2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第九章平面解析幾何直線的方程理

直線的方程1．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用概念方法微思索1．直線都有傾斜角，是不是直線都有斜率？?jī)A斜角越大，斜率k就越大嗎？提示傾斜角α∈[0，π)，當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，斜率k不存在；因?yàn)閗＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2))).當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，α越大，斜率k就越大，同樣α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)也是如此，但當(dāng)α∈(0，π)且α≠eq\f(π,2)時(shí)就不是了．2．“截距”與“距離”有何區(qū)分？當(dāng)截距相等時(shí)應(yīng)留意什么？提示“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)留意過原點(diǎn)的特別狀況是否滿意題意．1．（2024?全國(guó)）坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．1．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，滿意，則直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，滿意，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，，化為，解得．則直線的傾斜角滿意：，，．．故選．2．（2024?宜昌模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻墙K邊落在直線上，所以，可得，所以．故選．3．（2024?浙江模擬）直線為常數(shù)）的傾斜角為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角是，則直線的方程可化為，直線的斜率，，．故選．4．（2024?徐匯區(qū)一模）過點(diǎn)，且與直線有相同方向向量的直線的方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，即直線的斜率，由題意可知所求直線的斜率率，故所求的直線方程為即．故選．5．（2024?普陀區(qū)一模）若直線經(jīng)過第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【解析】直線經(jīng)過第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，則，，．．令，，．，可得時(shí)，取得極大值即最大值，．故選．6．（2024?南充模擬）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】在直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，，即，故選．7．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）直線在軸上的截距為A． B．1 C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，直線，其與軸的交點(diǎn)為，即在軸上的截距為1；故選．8．（2024?西城區(qū)模擬）直線經(jīng)點(diǎn)，且與直線在軸上的截距相等，則直線的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】直線在軸上的截距為，設(shè)直線方程為，過點(diǎn)，，得，得，即方程為，即，故選．9．（2024?廣州二模）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，解得，．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選．10．（2024?黃岡模擬）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為，故直線方程為，即當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)可得，解得，故方程為，故所求直線方程為：或，故選．11．（2024?黃岡模擬）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線方程為A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為：，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為：，把點(diǎn)代入直線的方程可得，故直線方程是．綜上可得所求的直線方程為：，或，故選．12．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）若直線方程的一個(gè)法向量為，則此直線的傾斜角為__________．【答案】【解析】直線方程的一個(gè)法向量為，所以該直線的方向向量為，則直線的斜率為，所以傾斜角為．故答案為：．13．（2024?鎮(zhèn)江三模）已知直線，，且，則直線，間的距離為__________．【答案】【解析】，，且，，，，，即；則、間的距離為：；故答案為：．14．（2024?武漢模擬）已知，為直線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)最小值為__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得：，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，所以，故，所以，由于，所以，取“”號(hào)時(shí)為等邊三角形．則正三角形的高為為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離．所以當(dāng)為等邊三角形時(shí)：設(shè)，所以，解得，故，所以．故答案為：．15．（2024?徐匯區(qū)二模）已知直線的方向向量是直線的法向量，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】由直線的方向向量是直線的法向量，可得兩直線相互垂直，則，解得．故答案為：．16．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)直線的方程為．（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，直線與、軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積取最小值時(shí)，直線的方程．【解析】（1）當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，此時(shí)，解得，此時(shí)直線的方程為，即；當(dāng)直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，即且時(shí)，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得，解得，此時(shí)直線的方程為；所以直線的方程為或；（2）由直線方程可得，，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；此時(shí)直線的方程為．17．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）過作直線，分別交軸、軸的正半軸于點(diǎn)，．（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）設(shè)，，，則直線的方程為，為中點(diǎn)，，，，，則直線的方程為：，即．（2）設(shè)，，，則直線的方程為，又在直線上，，又，，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，直線的方程為：，即