2023年高考一輪復習函數(shù)知識點及題型歸納

一輪復習函數(shù)知識點及題型歸納

一、函數(shù)的及其表達

題型一：函數(shù)的概念

映射的概念：設A,6是兩個集合，假如按照某種對應法則/,對于集合A中的每一種元素在集合8中均

有唯一確定的元素和它對應，那么這樣的對應叫做從集合A到集合8的映射，記作了：4-5.

函數(shù)的概念:假如A、8都是非空時數(shù)集，那么A到5的映射了：4-8就叫做A到B的函數(shù)，記作

y=/(x)，其中xeA,ye5,原象日勺集合A叫做定義域，象的集合。叫做函數(shù)y=/。)日勺值域.

映射的基本條件：

1.可以多種x對應一種y,但不可一種x對應多種y。

2.每個x必然有y與之對應，但反過來，有的y沒有x與之對應。

函數(shù)是一種特殊的映射,必須是數(shù)集和數(shù)集之間的對應。

例1:已知集合P={XOVxV4}，Q={y|OVyV2}，下列不表達從P到Q的映射是()

A.f:x-*y=-xB.f:x-*y=lxC.f:x-*y=-xD.f:x-*y=7x

233

例2:設乂={x|—2WxW2},N={y|0WyW2},函數(shù)f(x)的定義域為M,值域為N,

則f(x)的圖象可以是()

例3：下列各組函數(shù)中，函數(shù)“X)與g(X)表達同一函數(shù)的是

Y

(1)f(x)=x,g(x)=一；(2)/(%)=3x—l,g?)二3/T；

(3)/(x)=x°,g(x)=1；(4)/(X)=E~,g(x)=(6)2;

題型二:函數(shù)的體現(xiàn)式

1.解析式法

2X3,X<0,//\\

例4:已知函數(shù)=I"則//工

-tanx,O<%<—,I14力

yfx,0<X<1

真題：【2023年山東卷第9題】設/（X）=，若〃a)=〃a+l),則/

2(X-1),X>1

(A)2(B)4(C)6(D)8

[2023?江西卷]已知函數(shù)八x)=錯誤!(aGR).若/=則a=()

A.錯誤！B.錯誤！C.lD.2

2工-1_2v-<j

[2023高考新課標1文10]已知函數(shù)f(x)=\'一，且/(a)=-3,則

-log2(x+l),x>l

/(6-a)=()

7531

(A)---(B)---(C)---(D)---

4444

2.圖象法

例5：汽車通過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛旅程s看作時

間/時函數(shù)，其圖像也許是

A.

例6:向高為H的水瓶中注水,注滿為止.假如注水量V與水深h的函數(shù)關系的圖象如圖2—4所示,那么水瓶

的形狀是（)

例7：如圖,半徑為1時半圓0與等邊三角形ABC夾在兩平行線小〃之間，

/〃心/與半圓相交于F,G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點.設弧FG的長為x（O〈x〈m）,y=EB+

BC+CD,若/從4平行移動到3則函數(shù)y=f（x）的圖像大體是（）

真題：【2023高考北京】汽車的"燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三

輛汽車在不一樣速度下的燃油效率狀況.下列論述中對的的是

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相似速度行駛相似旅程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D.某都市機動車最高限速80千米/小時.相似條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

【2023年新課標2文科】如圖，長方形的邊AB=2,BC=1,0是的中點，點P沿著邊BC,CD與DA運動，記

ZBOP=x，將動點。到48兩點距離之和表達為x的函數(shù)/(%)，則的圖像大體為()

yyyy

A.B.C.D.

3.表格法

例8:已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出

X123X123

f(X)131g(x)321

則"g⑴]的值為e―；滿足f[g(x)]>g"(x)]的x時值是.

題型三：求函數(shù)的解析式.

1.換元法

例9：已知/(6+1)=x+1,則函數(shù)/(x)=

變式1：已知/(2x+1)=爐—2x,則/(3)=

變式2：已知f(x6)=log2X,那么f(8)等于

2.待定系數(shù)法

例10:已知二次函數(shù)/(x)滿足條件/(0)=1及/(x+1)-/(x)=2x。則/(x)的解析式

3.構造方程法

例11:已知f(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)+g(X)=，則f(x)=________

X-1

變式：已知/(%)+2/8]=爐+1,貝i]f(x)=

4.湊配法

例12:若/'(x—工)=兀2+±,則函數(shù)“X—1)=.

