2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第八章立體幾何第2講空間幾何體的表面積和體積含解析

PAGE6-第2講空間幾何體的表面積和體積1．祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的宏大數(shù)學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，假如截面面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積肯定相等．現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體(圖X8-2-1)：圖①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體，圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球，則滿意祖暅原理的兩個(gè)幾何體為()①②③④圖X8-2-1A．①②B．①③C．②④D．①④2．(2024年新課標(biāo)Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖X8-2-2.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()圖X8-2-2A．1B．2C．4D．83．(2024年新課標(biāo)Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)4．(多選)如圖X8-2-3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中正確的是()圖X8-2-3A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面積與△BEF的面積相等D．三棱錐A-BEF的體積為定值5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)6．如圖X8-2-4所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，若一小蟲沿其表面從點(diǎn)A1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P爬行到點(diǎn)C，則其爬行路程的最小值為________．圖X8-2-47．(2024年天津)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖X8-2-5)，則四棱錐M-EFGH的體積為________．圖X8-2-58．(2024年浙江)某幾何體的三視圖如圖X8-2-6(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.圖X8-2-69．(2024年天津)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(5).若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________．10．(2024年天津)如圖X8-2-7，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱柱A1-BB1D1D的體積為________．圖X8-2-711．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)如圖X8-2-8，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由)；(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．圖X8-2-812．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)如圖X8-2-9，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)求證AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱錐D′-ABCFE的體積．圖X8-2-9第2講空間幾何體的表面積和體積1．D解析：設(shè)截面與底面的距離為h，則①中截面內(nèi)圓的半徑為h，則截面圓環(huán)的面積為π(R2－h(huán)2)；②中截面圓的半徑為R－h(huán)，則截面圓的面積為π(R－h(huán))2；③中截面圓的半徑為R－eq\f(h,2)，則截面圓的面積為π(R－eq\f(h,2))2；④中截面圓的半徑為eq\r(R2－h(huán)2)，則截面圓的面積為π(R2－h(huán)2)．∴①④中截面的面積相等，故其體積相等．故選D.2．B解析：如圖D198，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2.故選B.圖D1983．B解析：設(shè)球心為O，△ABC的中心為O1，明顯當(dāng)D，O，O1三點(diǎn)共線時(shí)，三棱錐D-ABC體積最大，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，eq\f(\r(3),4)|AB|2＝9eq\r(3)，∴|AB|＝6，|OO1|＝eq\r(|OA|2－|O1A|2)＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×6))2)＝2.∴|DO1|＝4＋2＝6.則三棱錐D-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).4．ABD5．3解析：如圖D199，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，圖D199下底面半徑為6寸，高為18寸．∵積水深9寸，∴水面半徑為eq\f(1,2)(14＋6)＝10寸．則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于eq\f(588π,π×142)＝3(寸)．6.eq\r(73)解析：由題意知，把面BB1C1C沿BB1綻開與面AA1B1B在一個(gè)平面上，如圖D200所示，連接A1C即可，則A1，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，CP＋PA1最小，圖D200∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，∴A1B1＝AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，∴A1C＝eq\r(82＋32)＝eq\r(73).故CP＋PA1的最小值為eq\r(73).7.eq\f(1,12)解析：由題意可得，底面四邊形EFGH為邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)的正方形，其面積SEFGH＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,2)，頂點(diǎn)M究竟面四邊形EFGH的距離為d＝eq\f(1,2)，則四棱錐M-EFGH的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).8．8040解析：由三視圖知該組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面放置了一個(gè)小正方體，S表＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80，V＝23＋4×4×2＝40.9.eq\f(π,4)解析：如圖D201，正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(5)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為線段PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，O為底面中心，AB＝eq\r(2)，AO＝eq\f(\r(2),2)AB＝1，OP＝eq\r(AP2－AO2)＝eq\r(5－1)＝2，故圓柱的高為1.設(shè)EG與OP交于點(diǎn)I，則I為正方形EFGH外接圓的圓心，IE＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)，以點(diǎn)O，I為上下底面圓心的圓柱的體積V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×1＝eq\f(π,4).圖D201圖D20210.eq\f(1,3)解析：如圖D202所示，連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O，很明顯A1C1⊥平面BDD1B1，則A1O是四棱錐的高，且A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，S＝1×eq\r(2)＝eq\r(2)，結(jié)合四棱錐體積公式可得其體積為：V＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).11．解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖D203.圖D203(2)作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.∵四邊形EHGF為正方形，∴EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.∵長(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，∴其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).12．(1)證明：由已知，得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF，得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD).故AC∥EF.由此，得EF⊥HD.折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EF⊥HD′，∴AC⊥HD′.(2)解：由EF∥AC，得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.∴OH＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(2eq\r(2))2＋12＝9＝D′H2.故OD′⊥OH.由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，∴AC⊥平面BHD′.于是AC⊥OD