答題卡上認真填寫學校名稱、姓名和考號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題、畫圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答．一、選擇題（共16分，每小題2分），下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.如果，那么下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.2.二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A.1，4，3 B.0，4，3 C.1，-4，3 D.0，-4，33.已知二次函數(shù)，若點和在此函數(shù)圖象上，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.無法確定4.把拋物線向左平移1個單位，再向下平移5個單位，得到的拋物線的表達式為（）A. B. C. D.5.如圖，在中，點分別在邊上，．若，則的長為（）A.4 B.10 C.12 D.166.在中，，于點，，，則的長為（）A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》中，有一數(shù)學史上有名的測量問題：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”今譯如下：如圖，矩形，東邊城墻長9里，南邊城墻長7里，東門點，南門點分別位于，的中點，，，里，經(jīng)過點，則的長為（）A.0.95里 B.1.05里 C.2.05里 D.2.15里8.如圖，矩形中，對角線交于點，邊的中點分別是點，，一動點從點出發(fā)，沿著在矩形的邊上運動，運動到點停止，點為圖1中某一定點，設(shè)點運動的路程為的面積為，表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示．則點的位置可能是圖1中的（）A.點 B.點 C.點 D.點二、填空題（共16分，每小題2分）9.拋物線的頂點坐標是__．10.寫出一個對稱軸是y軸的二次函數(shù)的解析式_____．11.已知點P是線段的黃金分割點（），如果，那么的長為_____12.如圖，在中，，分別交AB，于點，．若，，則的面積與的面積的比等于________．13.已知，是邊上的一點，連接，請你添加一個條件，使，這個條件可以是__．（寫出一個即可）14.二次函數(shù)的最小值是______．15.如圖，在平面直角坐標系中，點，，若拋物線與線段有公共點，則的取值范圍是___________．16.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，對稱軸是直線，下面四個結(jié)論中：①；②當時，隨的增大而增大；③點的坐標為2,0；④若點在函數(shù)的圖象上，則；其中正確的是______（只填寫序號）．三、解答題（共68分，第17-20題，每小題6分，第21-22題，每小題4分，第23-24題，每小題5分，第25-26題，每小題6分，第27-28題，每小題7分）17.已知二次函數(shù)．（1）將化成的形式；（2）在所給的平面直角坐標系中，畫出它的圖象．18.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過1,0和2,1兩點．（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）當時，直接寫出的取值范圍．19.已知：如圖，在中，是上一點，是上一點，且．（1）求證：∽；（2）若，，求的度數(shù)．20.已知二次函數(shù)的圖象過點，且頂點坐標為．（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）當時，直接寫出的取值范圍．21.如圖，四邊形的對角線交于點，點是上一點，且．求證：．22.某中學課外活動小組準備圍成一個矩形的活動區(qū)，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為的柵欄圍成．已知墻長為（如圖），設(shè)矩形的邊，面積為．（1）關(guān)于的函數(shù)表達式是______，自變量的取值范圍是______；（2）當______m時，活動區(qū)的面積有最大值______．23.如圖，四邊形是平行四邊形，于點于點．（1）求證：（2）當時，求的長．24.小明到操場測量旗桿的高度，他手拿一只鉛筆，邊移動邊觀察（鉛筆始終與地面垂直）．當小明移動到點處時，眼睛與鉛筆頂端、旗桿的頂端三點共線，此時測得，小明的眼睛到鉛筆的距離為，鉛筆的長為，求旗桿的高度．25.乒乓球被譽為中國國球．年巴黎奧運會上，中國隊展現(xiàn)了強大的競技實力，包攬了乒乓球項目的五枚金牌，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術(shù)分析是分不開的．已知乒乓球臺的長度為，一位運動員從球臺邊緣正上方擊球高度為處，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．從擊打乒乓球到第一次落到球臺的過程中，乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：），測得如下數(shù)據(jù)：水平距離豎直高度（1）在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運行路線形狀的大致圖象；（2）當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是______，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是______；（3）乒乓球第一次落到球桌后彈起，它的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球臺上，并說明理由．26.平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）當時，求拋物線的對稱軸；（2）已知和為拋物線上的兩點，滿足，求的取值范圍．27.閱讀思考，解決問題：小華遇到這樣一個問題：如圖1，在中，點在邊上，，，求的長．小華發(fā)現(xiàn)，過點作，交的延長線于點，通過構(gòu)造，經(jīng)過推理和計算，能夠使問題得到解決（如圖2）．（1）①直接寫出的度數(shù)；②求線段的長；（2）參考小華思考問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形中，，對角線與交于點，求的長．28.在平面直角坐標系中，對于點和，給出如下定義：若，則稱點為點的“反稱變點”．例如：點的“反稱變點”為點，點的“反稱變點”為點．（1）點的“反稱變點”坐標為______；（2）若點在函數(shù)的圖象上，其“反稱變點”的縱坐標是，求“反稱變點”的橫坐標；（3）若點在函數(shù)的圖象上，其“反稱變點”的縱坐標的取值范圍是，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共16分，每小題2分），下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.