XX"

5.對稱問題求解析式

例13：已知奇函數(shù)/(%)=犬-2x,(xN0),則當x<0時，f(x)=

真題：【2023安徽卷文14】定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=2/(x).若當時。

f(x)=x(l-x),則當一1〈尤<0時，/(x)=.

變式：已知f(x)是奇函數(shù)，且/(2—x)=/(x),當xe(2,3)時，/(X)=bg2(x—1),則當xe(l,2)時，

f(x)=___________________________

【2023年新課標II第14題】已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當xe(一如。)時,/(x)=2x3+x2,

則/(2)=______________________

二.函數(shù)的定義域

題型一：求函數(shù)定義域問題

1,求有函數(shù)解析式的定義域問題

例14:求函數(shù)y=」-+-(：—2)〔時定義域.

啕了716-%2

真題：【2023高考湖北文6】函數(shù)”尤)=盧而+1g『一5》+6的定義域為()

x-3

A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)IJ(3,4]

D.(-1,3)(3,6]

(2023年江蘇省高考)函數(shù)y=j3-2x-%2的定義域是▲.

2.求抽象函數(shù)的定義域問題

例15:若函數(shù)y=/(x)的定義域是[1,4],則y=時定義域是.

例16：若函數(shù)y=/(3x—1)日勺定義域是[1,2],則y=/(2x—1)的定義域是.

真題：已知/(x)的定義域為[-1,2),則〃|x|)的定義域為()

A.[-1,2)?B.[-1,1]￡.(—2,2)oD.[-2,2)

題型二：已知函數(shù)定義域的求解問題

例17:假如函數(shù)/(x)=+4航+3的定義域為R,則實數(shù)k的取值范圍是.

變式：已知函數(shù)=Qmx。+(加-3)x+l的I值域是[0,+oo),則實數(shù)用的I取值范圍是

三.函數(shù)的值域

1.二次函數(shù)類型(圖象法)：

例18：函數(shù)y=Xz-2x-3,xe(-1,4)%I值域為

換元后可化為二次函數(shù)型：

例19：求函數(shù)y=x+J1-2xaI值域為

真題：【2023年浙江卷第5題】若函數(shù)/(%)=X?+2X+"

在區(qū)間［0,1］上的最大值是M,最小

值是m,則M-m

A.與a有關，且與b有關B.與a有關，但與b無關

C.與a無關，且與b無關D.與a無關，但與b有關

2.單調(diào)性法

X—1

例20：求函數(shù)/(%)=----xe［1,4］的最大值和最小值。

x-5

3.復合函數(shù)法

例21：求函數(shù)/(%)=4'-2x+l-3xe［-2,4曲最大值和最小值

真題：求函數(shù)/(x)=logi(%2+2x+3)的范圍。

2

4.函數(shù)有界性法

2-r2

例22:函數(shù)/(%)=-----改I值域為

1+x

5.鑒別式法

丫2_3Y-I-?

例23:函數(shù)/(x)=.時值域為__________

X+%+1

6.不等式法求最值(不等式部分講解)

例24：函數(shù)/(%)=-時--最--大--值--是--___________

l-x(l-x)

7.導數(shù)法求函數(shù)的極值及最值(詳見導數(shù)專題)

真題：

［2023上海文,7】設g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù)，若/(x)=x+g(x)在［0,1］上時值域為

［-2,5］,則/(x)在區(qū)間［0,3］上的值域為.

【2023高三一模虹口區(qū)13]已知函數(shù)/(x)=2x+a,g(x)=x2—6x+l,對于任意的再e[—1,1]都能找到

x2e[-1,1],使得g(%2)=/(再)，則實數(shù)。的取值范圍是.

(2023年全國II卷高考)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)丫=105的定義域和值域相似的是

()

(A)y=x⑻尸Igx(C)尸2"(D)y=—j=

四.函數(shù)的奇偶性

定義：若/(—x)=—/(x),或者/(—x)+/(x)=0,則稱/(X)為奇函數(shù)。

若/(—X)=/(X),則稱/(X)為偶函數(shù)。

/(X)有奇偶性的前提條件:定義域必須有關原點對稱。

結論：

常見的偶函數(shù)：/(x)=/“，y(x)=W，/(x)=cosx,/(x)=a'+「等等。

常見的奇函數(shù)：/(x)=/"+1,f(x)^kx,y(x)=—,/(x)=sinX,/(x)=ax-a~x,

X

2

/W=-r-7-p=/(x)=i°g/V]，/(%)=loga(Vx+1±

o+122a-1'

