2024-2025學年高考數學考點第九章平面解析幾何直線的方程理

直線的方程1．直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內的直線都適用概念方法微思索1．直線都有傾斜角，是不是直線都有斜率？傾斜角越大，斜率k就越大嗎？提示傾斜角α∈[0，π)，當α＝eq\f(π,2)時，斜率k不存在；因為k＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2))).當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，α越大，斜率k就越大，同樣α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時也是如此，但當α∈(0，π)且α≠eq\f(π,2)時就不是了．2．“截距”與“距離”有何區(qū)分？當截距相等時應留意什么？提示“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數．應留意過原點的特別狀況是否滿意題意．1．（2024?全國）坐標原點關于直線的對稱點的坐標為__________．【答案】【解析】設坐標原點關于直線的對稱點的坐標為，則，解得，，坐標原點關于直線的對稱點的坐標為．故答案為：．1．（2024?河南模擬）已知函數，滿意，則直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數，滿意，函數關于直線對稱，，化為，解得．則直線的傾斜角滿意：，，．．故選．2．（2024?宜昌模擬）在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角終邊落在直線上，所以，可得，所以．故選．3．（2024?浙江模擬）直線為常數）的傾斜角為A． B． C． D．【答案】B【解析】設直線的傾斜角是，則直線的方程可化為，直線的斜率，，．故選．4．（2024?徐匯區(qū)一模）過點，且與直線有相同方向向量的直線的方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，即直線的斜率，由題意可知所求直線的斜率率，故所求的直線方程為即．故選．5．（2024?普陀區(qū)一模）若直線經過第一象限內的點，，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【解析】直線經過第一象限內的點，，則，，．．令，，．，可得時，取得極大值即最大值，．故選．6．（2024?南充模擬）直線關于直線對稱的直線方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】在直線上任取一點，此點關于直線的對稱點在直線上，，即，故選．7．（2024?西湖區(qū)校級模擬）直線在軸上的截距為A． B．1 C． D．【答案】B【解析】依據題意，直線，其與軸的交點為，即在軸上的截距為1；故選．8．（2024?西城區(qū)模擬）直線經點，且與直線在軸上的截距相等，則直線的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】直線在軸上的截距為，設直線方程為，過點，，得，得，即方程為，即，故選．9．（2024?廣州二模）已知點與點關于直線對稱，則點的坐標為A． B． C． D．【答案】D【解析】設點．點與點關于直線對稱，，解得，．則點的坐標為．故選．10．（2024?黃岡模擬）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】當直線過原點時，可得斜率為，故直線方程為，即當直線不過原點時，設方程為，代入點可得，解得，故方程為，故所求直線方程為：或，故選．11．（2024?黃岡模擬）過點的直線在兩坐標軸上的截距相等，則該直線方程為A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】當直線過原點時，方程為：，即；當直線不過原點時，設直線的方程為：，把點代入直線的方程可得，故直線方程是．綜上可得所求的直線方程為：，或，故選．12．（2024?閔行區(qū)校級三模）若直線方程的一個法向量為，則此直線的傾斜角為__________．【答案】【解析】直線方程的一個法向量為，所以該直線的方向向量為，則直線的斜率為，所以傾斜角為．故答案為：．13．（2024?鎮(zhèn)江三模）已知直線，，且，則直線，間的距離為__________．【答案】【解析】，，且，，，，，即；則、間的距離為：；故答案為：．14．（2024?武漢模擬）已知，為直線上兩點，為坐標原點，若，則的周長最小值為__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理得：，化簡得：，由基本不等式，當且僅當時，等號成立．所以，所以，故，所以，由于，所以，取“”號時為等邊三角形．則正三角形的高為為坐標原點到直線的距離．所以當為等邊三角形時：設，所以，解得，故，所以．故答案為：．15．（2024?徐匯區(qū)二模）已知直線的方向向量是直線的法向量，則實數的值為__________．【答案】【解析】由直線的方向向量是直線的法向量，可得兩直線相互垂直，則，解得．故答案為：．16．（2024?西湖區(qū)校級模擬）設直線的方程為．（1）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，直線與、軸分別交于、兩點，為坐標原點，求面積取最小值時，直線的方程．【解析】（1）當直線經過坐標原點時，該直線在兩坐標軸上的截距都為0，此時，解得，此時直線的方程為，即；當直線不經過坐標原點，即且時，由直線在兩坐標軸上的截距相等，可得，解得，此時直線的方程為；所以直線的方程為或；（2）由直線方程可得，，，因為，所以，當且僅當，即時等號成立；此時直線的方程為．17．（2024?西湖區(qū)校級模擬）過作直線，分別交軸、軸的正半軸于點，．（1）當為中點時，求直線的方程；（2）設是坐標原點，當的面積最小時，求直線的方程．【解析】（1）設，，，則直線的方程為，為中點，，，，，則直線的方程為：，即．（2）設，，，則直線的方程為，又在直線上，，又，，，等號當且僅當，即，時成立，直線的方程為：，即