【答案】B【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)每個選項的比例整理變形，看看是否與相同，若相同則正確，反之不正確，據(jù)此即可作答．【詳解】解：A、∵，∴，與不相同，故該選項不符合題意；B、∵，∴，與相同，故該選項符合題意；C、∵，∴，與不相同，故該選項不符合題意；D、∵，∴，與不相同，故該選項不符合題意；故選：B2.【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x，y是變量，是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項作答．【詳解】解：解:二次函數(shù)的二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是3．故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏掉符號．3.【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由解析式可得二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線x=2，圖象上的點離對稱軸的水平距離越近函數(shù)值越小，據(jù)此即可判斷求解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線x=2，圖象上的點離對稱軸的水平距離越近函數(shù)值越小，∵，∴，故選：．4.【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，據(jù)此進行作答即可．【詳解】解：依題意，把拋物線向左平移1個單位，∴，∵再向下平移5個單位，∴，故選：B5.【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明，得，把代入，進行計算，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．6.【答案】D【分析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，在圖中觀察并找出相似三角形是解題的關(guān)鍵．利用直角三角形的兩個銳角互余可證得，，于是可得，進而可證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，于是得解．【詳解】解：，，，，，，，，，故選：．7.【答案】B【分析】先根據(jù)題意得到，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列出比例式求得答案即可．【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8.【答案】D【分析】從圖2中可看出當時，此時的面積為0，說明點一定在上，選項中有點和在上，此時觀察圖2，發(fā)現(xiàn)時，接近3，所以點的位置是圖1中的點．本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是找出當時，此時的面積為0，說明點一定在上這一信息．詳解】解：，，四邊形是矩形，當時，點到達點，此時的面積為0，說明點一定在上，∵觀察圖2，發(fā)現(xiàn)時，接近3，從選項中可得只有點最符合實際情況，∴點的位置可能是圖1中的點．故選：D．二、填空題（共16分，每小題2分）9.【答案】（1，4）【分析】根據(jù)拋物線解析式已經(jīng)是頂點式即可得到答案．【詳解】解：為拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點可知，拋物線的頂點坐標為（1，4）．故答案為：（1，4）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點坐標為（h，k）是解題的關(guān)鍵．10.【答案】，答案不唯一．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出一個符合的即可．【詳解】解：拋物線的解析式為：故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道開放型的題目，答案不唯一．．11.【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割，由點P是線段的黃金分割點（），，可得，再計算可得答案．【詳解】∵點P是線段的黃金分割點，且，∴，即，解得．故答案為：．12.【答案】【分析】根據(jù)DE∥BC，即可證得△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可求解．【詳解】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+DB=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=()2=()2=1:9.故答案為1:9.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質(zhì).13.【答案】，或或（寫出一個即可）【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法解決問題即可．【詳解】解：，當，或或時，．故答案為：，或或．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．14.【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及將配成拋物線頂點式的方法，能正確配方是解決本題的關(guān)鍵．整理成頂點式即可求解．【詳解】解：將拋物線解析式配方成頂點式得：，，當時，取最小值為：，故答案：．15.【答案】##【分析】分別把A、B點的坐標代入得a的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到a的取值范圍．【詳解】解：把代入得；把代入得，∴a的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．16.【答案】①④【分析】觀察到拋物線開口向下，則，因為拋物線對稱軸是直線，所以當時，隨的增大而減小，根據(jù)對稱性得，所以，因為越靠近對稱軸的所對應(yīng)的函數(shù)值越大，所以．本題考查二次函數(shù)圖與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答．【詳解】解：拋物線開口向下，，故①正確；拋物線對稱軸是直線，開口向下，當時，隨的增大而減小，故②錯誤；，對稱軸是直線，∴，，故③錯誤；拋物線開口向下，∴越靠近對稱軸所對應(yīng)的函數(shù)值越大，∵點在函數(shù)的圖象上，，，故④正確．故答案為：①④．三、解答題（共68分，第17-20題，每小題6分，第21-22題，每小題4分，第23-24題，每小題5分，第25-26題，每小題6分，第27-28題，每小題7分）17.【答案】（1）（2）見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸的交點，配方法，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）用配方法把二次函數(shù)化為頂點式即可；（）根據(jù)畫函數(shù)圖象的步驟，畫出圖象即可；【小問1詳解】解：；【小問2詳解】列表：描點、連線，如圖，18.