結論：

奇+奇=奇偶+偶=偶奇+偶=非奇非偶

奇*奇=偶偶*偶=偶奇*偶=奇偶+常數(shù)=偶奇+常數(shù)=非

奇非偶

由于/(-x)=-/(x)為奇函數(shù)，/(-x)=/(x)為偶函數(shù)，因此可以把奇函數(shù)看作是“負號”，把偶函數(shù)看

作是“正號”，則有助于記憶。

題型一:判斷函數(shù)的奇偶性:

1.圖像法.

例25：畫出函數(shù)f(x)=5的圖象并判斷函數(shù)/⑴的奇偶性

2.定義法：

例26：判斷函數(shù)/(x)=71-x2+7%2-1的奇偶性

3.結論法

例27：判斷函數(shù)/?=x2°''~~+x的奇偶性

題型二：已知函數(shù)奇偎性的求解問題

例28：已知函數(shù)y=/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時/(x)=——2x—3,求/(x)的解析式

例29：已知/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x20時，/(%)=必-4x,那么，不等式/(x+2)<5的解集

是________

-2X+b

例30：已知定義域為R的函數(shù)于(X)=——是奇函數(shù).則a=_______)___________

2X+a

真題：【2023?遼寧文，6]6.若函數(shù)無)=7-----1——;為奇函數(shù)，則a=_________________.

(2%+1)(%—ci]

[2023,新課標】若函數(shù)/(x)=xIn(x+Ja+爐)為偶函數(shù)，則a=

2X+1

[2023高考山東文8】若函數(shù)/(x)=-----是奇函數(shù)，則使/(X)〉3成立的X的取值范圍為___________

2-a

(2023年天津高考)已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-oo,0)上單調(diào)遞增，若實數(shù)。滿足

/(2M)〉/(—右)，則a日勺取值范圍是()

(A)(―oo,g)。⑻

I30133

(-°o,—)U(-9+°°)(C)(―,—)(D)(—,+oo)

【2023年山東卷第14題】已知/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+4)=/(x-2).若當Xe[-3,0]時,/(X)=6一。

則膽19)=

[2023年天津卷第6題】已知奇函數(shù)/(X)在R上是增函數(shù).若

08

a=-/(log2g))=/(log24.1),c=/(2-)，則a,b,c的大小關系為

C/\)a<b<c(B)b<a<c(C)c<b<a(D)c<a<b

【2023年北京卷第5題】已知函數(shù)門>)=3「(夕，貝U/(x)

(A)是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)(B)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

(C)是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)(D)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

題型三：/(%)=g(x)+c,其中g(x)為奇函數(shù),c為常數(shù),則:/(-a)+f(a)=2c

例31:已知O(x),o(x)都是奇函數(shù)，且/⑴=9(x)+o(x)+2在xe[l,3]的最大值是8,則/(x)在

XG[-3,-1]時最______值是

真題：【2023高考新課標文16]設函數(shù)/(x)=(X+"+smx的最大值為最小值為m,則M+m=

X+1

【2023廣東文12】設函數(shù)/(x)=/cosx+1.若/(a)=11,則/(-a)=.

[2023重慶高考文科9]已知函數(shù)/(x)=a?+bsinx+4(a/eR),/(IgQog210))=5,則

/(lg(lg2))=

A.-5B.-1C.3D.4

【2023高考文7】已知函數(shù)/(x)=ln(Jl+9/—3x)+1,則/(lg2)+/(lgg)=()

A-1B.0C.1D.2

題型四：運用奇偶性和周期性求函數(shù)值的問題

例32:設/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(%)=2/一%,則/⑴=().

例33：設"％)是周期為2日勺奇函數(shù)，當時，/(x)=2x(l-x),則/(—$=

真題：(2023年四川高考)若函數(shù)f(x)是定義R上的周期為2時奇函數(shù)，當0〈x〈l時，f(x)=4*,則

f(5)+f(2)=。

-2

(2023年山東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x<0時,f(x)=l—1；當-IWxW1時,f(-x)二一

f(X);當X>L時，f(廣J_)=f(X——).則f⑹=

222

(A)-2(B)-l

(C)0(D)2

x+tz,-l<x<0,

(2023年江蘇省高考)設/"(x)是定義在R上且周期為2時函數(shù)，在區(qū)間[T,1)上，/(x)=2

——x,0<%<1,

[5

其中acR.若A-,則小日勺值是，一

[2023年山東卷第14題】已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+4)=/(x-2).若當Xe[-3,0]時,/(x)=6-x,

則/(919)二.

