方法技巧專題14 導(dǎo)數(shù)與切線方程問題（解析版）

方法技巧專題14導(dǎo)數(shù)與切線方程解析版一、導(dǎo)數(shù)與切線方程問題知識(shí)框架二、導(dǎo)數(shù)與切線方程問題題型分析【一】已知切點(diǎn)求切線已知切點(diǎn)(已知切點(diǎn)(x0,y0)求切線方程表述：在某點(diǎn)處的切線方程，該點(diǎn)為切點(diǎn)。求切線方程的基本思路求導(dǎo)：利用求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)f’(x)求k:將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0代入f’(x0)=k求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知，求縱坐標(biāo)，可以將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入原函數(shù)（曲線）求縱坐標(biāo)。記得切點(diǎn)即在切線方程上也在原函數(shù)上。1.例題【例1】曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，選D.【例2】函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=-2+0=-2，所以切點(diǎn)為（1,-2）,由題得，所以切線方程為y+2=-1·(x-1),即：故選：A【例3】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若曲線在處的切線為，則下列直線中與直線垂直的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，則，即.，，所以的方程為，所以直線與直線垂直.選B.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若函數(shù)f(x)=x2ln2x，則f(x)A．y=0B．2x?4y?1=0 C．【答案】B【解析】由題得f'所以切線的斜率k=f所以切線方程為y?0=【練習(xí)2】曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____．【答案】2ex﹣y﹣e＝0【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f（x）＝ex+xex，則f（1）＝e+e＝2e，即切線斜率k＝f（1）＝2e，又f（1）＝e，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e）．所以切線方程為y﹣e＝2e（x﹣1），即切線方程為2ex﹣y﹣e＝0．故答案為：2ex﹣y﹣e＝0．【練習(xí)3】曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為________.【答案】【解析】求導(dǎo)函數(shù)可得，y′＝（1+x）ex當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝1∴曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為y﹣1＝x，即．故答案為：．【二】過某點(diǎn)求切線未知切點(diǎn)求切線方程未知切點(diǎn)求切線方程1.表述：過某點(diǎn)且與函數(shù)（曲線）相切的切線方程2.求切線方程的基本思路（1）判斷：判斷點(diǎn)是否在曲線上---將點(diǎn)代入曲線①曲線等式成立即點(diǎn)在曲線上，那該點(diǎn)可能是切點(diǎn)可能不是切點(diǎn)，分類討論；一類該點(diǎn)是切點(diǎn)，參考以上一的求法求切線方程，一類不是切點(diǎn)，請(qǐng)參考下面的方法求切點(diǎn)。②曲線等式不成立，即該點(diǎn)不是切點(diǎn)（2）該點(diǎn)(x1,y1)不是切點(diǎn)但在切線上時(shí)，求切線方程的思路①設(shè)點(diǎn)：設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)②求x0：利用斜率的關(guān)系求切點(diǎn)橫坐標(biāo)k＝f′(x0)=y1?y0y1?x0和③求k:利用k＝f′(x0)④求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f’(x0)(x-x0)或利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=f’(x0)(x-x1)1.例題【例1】已知函數(shù)，則過（1,1）的切線方程為__________．【答案】【解析】由函數(shù)，則，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則，即切線的斜率，所以切線的方程為，即，當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，即，解得或（舍去），所以所以切線的方程為，即.【例2】已知曲線f(x)=1x，則過點(diǎn)(?1,3)【答案】y=?x+2【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,則切線方程是y?y0=?1又y0=1x0，②由①②切線方程為x+y?2=0或2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】過點(diǎn)p(?4,0)【答案】x+【解析】點(diǎn)p(?4,0)不為切點(diǎn)，可設(shè)出切點(diǎn)Mm,n又y'=ex+xex，則切線斜率為由①②得，m=?2,n=?即x+e2y+4=0【練習(xí)2】過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,?0)作曲線【答案】y=ex【解析】因?yàn)閥=ex，所以y'=e則切線斜率為em，切線方程為y把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得m=1，所以過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,?0)作曲線y=ex的切線,則切線方程為【三】利用切線求參數(shù)1.例題【例1】已知曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切，則的值為（）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，切線的斜率，切線方程為，因?yàn)樗c拋物線相切，有唯一解即故，解得，故選C.【例2】已知函數(shù)f(x)=x+a2x.若曲線y=f(x)存在兩條過(1,0)點(diǎn)的切線，則A．(?∞,1)∪(2,+∞)B．C．(?∞,0)∪(2,+∞)【答案】D【解析】f'x=1則切線方程為y?又切線過點(diǎn)（1,0），可得?x整理得2x曲線存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即滿足Δ=4a【例3】已知曲線在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】直線的斜率為,可得曲線在處的切線為，，當(dāng)，，可得，可得，故答案：.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)=x3+(a?5)x2+(b+4)x，若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且曲線A．?32 B．?20 C．