第五章-有限元分析平面等參單元

平面矩形單元小結(jié)優(yōu)點(diǎn)：矩形單元的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)橐淮尉€性函數(shù)，精度要比三角形三節(jié)點(diǎn)高；不足：實(shí)際問題很難用4節(jié)點(diǎn)矩形單元劃分，特別是邊界適合性不強(qiáng)；問題：能否構(gòu)造一種任意四邊形單元，則在提高精度得前提下，邊界適應(yīng)性還強(qiáng)？

等參單元

等參單元（iso-parametricelement）的概念第5章平面等參單元問題：能否利用規(guī)則的平面矩形單元的結(jié)果來研究不規(guī)則的任意四邊形單元的計算公式？思路：任意直四邊形可看成是正四邊形(常稱為母元)的變形，由于正四邊形（母元）的位移函數(shù)、單剛矩陣均已得到，則可利用正四邊形單元的結(jié)果研究任意四邊形。重點(diǎn)：1）構(gòu)造任意四邊形與母元間的坐標(biāo)（形狀）變換關(guān)系2）利用坐標(biāo)變換關(guān)系和母元的計算公式，推導(dǎo)任意四邊形的單剛矩陣（包括母元位移函數(shù)、應(yīng)變矩陣、剛度矩陣轉(zhuǎn)換過程中的導(dǎo)數(shù)、積分計算）（等參數(shù)單元就是對單元幾何形狀和單元內(nèi)的參變量函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)參數(shù)和相同的形函數(shù)進(jìn)行變換而設(shè)計出的一種新型單元。）等參單元分析范例－平面4節(jié)點(diǎn)等參單元1、等參變換（坐標(biāo)映射）目的：建立矩形母單元與任意四邊形單元的坐標(biāo)映射關(guān)系（i=1,2,3,4），已知：求：解法：插值代入4個角點(diǎn)坐標(biāo)，確定系數(shù)。求出待定系數(shù)，得其中：i=1,2,3,4同矩形單元位移形函數(shù)將四角點(diǎn)的局部坐標(biāo)代入2、等參單元位移函數(shù)從坐標(biāo)變換可知,等參單元位移與母元間位移僅相差坐標(biāo)變換式,而母元單元內(nèi)任意點(diǎn)P的位移函數(shù)Ni同矩形單元位移形函數(shù)，即與坐標(biāo)變換形函數(shù)相同，故得名等參單元。3、等參單元應(yīng)變矩陣由幾何方程，得新問題：形函數(shù)是局部坐標(biāo)的函數(shù)，而局部坐標(biāo)又是整體坐標(biāo)的函數(shù)，故：3、等參單元應(yīng)變矩陣稱為雅克比矩陣，且3、等參單元應(yīng)變矩陣4、等參單元應(yīng)力矩陣5、等參單元剛度矩陣求微小平行四邊形面積注：等參單元的剛度積分一般很難有解析式，必須進(jìn)行數(shù)值積分，目前普遍采用高斯數(shù)值積分法（略）。dξ，dη在（x，y）系中的分量為等參單元小結(jié)1、等參單元存在的充要條件是|J|≠0為了保證能進(jìn)行等參變換(即總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一一對應(yīng))，通常要求總體坐標(biāo)系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。2、等參單元的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。3、前述推導(dǎo)要求：保持坐標(biāo)變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同，