五.函數(shù)的單調(diào)性

定義:假如對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量時值占，々，當xl<x2時均有f(xl)<f(x2).

那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。假如對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量時值xl、x2,當

xlVx2時均有f(xl)>f(x2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

定義變形:若對任意工"乙，都有"6"%)<0,則/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)

%-x2

題型一：判斷函數(shù)的單調(diào)性

1.圖像法.

例34：畫出函數(shù)/(x)=x2-羽的圖像并判斷函數(shù)的單調(diào)性.

例35：畫出函數(shù)/(大)=布—2|日勺單調(diào)遞增區(qū)間為.

2.定義法:

證明措施環(huán)節(jié)：1.設值2.作差(作商)3.化簡4.定號5.結論

例36:判斷函數(shù)y=x+d在在(0,2]上的單調(diào)性

x

3.結論法

復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減

例37:寫出函數(shù)/(x)=log](--+4%—3)的單調(diào)遞增區(qū)間

2

4.導數(shù)法

例38：函數(shù)/(x)=Inx—工+3時單調(diào)區(qū)間

x

真題：

【2023?重慶理，5】下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=|ln(2—x)|在其上為增函數(shù)的是().

-413

B.-1,-c.[0,-)D.[l,2)

【2023浙江文】若函數(shù)/■(乃=/+3(。?尺)，則下列結論對的的是()

X

A.VawK,/(%)在(0,+oo)上是增函數(shù)B.A,/(%)在(0,+oo)上是減函數(shù)

C.3a^R,/(x)是偶函數(shù)D.Ba^R,/(x)是奇函數(shù)

[2023高考四川，文15】已知函數(shù)/(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中?！闞).對于不相等的實數(shù)乂例,設

m="%)—"%)4=g(%)-g(Z)，既有如下命題：

X]-x2X]-x2

于任意不相等的實數(shù)X1,X2,均有m＞0；②對于任意的a及任意不相等的實數(shù)X1,X2,均有。＞0；

③對于任意的。，存在不相等的實數(shù)xi,孫,使得m=n-④對于任意的°,存在不相等的實數(shù)x“2,使得功=—

n.其中真命題有(寫出所有真命題的序號).

題型二：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題

例39:設定義在[-2,2]上的偶函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若/(1-加＜/(巾)，求實數(shù)加質(zhì)取值范

圍

例40:已知函數(shù)了(無)是定義在A上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,收)單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足

/（log,a）+/（logta）<2/（1）,則a的取值范圍是（）

2

A.[1,2]=B.|0,-。C.-,2D.（0,2]

I2」[2」

真題：

【2023大同調(diào)研】已知定義域為R的函數(shù)/(x)在(8中。)上為減函數(shù),且函數(shù)y=/(x+8)為偶函數(shù)，則:

A./（6）>/（7）B./（6）>/（9）C./⑺>/（9）D./（7）>/（10）

[2023山西】設函數(shù)/(x)=%3,若0W6Vm時，f(jncos0)+/(1一7")>0恒成立,則實數(shù)maI取值范

圍為.

[2023新課標2文】設函數(shù)/(x)=ln(l+|x|)——二，則使得/(x)>/(2x-1)成立的了的取值范圍是

1+x

()

A-gl]B.'co。(1,+8)g+H

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性問題：

21

[2023惠州調(diào)研】已知函數(shù)/?(》)=廠+萬"—2,尤41,若y(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則實數(shù)。的取值

ax->1

范圍為.

（a-2）x,x>2

【2023山西四校聯(lián)考】已知函數(shù)_滿足對任意日勺實數(shù)

l,x<2

刀產(chǎn)土，都有"/)一""2)<。成立,則實數(shù)以的取值范圍為

x1-x2

六:函數(shù)的周期性

1.定義：周期函數(shù)：對于/(無)定義域內(nèi)的每一種X,都存在非零常數(shù)T,使得/'(x+T)=/(x)恒成立，則稱

函數(shù)/(%)具有周期性，T叫做f(x)的一種周期,貝！I仃(左eZ,左w0)也是/(x)的周期,所有周期中的最小正

數(shù)叫f(x)的最小正周期.

