2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章復(fù)數(shù)5.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法作業(yè)含解析北師大版必修第二冊

PAGE2.1復(fù)數(shù)的加法與減法(15分鐘35分)1.若復(fù)數(shù)z滿意z+(3-4i)=1,則z的虛部是 ()A.-2 B.4 C.3 D.-4【解析】選B.z=1-(3-4i)=-2+4i.2.在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若向量、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i、-1+3i,則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i【解析】選D.依題意有==-,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-2i.3.設(shè)z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,則|z+i|的最小值為 ()A.0 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由|z+1|=|z-i|知,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(-1,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線,即直線y=-x,而|z+i|表示直線y=-x上的點(diǎn)到點(diǎn)(0,-1)的距離,其最小值等于點(diǎn)(0,-1)到直線y=-x的距離即為QUOTE.4.(2024·青島高一檢測)已知i為虛數(shù)單位,設(shè)z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,則z1-z2=.

【解析】因?yàn)閦1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以QUOTE即QUOTE所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.答案:-1+10i5.已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ且z1-z2=QUOTE+QUOTEi,則cos(α+β)的值為.

【解析】因?yàn)閦1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,所以z1-z2=(cosα-cosβ)+i(sinα+sinβ)=QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=QUOTE.答案:QUOTE6.(2024·天津高一檢測)已知復(fù)數(shù)z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是純虛數(shù),求實(shí)數(shù)a.【解析】由條件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是純虛數(shù),所以QUOTE解得a=3.(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分,共15分)1.(2024·全國Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,則|z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解析】選C.因?yàn)閦=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=QUOTE=QUOTE.2.設(shè)f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,則f(z1-z2)等于 ()A.QUOTE B.5QUOTEC.QUOTE D.5QUOTE【解析】選D.因?yàn)閦1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5QUOTE.3.(2024·瀘縣高一檢測)z∈C,若|z|-QUOTE=1+2i,則z= ()A.QUOTE-2i B.QUOTE+2iC.2+2i D.2-2i【解析】選B.設(shè)z=a+bi,則|z|-QUOTE=QUOTE-a+bi=1+2i,故QUOTE,故QUOTE,故z=QUOTE+2i.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知z∈C且QUOTE=1,則QUOTE(i為虛數(shù)單位)的最小值是 ()A.2QUOTE-1 B.2QUOTE+1C.QUOTE D.2QUOTE【解析】選A.因?yàn)閨z|=1且z∈C,作圖如圖:因?yàn)閨z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為:|OP|-1=2QUOTE-1.二、多選題(共5分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)4.對(duì)隨意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.z-QUOTE=2a B.|z|=|QUOTE|C.z+QUOTE=2a D.z+QUOTE=2bi【解析】選BC.已知z=a+bi則QUOTE=a-bi選項(xiàng)A,z-QUOTE=QUOTE-QUOTE=2bi≠2a,錯(cuò)誤.選項(xiàng)B,|z|=QUOTE,|QUOTE|=QUOTE=QUOTE,正確.選項(xiàng)C,z+QUOTE=2a,故C正確,D錯(cuò)誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.已知復(fù)數(shù)z1=2+ai,z2=a+iQUOTE,且復(fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限,則a的取值可以是 ()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選CD.由題得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限,所以QUOTE,所以a>2.故CD正確.

2.(2024·蘇州高一檢測)已知i為虛數(shù)單位,下列說法中正確的是()

A.若復(fù)數(shù)z滿意|z-i|=QUOTE,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)為圓心,QUOTE為半徑的圓上

B.若復(fù)數(shù)z滿意z+|z|=2+8i,則復(fù)數(shù)z=15+8i

C.復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模

D.復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的向量為,復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的向量為,若QUOTE=QUOTE,則⊥

【解析】選CD.滿意|z-i|=QUOTE的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(0,1)為圓心,QUOTE為半徑的圓上,A錯(cuò)誤;

在B中,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則|z|=QUOTE.

由z+|z|=2+8i,得a+bi+QUOTE=2+8i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-15+8i,B錯(cuò)誤;由復(fù)數(shù)的模的定義知C正確;由QUOTE=QUOTE的幾何意義知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,從而兩鄰邊垂直,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z+|z|=2+i,則z=.

【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則|z|=QUOTE.所以x+yi+QUOTE=2+i.所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE+i.答案:QUOTE+i6.若|z|=2,則|z-1|的最小值是.

【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1.答案:1四、解答題7.(10分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=2,求復(fù)數(shù)1+QUOTEi+z的模的最大值、最小值.【解析】由已知,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上,設(shè)w=1+QUOTEi+z,所以z=w-1-QUOTEi,所以|z|=|w-(1+QUOTEi)|=2.于是復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以(1,QUOTE)為圓心,半徑為2的圓上,如圖所示,此時(shí)圓上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)wA的模有最大值,圓上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)wB的模有最小值,故|1+QUOTEi+z|max=4,QUOTE=0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在平行四邊形ABCD中,已知,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=3+5i,z2=-1+2i.(1)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(3)求平行四邊形ABCD的面積.【解析】(1)由于=+=+,所以=-.故對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.(2)由于=-=-,所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(