（新教材適用）高中數(shù)學第8章立體幾何初步86空間直線平面的垂直862直線與平面垂直第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)定理課后習題

第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)定理課后訓練鞏固提升1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,若直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1,則()A.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B與l異面但不垂直D.B1B與l相交但不垂直答案:B2.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()A.α∥β,且l∥αB.α⊥β,且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l解析:若α∥β,則由m⊥α知m⊥β,而n⊥β,所以m∥n,與m,n為異面直線矛盾,所以平面α與平面β相交.由m⊥平面α,m⊥l,且l?α,可知l∥α,同理,l∥β,所以l與兩平面的交線平行.故選D.答案:D3.已知直線l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A?α,B?α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足為C,BD⊥平面α,垂足為D,AC=1,則BD=()A.2 B.1 C.32解析:因為AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.所以AC,BD共面.由題意知點O,C,D在平面ABDC與平面α的交線上.連接OD,所以OA因為OA=AB,所以OA因為AC=1,所以BD=2.答案:A4.(多選題)在三棱錐PABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分別是棱PB,PC上的動點,則下列說法正確的是()A.當AE⊥PB時,△AEF一定為直角三角形B.當AF⊥PC時,△AEF一定為直角三角形C.當EF∥平面ABC時,△AEF一定為直角三角形D.當PC⊥平面AEF時,△AEF一定為直角三角形解析:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,且PA,AB?平面PAB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥AE.在A選項中,∵AE⊥PB,PB,BC?平面PBC,PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF,∴△AEF一定為直角三角形,故A正確.在C選項中,∵EF∥平面ABC,EF?平面PBC,平面PBC∩平面ABC=BC,∴EF∥BC,∴EF⊥AE,∴△AEF為直角三角形,故C正確.在D選項中,∵PC⊥平面AEF,∴PC⊥AE.∵AE⊥BC,PC,BC?平面PBC,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF,∴△AEF為直角三角形,故D正確.B選項中,結(jié)論無法判斷,故B不正確.答案:ACD5.如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,D是側(cè)面PBC上的一點,過點D作平面ABC的垂線DE,其中D?PC,則DE與平面PAC的位置關系是.

解析:因為DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE?平面PAC,PA?平面PAC,所以DE∥平面PAC.答案:平行6.一條與平面α相交的線段,其長度為10cm,兩端點到平面的距離分別是2cm,3cm,則這條線段與平面α所成的角是.

解析:如圖,AB是一條與平面α相交的線段,過點A作AC⊥α,垂足為C;過點B作BD⊥α,垂足為D,則AC∥BD,AC,BD確定的平面與平面α交于CD,且CD與AB相交于點O,AB=10,AC=3,BD=2,則AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.即線段AB與平面α所成的角為30°.答案:30°7.如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a.(1)求證:BD1⊥平面B1AC;(2)求點B到平面B1AC的距離.(1)證明:連接BC1,AD1,B1D1.∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,且AB∩BC1=B,∴B1C⊥平面ABC1D1.又BD1?平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.∵B1B⊥AC,BD⊥AC,且B1B∩BD=B,∴AC⊥平面BB1D1D.又BD1?平面BB1D1D,∴AC⊥BD1.∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面B1AC.(2)解:∵O∈BD,∴連接OB1交BD1于點E.又O∈AC,∴OB1?平面B1AC.∴BE⊥平面B1AC,BE即為所求距離.∵△BEO∽△BDD1,∴BEOB=BDBD1,∴BE=8.如圖,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分別為BC,CD上的點,且EF⊥AC.求證:CF證明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,∴9.如圖,△ABC是等邊三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中點,求證:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.證明:(1)如圖,取AB的中點G,連接FG,CG.因為F為BE的中點,所以FG∥AE,FG=12AE因為CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.因為CD=12AE所以FG∥CD,FG=CD.所以四邊形CDFG是平行四邊形,所以DF∥CG.因為CG?平面ABC,DF?平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F為BE的中點,所以AF⊥BE.因為△ABC是等邊三角形,所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.由(1)得FG⊥平面A