2.幾種特殊的抽象函數(shù):具有周期性的抽象函數(shù):

函數(shù)>=〃尤)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)x(其中。為常數(shù))，

(D/(x)=〃x+a)，則y=〃x)是認為T=。周期的周期函數(shù);

(2)f(x+a)=-f(x),則/(%)是認為T=2a周期的周期函數(shù);

⑶〃尤+。)=±-^-,則/(%)是認為T=2〃周期的周期函數(shù);

/(X)

(4)f(x+a)=f(x-b),則是認為T=|a+"周期的周期函數(shù);

以上(1)-(4)比較常見，其他幾種題目中出現(xiàn)頻率不如前四種高，并且常常以數(shù)形結合的方式求解。(可

以類比三角函數(shù)的圖像進行求解)

(5)函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/(a-x)(。>0),若/(尤)為奇函數(shù),則其周期為T=4”，若/(x)為偶函數(shù),

則其周期為T=2a.

(6)函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象有關直線x=a和x=b(a<勾都對稱，則函數(shù)/(%)是認為2優(yōu)-a)周期的周

期函數(shù)；

(7)函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象有關兩點A(a,0)、3(6,0)(a<b)都對稱，則函數(shù)是認為2(b-a)周期

的周期函數(shù)；

(8)函數(shù)'=/⑺(xeR)的圖象有關A(a,0)和直線x=b(a<b)都對稱,則函數(shù)了⑺是認為4僅-a)周期的

周期函數(shù);

例41:已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意xeZ,均有/(x)=/(x-l)+/(x+1)。若

/(-I)=6,/(I)=7，貝I/(2012)+/(—2012)=.

例42:設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x),當OWxWl時,f(x)=*,則￡(7.

5)=___________

例:43：在R上定義的函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù),且在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，同步滿足/(%)=/(2-x),則函

數(shù)y=()

A.在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù),在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù),在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間［-2,-1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間［-2,-1］上是減函數(shù),在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

真題：［2023衡陽六校聯(lián)考】已知函數(shù)/(x)是(-oo,xo)上的偶函數(shù)，若對于無之0,均有/(x+2)=-/(%),

且當xe［0,2)時，/(%)=log2(x+1),則/(—2011)+/(2012)=.

［2023高考福建】定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)/(x)恒滿足/+=—x),且xe(-1,0)時，

/(%)=2^+1,貝U/(log220)=

【2023高考福建，文15］若函數(shù)［(x)=264(qeR)滿足/(l+x)=/(l-x),且/(x)在阿,+oo)單調(diào)

遞增，則實數(shù)機的最小值等于.

【2023新課標，理12】設函數(shù)/⑴是奇函數(shù)f(x)(xwR)的導函數(shù)，f(-1)=0,當x〉0時，xf'(x)-

f(x)<0,則使得f(x)〉0成立日勺x日勺取值范圍是()

(A)(y,-l)U(0,l)(B)(1,0)U(l,+oo)

(C)(-oc,-1)U(-1,0)(D)(0,1)U(l,+08)

［2023年江蘇卷第14題】設f(x)是定義在R且周期為1時函數(shù)，在區(qū)間［0,1)上,f(x)=卜"e"其中

IxjxeD

集合D=“|x=與二，〃e川［，則方程f(x)-1gx=0的解日勺個數(shù)是L

七：函數(shù)圖象的基本變換

結論：由函數(shù)y=/(x)可得到如下函數(shù)的圖象

L平移：

(1)y=/(x+7〃)(m>0)：把函數(shù)丫=f(x)的圖象向左平移m的單位(如m<0則向右平移m個單位)。

(2)y=/(%)+根(7律>0):把函數(shù)y=f(x)的圖象向上平移m的單位(如m<0則向下平移m個單位)。

2.對稱：有關直線對稱

(I)(1)函數(shù)y=/(-X)與y=/(x)的圖象有關y軸對稱。

(2)函數(shù)y=—/(x)與y=/(x)的圖象有關x軸對稱。

(3)函數(shù)y=/(x+a)與y=-x腦圖象有關直線x=甘對稱。

(II)(4)函數(shù)y=f(|x|)的圖象則是將y=f(x)的y軸右側的圖象保留，并將y=f(x)右側的

圖象沿y軸翻折至左側。(實際上y=f(|x|)是偶函數(shù))

