2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題：全等三角形做輔助線六種方法大全（原卷版）

專題02全等三角形做輔助線六種方法大全

幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三角形各種模型,

或證明線段數(shù)量關(guān)系等，接來下我們針對其做出詳細(xì)分析與梳理。

類型一、倍長中線模型

中線倍長法：將中點(diǎn)處的線段延長一倍。

目的：①構(gòu)造出一組全等三角形；②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中去。

例1.如圖，4D為A48c中8c邊上的中線(48>NC).

(1)求證：AB-AC<2AD<AB+AC-

(2)若4B=8cm,AC=5cm,求40的取值范圍.

【變式訓(xùn)練1】(1)如圖1,已知“8C中，是中線，求證：AB+AC>2AD；

⑵如圖2,在中，D,E是BC的三等分點(diǎn)，求證：AB+AC>AD+AE-

(3)如圖3,在中，D,E在邊BC上，且BD=CE.求證：AB+AOAD+AE.

【變式訓(xùn)練2】（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1,在aABC中，AB=

8,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖

2),

①延長AD到M,使得OM=AD；

②連接BM,通過三角形全等把AB、AC,2AD轉(zhuǎn)化在△AB/W中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得A/W的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到A。的取值范圍

是;

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

（2）請你寫出圖2中AC與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,AD是△ABC的中線，AB=AE,AC^AF,N&4E=NCAF=90。，請直接利用（2）的

結(jié)論，試判斷線段A。與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，4D是8C邊上的中線，過C作的平行線交4D的延長線于E點(diǎn).若

48=6,AC=2,試求/E的取值范圍.

—

類型二、截長補(bǔ)短模型

截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）

例1.如圖，在四邊形ABCO中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且

2

BAD.求證：EF=BE+FD.

【變式訓(xùn)練1］（1）問題背景：如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=900.E,

F分別是BC,CO上的點(diǎn)，且/EAF=60。，請?zhí)骄繄D中線段BE,EF,F。之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

小明探究此問題的方法是：延長F。到點(diǎn)G,使。G=BE,連結(jié)AG.先證明0△40G,得AE=AG；再

由條件可得/EAF=/GAF,證明AAEFgZkAGF,進(jìn)而可得線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）拓展應(yīng)用：如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,C。上的點(diǎn)，且N

EAF=L/BAD.問（1）中的線段BE,EF,F。之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成

2

立，請說明理由.

【變式訓(xùn)練2】已知四邊形ABC。中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,乙4BC=120。，Z.MBN=60°,乙MBN繞B點(diǎn)

(1)當(dāng)N/WBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=C尸時(shí)(如圖1),求證：^ABE=ACBF.

(2)當(dāng)ZM8N繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AEHCF時(shí)，如圖2,猜想線段AE,CF,EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

(3)當(dāng)NMB/V繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE,CF,EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜

想.

【變式訓(xùn)練3】在AABC和AADE中，NBAC=NDAE=90。，且AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,如果點(diǎn)D在BC上，且BD=5,CD=3,求DE的長.

(2)如圖2,AD與BC相交于點(diǎn)N,點(diǎn)D在BC下方，連接BD,且AD垂直BD,連接CE并延長與BA的延

長線交于點(diǎn)F,點(diǎn)M是CA延長線上一點(diǎn)，且CM=AF,求證：CF=AN+MN.

圖2

類型三、做平行線證明全等

例1.如圖，在AABC中，ZABC=ZACB,D,E分別是AC和AC的延長線上的點(diǎn)，連接BD,BE,若AB=CE,

NDBC=NEBC。求證：D是AC的中點(diǎn)。

【變式訓(xùn)練1】如圖，AABC是等腰三角形，D,E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE,連接DE

交底BC于G.求證：GD=GE.

A

D

G

E

【變式訓(xùn)練2】如圖1,AABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且CE=BD,

連接DE交BC于點(diǎn)F.

⑴求證：EF=DF；⑵如圖2,過點(diǎn)D作DGXBC,垂足為G,求證：BC=2FG.

類型四、旋轉(zhuǎn)模型

例1.四邊形是由等邊A4BC和頂角為120。的等腰排成，將一個60。角頂點(diǎn)放在。處，將60。

角繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該60。交兩邊分別交直線2C、NC于M、N,交直線A8于E、尸兩點(diǎn).

(1)當(dāng)E、尸都在線段48上時(shí)(如圖1),請證明：BM+AN=MN；

(2)當(dāng)點(diǎn)￡在邊民4的延長線上時(shí)(如圖2),請你寫出線段MB,/N和九W之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的

結(jié)論；

(3)在(1)的條件下，若/C=7,NE=2.1,請直接寫出MB的長為.

【變式訓(xùn)練1】如圖，將必A48c的斜邊2C繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AD,過點(diǎn)。作48的垂線，交48

延長線于點(diǎn)求證：AB=DE.

【變式訓(xùn)練2】如圖①，在A/BC中，乙4cB=90°,4C=BC,以C為頂點(diǎn)作/DCE=45。，且CD、CE分

別與N8相交于。、E兩點(diǎn)，將△/(?￡＞繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

S(D

(1)DE與AD、班的數(shù)量關(guān)系是；若AD=4,EB=6,則。E的長等于.

(2)若將/DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使CD與相交于點(diǎn)D,邊CE與的延長線相交于點(diǎn)E,而其他條件

不變，如圖②所示，猜想。E與即之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想.

類型五、手拉手模型

例1.問題發(fā)現(xiàn)CL）如圖1,已知C為線段48上一點(diǎn)，分別以線段NC,8C為直角邊作等腰直角三角形,

NACD=90°,CA=CD,CB=CE,連接4E,BD,線段AE,BD之間的數(shù)量關(guān)系為；位置

關(guān)系為_______.

拓展探究（2）如圖2,把Rt^ZCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段ZE,BD交于點(diǎn)、F,則NE與之間的

關(guān)系是否仍然成立？請說明理由.

【變式訓(xùn)練1】如圖，B,C,￡三點(diǎn)在一條直線上，A48c和ADCE均為等邊三角形，BD與AC交于

點(diǎn)、M,AE與CD交于■點(diǎn)、N.

（1）求證：AE=BD-,（2）若把AZ）CE繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)一個角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理

由.

【變式訓(xùn)練2】己知：如圖1,在AA8C和AXDE中，NC=NE,ZCAE=ZDAB,BC=DE.(1)

證明AASC&ZUDE.（2）如圖2,連接CE和RD,DE,40與8C分別交于點(diǎn)〃■和N,

ZDMB=56°,求N/CE的度數(shù).（3）在（2）的條件下，若CN=EM,請直接寫出NCA4的度數(shù).

類型五、一線三角模型

例1.在中，ZACB=9Q°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且4D_LMV于。點(diǎn)，BE工MN于E

點(diǎn).

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí)，試問DE、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫

出這個等量關(guān)系.

【變式訓(xùn)練1】如圖1,已知“8C中，ABAC=90°,AB=AC,Z）E是過A的一條直線，且3,C在。，E

的同側(cè)，BD14E于D,CELAE于E（BD<CE）.

（1）證明："BD裝CAE；

（2）試說明：BD=DE-CE,

（3）若直線繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置（此時(shí)8,C在。，E的異側(cè)）時(shí)，其余條件不變，問2D與。E,

CE的關(guān)系如何？請證明；

（4）若直線?！昀@A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置（此時(shí)8,C在。，E的同側(cè)）時(shí)（8。＞CE）其余條件不變，問8。