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、與一元二次不等式的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．（1）將1,0和2,1代入，求出b，c的值，即得函數(shù)表達式；（2）求出二次函數(shù)與x軸的另一外交點，根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下，即得時的x取值范圍．【小問1詳解】解：∵的圖象經(jīng)過1,0和2,1兩點，∴，解得：，該二次函數(shù)的表達式為：；【小問2詳解】解：當時，，∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為，∵，∴二次函數(shù)的圖象開口向下，∴當時，．19.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）直接根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，再運用三角形內(nèi)角和定理求得∠B即可．【小問1詳解】∵，，∴∽．【小問2詳解】解：∵∽，∴．在中，，∵．∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20.【答案】（1）（2）【分析】本題考查二次函數(shù)的頂點式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用圖象解不等式．掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）由頂點坐標可設(shè)二次函數(shù)頂點式，再將代入求解即可；（2）畫出該二次函數(shù)大致圖象即可求解．【小問1詳解】解：∵該二次函數(shù)圖象頂點坐標為，∴可設(shè)此二次函數(shù)的表達式為．∵此二次函數(shù)的圖象過點，∴，解得：，∴求此二次函數(shù)的表達式為；【小問2詳解】解：令，則，解得：，，∴此二次函數(shù)與x軸的兩個交點分別為，．令，則，∴此二次函數(shù)與y軸的交點為，∴該二次函數(shù)圖象如圖，∴當時，的取值范圍為．21.【答案】見解析【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后根據(jù)角的和差關(guān)系得到，即可證明出．【詳解】證明：∵，∴∵∴∴∴．22.【答案】（1），（2）10，200【分析】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)建二次函數(shù)模型，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．（1）由總長度垂直于墻的兩邊的長度平行于墻的這邊的長度，根據(jù)墻的長度就可以求出的取值范圍；（2）由長方形的面積公式建立二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出其解即可．【小問1詳解】解：四邊形是矩形，米，米，墻長為22米，，，，即，故答案為：，；【小問2詳解】解：由（1）得，，當時，有最大值200，即當為10米時，活動區(qū)的面積最大，最大面積是200平方米，故答案為：10，200．23.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定：（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得到，，再由垂直的定義得到，據(jù)此可證明得到，即；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此代值計算即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，即，∴．24.【答案】旗桿的高度為．【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)相似三角形以及牢記它的性質(zhì)，本題根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于對應(yīng)邊的比即可求解．【詳解】解：∵小明的眼睛到鉛筆的距離為，∴的邊上的高等于，∵鉛筆始終與地面垂直，∴與AB平行，∴，∴，即，∴，經(jīng)檢驗，符合題意；答：旗桿的高度為．25.【答案】（1）圖見解析（2），（3）乒乓球再次落下時仍落在球臺上，理由見解析【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)描點法描出各點并畫出函數(shù)圖象即可；（2）依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可求得對稱軸以及頂點坐標，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得當時，于是得解；（3）先用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后求拋物線與軸的交點坐標，即可求出乒乓球再次落下時的落點坐標，然后將其與乒乓球臺的長度相比較，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：描出各點，并畫出圖象如下：【小問2詳解】解：觀察表格數(shù)據(jù)，可知當和時，函數(shù)值相等，對稱軸為直線，頂點坐標為，拋物線開口向下，當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是，當時，，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是，故答案為：，；【小問3詳解】解：乒乓球再次落下時仍落在球臺上，理由如下：將代入函數(shù)關(guān)系式，得：，解得：或（因?qū)ΨQ軸，故舍去），乒乓球第一次落到球桌后彈起，它的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系，令，則有：，解得：或（此為乒乓球第一次落到球桌時的落點坐標，故舍去），，乒乓球再次落下時仍落在球臺上．【點睛】本題主要考查了實際問題與二次函數(shù)，用描點法畫函數(shù)圖象，從表格中獲取信息，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直接開平方法解一元二次方程，求拋物線與軸的交點坐標，有理數(shù)大小比較等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式并運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．26.【答案】（1）直線x=1（2）或【分析】（）把代入函數(shù)解析式即可求解；（）由二次函數(shù)解析式得拋物線的對稱軸為直線，可得點在對稱軸的右側(cè)，又由二次函數(shù)的開口方向知二次函數(shù)圖象上的點離對稱軸水平距離越遠函數(shù)值越大，根據(jù)分點在對稱軸的右側(cè)和點在對稱軸的左側(cè)兩種情況解答即可求解；本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：當時，，∴對稱軸為直