(5)函數(shù)y=|f(x)|的圖象則是將y=f(x)在x軸上側的圖象保留，并將y=f(x)在x

軸下側的圖象沿x軸翻折至上側。

3.伸縮

(1)函數(shù)y=f(mx)(m>0)的圖象可將y=f(x)圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標縮小到本來的工

m

倍得到。(假如OVmQ,實際上是將f(x)的圖象伸展)

(2)函數(shù)y=mf(x)(m>0)的圖象可將y=f(x)圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標縮小到本來的

工倍得到。(假如實際上是將f(x)的圖象伸展)

m

例44：f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=e”有關y軸對稱，則f(x)=()

A.ex+1B.e'TC.e-Il+1D.e^-1

例46：函數(shù)尸匕日勺圖象大體為()

A.B.C.D.

例48:函數(shù)丁=(工廠+1的圖像有關直線y=x對稱的圖像大體是().

D.

真題：

1.x為實數(shù)，［尤］表達不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)/(x)=尤-［處在R上為()

A.奇函數(shù)比.偶函數(shù)C增函數(shù)通周期函數(shù)

【2023高考浙江文5】函數(shù)"X)=—^cosx(?且x/0炳圖象也許為(

4.如圖所示,fi(x),f2(X),f3(x),f4(x)是定義在［0,1］上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：”對［0,

1］中任意的Xi和X2,f(土土三)：f(xi)+f(X2)］恒成立”的只有()

［2023高考安徽】函數(shù)〃x)=奴+匕的圖象如圖所示，則下列結論成立的是

(x+c)

)

(/\)a>0,b>0,c<0(B)a<0,Z?>0,c>0

(C)a<Q,b>Q,c<0(D)a<Q,b<0,c<0

6、(2023年全國I卷高考)函數(shù)削在［-2,2］的圖像大體為

八.指數(shù)函數(shù)

題型一：指數(shù)運算

(1)分數(shù)指數(shù)基的意義:

m___1i*

nn

a=(a>O.m.neN\n>l)9a=---m-=(a>O,m,ncN*,n>l)

\nam

an

（2）實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì):

(V)ar-as=(a>0,r,5G/?)(2)ar+a，=(a>0,r,5G7?)

⑶(")=(a>0,r,51G7?)(4)(a/?)'=(a,b>0,rejR)

例49:化簡

(O.l)-2(a3r3)s

例50：已知2工+2」=5,求(1)4X+4~X;(2)8r+8~x

題翅二:指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

例51：下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是

A.y=(-4)B.y=Ji"C.y=—4D.y=ax+2(a>0且aW1)

例52:設a,仇c,d都是不等于1時正數(shù)，）=優(yōu),丁=//,丁="?=4］在同一坐標系中的圖像如圖所示,則

a,Z?,c,daI大小次序是（）

K.a<b<c<dB,a<b<d<c

Cb<a<d<cX)i><a<c<d

例53：函數(shù)/(x)=a"(a>0,且awl)對于任意的x,y均有

(A)/(xy)=/(%)/(y)(B)/(沖)=/(x)+/(y)

(C)/(x+y)=/(x)/(y)(D)/(x+y)=/(x)+/(y)

題型三:指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

⑴指數(shù)函數(shù)的概念：

一般地，函數(shù)y=a'（a〉0,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中*是自變量，函數(shù)的定義域為R.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

a>10<3<1

\

\

/\

-

0*10

定義域R定義域R

值域｛y1y>0)值域｛y1y>0)

在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減

非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖像都過定點(0,1)函數(shù)圖像都過定點(0,1)

當x>0時，y>l當*>0時，0<7<1

當水0時，0<y<l當0時,y>l

補充：恒過定點問題:

例54:函數(shù)y=ax~2+1.(〃>0且aW1)的I圖像必通過點

例55:函數(shù)y=log。(2%—3)+1的圖像必通過點

例56:函數(shù)y=如:+3%-2根+1%|圖像恒過定點

例57:函數(shù)mx-2%+3my+y+4m-2=0的I圖像必通過點

421

真題：(2023年全國III卷高考)已知。=2§/=3*。=253,貝ij

(A)b<a<c(B)a<b<c^(C)b<c<a^(D)c<a<b

九.對數(shù)函數(shù)

題型一：對數(shù)運算

(1)對數(shù)的定義：

一般地，假如優(yōu)=N(a>0,a/l),那么數(shù)x叫做認為。底N的對數(shù)，記作：x=log〃N(a—底數(shù)，N

—真數(shù)，log.N—對數(shù)式)

(2)對數(shù)的運算性質(zhì):

假如a>0,且a#l,以>0,N>0,那么：

M

n

①loga(M.N)=②logfl—=③logaM=

(neR).

