數(shù)學課堂探究：向量的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一向量在平面幾何中的應用用向量的方法證明有關平面圖形中平行、垂直、線段相等及點共線等問題的基本方法:（1)要證兩線段AB＝CD，可轉(zhuǎn)化為證明|｜＝||或＝；(2)要證兩線段AB∥CD，只要證明存在一實數(shù)λ≠0，使＝λ成立；(3）要證兩線段AB⊥CD,可轉(zhuǎn)化為證明·＝0;（4）要證A，B，C三點共線，只要證明存在一實數(shù)λ≠0，使＝λ,或若O為平面上任一點，則只需要證明存在實數(shù)λ,μ（其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ．【例1】如圖，若點D是△ABC內(nèi)一點，并且滿足AB2＋CD2＝AC2＋BD2,求證：AD⊥BC．分析：借助向量的減法分別表示出向量，然后代入已知條件證明．證明:設＝c，＝b,＝m,則＝－＝m－c，＝－＝m－b．因為AB2＋CD2＝AC2＋BD2，所以c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，所以2m·(c－b)＝0，2·（－)＝0．所以·＝0，所以AD⊥BC．反思基本思路就是將已知條件AB2＋CD2＝AC2＋BD2轉(zhuǎn)化為與的關系，而又可表示為－,所以就變成了討論和，的關系，因此可設這三個向量，再用它們來表示和,就能得到結(jié)論．探究二向量在解析幾何中的應用1．利用向量的方法來解決解析幾何中有關直線平行、垂直等問題．2．要掌握向量用坐標表示的常用知識:①共線；②垂直；③模；④夾角;⑤向量相等，則對應坐標相等．【例2】過點A（－2,1）,求:（1)與向量a＝(3,1)平行的直線方程；（2）與向量b＝（－1,2）垂直的直線方程．分析：在直線上任取一點P(x，y），則＝（x＋2,y－1）．根據(jù)∥a和⊥b解題即可．解：設所求直線上任意一點P的坐標為（x,y）．因為A（－2,1)，所以＝(x＋2，y－1)．（1）由題意，知∥a，所以（x＋2)×1－3(y－1）＝0，即x－3y＋5＝0．所以所求直線方程為x－3y＋5＝0．（2)由題意，知⊥b,所以（x＋2)×(－1）＋(y－1)×2＝0,即x－2y＋4＝0，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0．反思已知直線l的方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)，則向量（A，B)與直線l垂直，即向量(A，B)為直線l的法向量;向量（－B，A)與l平行,故過點P(x0，y0)與直線l平行的直線方程為A(x－x0)＋B(y－y0）＝0．探究三向量在物理中的應用用向量方法解決物理問題的步驟：（1)把物理問題中的相關量用向量表示；（2)轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算使問題解決；（3)把結(jié)果還原為物理問題．【例3】如圖所示，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到的重力為G，兩繩受到的拉力分別為F1,F2，夾角為θ．（1）求其中一根繩子受到的拉力｜F1|與G的關系式，用數(shù)學觀點分析F1的大小與夾角θ的關系；（2)求F1的最小值；（3)如果每根繩子的最大承受拉力為|G｜，求θ的取值范圍．解：（1）由力的平衡得F1＋F2＋G＝0，設F1，F(xiàn)2的合力為F,則F＝－G，由F1＋F2＝F且｜F1|＝｜F2｜，｜F|＝|G|，解直角三角形得cos1＝＝，所以｜F1｜＝,∈[0°,90°)，由于函數(shù)y＝cosx在x∈[0°，90°)上為減函數(shù)，所以逐漸增大時,cos逐漸減小，逐漸增大，所以θ增大時，|F1｜也增大．（2)由（1)可知,當θ＝0°時，|F1｜有最小值為．(3）由題意，≤|F1｜≤|G｜,所以≤≤1，即≤cos≤1．由于y＝cosx在［0°，180°］上為減函數(shù)，所以0°≤≤60°．所以θ∈［0°,120°]為所求．探究四易錯辨析易錯點：混淆向量平行與直線平行【例4】已知點A（0，1)，B（1，0），C（－1,2)，D（2，－1)，問AB與CD平行嗎？錯解:因為＝（1,－1），＝（3，－3），又因為1×（－3)－(－1）×3＝0，所以∥,即AB∥CD．錯因分析：此題混淆了向量的平行與線段(直線）的平行．平行向量是方向相同或相反的向量,所以當A，B,C，D四點共線時,與仍為平行向量，但此時直線AB與CD不平行．正解：證明:因為＝（1，－1）,＝(3