25 【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f(x),所以a=5.由題得f'因?yàn)榍芯€與直線y=16x+3【練習(xí)2】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則_______．【答案】3【解析】由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y＝2x+1，所以解得a＝2，b＝﹣1．a(chǎn)﹣b＝3．故答案為：3．【練習(xí)3】已知曲線在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】4【解析】由題意得：切線與垂直，解得：本題正確結(jié)果：【四】切線與其他知識(shí)綜合運(yùn)用1.例題【例1】已知直線與拋物線相切，則雙曲線的離心率等于() B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，而拋物線方程為，則，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以有，解得，則，所以雙曲線方程為，即標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以有，則，所以離心率，故答案選B.【例2】已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱當(dāng)時(shí)，，則本題正確選項(xiàng)：2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若對(duì)恒成立，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】……①……②聯(lián)立①②，解得：，則，切線方程為：，即本題正確選項(xiàng)：【練習(xí)2】若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，且點(diǎn)在直線（其中，）上，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2﹣4x，可得切線的斜率為3s2﹣4s，切線方程為y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s，t，由點(diǎn)A在直線mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，t，舍去），則（2m+2n）（）＝2（3）≥2（3+2）＝6+4，當(dāng)且僅當(dāng)nm時(shí)，取得最小值6+4，故選：C．【練習(xí)3】拋物線圖象在第一象限內(nèi)一點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，其中，若，則______．【答案】42【解析】由得，所以拋物線圖象在第一象限內(nèi)一點(diǎn)處的切線斜率為，所以該點(diǎn)處的切線方程為，整理得，因?yàn)榍芯€與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，所以，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以故答案為：42．三、課后自我檢測(cè)1．已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】若直線與曲線切于點(diǎn)，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或，故選：C．曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，則，且：.該函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，整理可得：.本題選擇D選項(xiàng).3．曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】可得，，，設(shè)切線的傾斜角為，可得故選D．4．若點(diǎn)P是函數(shù)y=圖象上任意一點(diǎn)，直線l為點(diǎn)P處的切線，則直線l斜率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵．∵1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，則．∴直線l斜率的范圍是[1，+∞）．故選：C．5．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線斜率為（）A．10 B．-10 C．4 D．與m的取值有關(guān)【答案】A【解析】由題意知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，可得，即，解得，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，所以，由導(dǎo)函數(shù)，可得導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,故選A.6．過拋物線上兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，若兩切線垂直且交于點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，∴．設(shè)，則，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，點(diǎn)處的切線方程為，由，解得，又兩切線交于點(diǎn)，∴，故得（*）．∵過兩點(diǎn)的切線垂直，∴，故，∴，故得拋物線的方程為．由題意得直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為，由消去整理得，∴（**），由（*）和（**）可得且，∴直線的方程為．故選：D．7．設(shè)曲線，在曲線上一點(diǎn)處的切線記為，則切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】斜率方程為：，即由得：即：，，曲線與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)本題正確選項(xiàng)：8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則，所以.因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，此時(shí)，，，所以切線方程為，即，故選D。9．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】若，則，所以.又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，此時(shí)，，，所以切線方程為，即.故選A項(xiàng).10．已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．1 D．0【答案】A【解析】，把（0，0）代入方程中，，=，故本題選A。11．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（）A． B．-1 C． D．【答案】D【解析】由題意得，.是奇函數(shù)，，即，解得，，則，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率為.故選.12．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_____________.