注意：換底公式

log。b=b(a>0,且awl；c>0,且CH1;b>0).

logfa

(3)幾種小結論:

m

①log?b"=；②logay/M=;③logb=;④logflb?log；,a=

(4)對數(shù)的性質(zhì)：負數(shù)沒有對數(shù)；logfl1=;logfla=

例58：求值(log23+21og25/3)(31og34-log32)=

例59：若log,(行—1)=—1,則％=

例60:3l=12v=8,則工―工=

x>

例61：若lg2=a,lg3=R則lgl2=,lg45=

真題：若點(a,6)在y=lgx圖像上，aHl,則下列點也在此圖像上的是()

A.(-,&)B.(10a,1-/?)C.(—,/?+1).D.(a2,2b)

aa

6

【2023高考浙江，文9】計算ilog?芋二,210g23+1*3=.

【2023高考四川，文12】JgO.Ol+log=.

AM

【2023高考上海,文8】方程log2(9一—5)=log2(3-2)+2的解為.

【2023高考北京】如圖，函數(shù)/（x）的圖像為折線AC2,則不等式〃尤）2log?（x+1）的解集是（)

A.{x|-l〈尤<0}B.{X|-1WXW1}C.{x|-l<xWl}

D.{x|-1<xW2}

題型二：對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴對數(shù)函數(shù)的概念：

函數(shù)y=log.Ma>0,且awl）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+°°）.

（2）對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì):

定義域{x|.*>0}

值域為R值域為R

在（0,+8）上遞增在（0,+8）上遞減

函數(shù)圖像都過定點（1,0）函數(shù)圖像都過定點（1,0）

當x>l時,y>0當x>l時，y<0

當0<水1時，y<0當0<Xl時，y>0

例64：函數(shù)y=lg1￡—11勺圖像有關（）

A.%軸對稱B.y軸對稱C.原點對稱D.直線y=%對稱

￡+]

例65：已知y=ln^^,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當%>0時，函數(shù)時最小值為

例66:y=log3|x-2|的I遞增區(qū)間為

例67:若存在正數(shù)x使2*(x-a)<1成立，則a的取值范圍是()

A.(-oo,+oo)B.(—2,+oo)C.(0,+oo)D.(—1,+oo)

例68:當0VxW\f(l,2)時，4“〈log。％,則a的取值范圍是()

(A)(0,\f(\r⑵,2))(B)(率1)(C)(1,^/2)(D)(\r(2),2)

題型三:對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

例70：己知y=loga(2-ax)在［0,1］上是有關x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,1)。B.(1,2)。C.(0,2)?D.［2,+oo)

真題：【2023?湖南文，8］已知函數(shù)/(x)=e、—l,g(x)=—/+4x—3,若有〃a)=gS),則b的取值

范圍為_____________________

題型四：比較大小題型解法：

(1)等號兩邊同步n次方

如：比較：也和3百，8°」和3°2的大小

(2)能化為同底則化為同底:技巧：bg/=bg/?=叫.=醒J=b/等等.

a7a_a

a

例71:【2023?天津文，515.已知〃=log23.6,b=log43.2,c=log43.6貝！1().

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

124

例72:【重慶文.】設a=logi—,/?=logi—,c=log3—,則的大小關系是().

32§33

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

(3)和中間值“0”進行比較:指數(shù)類都是不小于零的，對數(shù)類就和log。1進行比較

(4)和中間值“1”進行比較:指數(shù)類和a°進行比較,對數(shù)類和log°a進行比較

(5)和中間值;進行比較：指數(shù)類進行估值運算，對數(shù)類和bg“而進行比較

(6)假如以上措施都比較不出，則可以進行估值比較

真題：【2023高考天津文7】己知定義在R上的函數(shù)/(%)=2爾刈-1(冽為實數(shù))為偶函數(shù)，記

a=/(log053),b=/(log25),c=/(2m)，則a,b,c,的大小關系為()

(A)〃<b<c(B)c<a<b(C)a<c<b(D)c<b<a

[2023高考全國文11]已知x=ln?,y=log52,z=e',貝!J(

(A)光vy