【答案】12【解析】由題意可得：,∴∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為12，故答案為：1213．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程是_________.【答案】【解析】設(shè)，則，，據(jù)此可得：，且：，據(jù)此可得：曲線在處的切線方程是,整理為一般式即：.14．函數(shù)在處切線方程是______．【答案】【解析】求導(dǎo)函數(shù)可得，當(dāng)時(shí)，，∵，∴切點(diǎn)為，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程是，故答案為.15．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則_____．【答案】【解析】，，又因?yàn)?，切點(diǎn)是，切線方程是：，.故答案為16．過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則曲線、直線與軸所圍成的封閉圖形的面積為______【答案】.【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，因此在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線的方程為，即；又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得，所以，即切點(diǎn)為，切線方程為，作出所圍圖形的簡(jiǎn)圖如下：因此曲線、直線與軸所圍成的封閉圖形的面積為.17．若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)_________.【答案】-1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為,所以在點(diǎn)處的切線斜率為,又因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為,所以,解得，故答案為.18．曲線在處的切線的斜率為，則切線的方程為_____．【答案】【解析】曲線，可得，曲線在處的切線的斜率為，可得，所以.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為：，則切線的方程為：.即：．故答案為：．19．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則________.【答案】．【解析】因?yàn)椋?，因此，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為；又該切線與直線垂直，所以.故答案為20．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則______．【答案】-2．【解析】函數(shù)f（x）＝ex+ax，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex+a，f′（0）＝1+a，f（0）＝1，∴切線方程為y=(1+a)x+1，又的導(dǎo)函數(shù)y′=，令切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-lnt），則有，解得t=1，a=故答案為：．21．若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，則該切線方程為___________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意得，∵在點(diǎn)（1，a）處的切線平行于x軸，∴2a﹣1＝0，得a，∴切線方程為故答案為：．22．若曲線的一條切線的斜率是3，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．【答案】2【解析】，，，解得（舍去）或，所以，故答案為：2.23．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是______．【答案】【解析】由題得.所以.所以切點(diǎn)為（1，-e）,所以切線方程為.故答案為：24．已知函數(shù)y=f(x)的圖像在x=2處的切線方程是y=3x+1，則f(2)+f【答案】10【解析】由已知切點(diǎn)在切線上，所以f(2)=3×2+1=7，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率，所以f'(2)=3，所以25．已知恰有兩條不同的直線與曲線y=ex?2和x2=2py【答案】0,2【解析】設(shè)曲線y=ex?2的切點(diǎn)為（x1，ey'=k1=e切線方程為y-ex1?2=ex1由①②得x22+1=x1,故1p=ex22?1x2有兩解，由①知x2p>0，若x2<0,p<0不合題意；所以必有x2故答案為0,226．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則__________．【答案】3【解析】因?yàn)椋汉瘮?shù)f（x）＝x2+alnx+b，所以f′（x）＝2x（x＞0），又f（x）在x＝1處的切線方程為y＝4x﹣2，所以2+a＝4解得：a＝2，f（1）＝4﹣2＝2，可得2＝1+2ln1+bb＝1，所以a+b＝3．故答案為：3．27．函數(shù)f（x）＝x?2x在【答案】3x﹣2y﹣4＝0【解析】由f（x）＝x?2x，得∴f'(2)=1+12=∴函數(shù)f（x）＝x?2x在x＝2處的切線方程為y?1=32(x?2)故答案為：3x﹣2y﹣4＝0．28．設(shè)函數(shù)f(x)=?ex?x的圖象上任意一點(diǎn)處的切線為l1，若函數(shù)g(x)=ax+cosx的圖象上總存在一點(diǎn)，使得在該點(diǎn)處的切線【答案】[0,1]【解析】∵f'又l1⊥l2∵sinx∈∴a?1≤0a+1≥1本題正確結(jié)果：0,129．曲線在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)_______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因此其在處的切線斜率為，又曲線在處的切線與直線平行，所以，因此.故答案為30．若函數(shù)與函數(shù)，在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，，設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為，由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯(lián)立，解得．故答案為：．31．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線垂直，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．【答案】【解析】由題意知，則，，故，，故，.故答案為32．已知函數(shù)的圖象是以點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形，，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則__________．【答案】【解析】由，得，解得，所以.又，所以.因?yàn)?，，，由，得，?故答案為：33．已知函數(shù)，，設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)P，且在P點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是______．【答案】【解析】設(shè)，，．由題意知，，，即，，解得或舍，代入得