2024-2025學年新教材高中數學第四章三角恒等變換4.3.2半角公式作業(yè)含解析北師大版必修第二冊

PAGE3.2半角公式(15分鐘35分)1.已知cosθ=-QUOTE,θ∈QUOTE,則sinQUOTE+cosQUOTE=()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為θ∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE.2.(2024·西安高一檢測)已知cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,則QUOTE=()A.-QUOTE B.-2 C.QUOTE D.2【解析】選B.由cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,得sinα=-QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=-2.3.(2024·濟南高一檢測)在△ABC中,若sinBsinC=cos2QUOTE,則下面等式肯定成立的為()A.A=B B.A=CC.B=C D.A=B=C【解析】選C.在△ABC中,因為sinBsinC=cos2QUOTE=QUOTE,所以2sinBsinC=-cosBcosC+sinBsinC+1,所以cosBcosC+sinBsinC=cos(B-C)=1,因為-π<B-C<π,所以B-C=0,B=C.4.(2024·福州高一檢測)已知sinQUOTE-cosQUOTE=-QUOTE,450°<α<540°,則tanQUOTE的值為________.

【解析】由題意得QUOTE=QUOTE,即1-sinα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,因為450°<α<540°,所以cosα=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.答案:25.(2024·永安高二檢測)若α∈QUOTE,化簡:QUOTE=________.

【解析】因為α∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以cosα<0,sinQUOTE>0,所以QUOTE=QUOTE=-cosα.所以原式=QUOTE=QUOTE=sinQUOTE.答案:sinQUOTE6.(2024·浦東高二檢測)已知α,β∈QUOTE且α<β,若sinα=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,求:(1)cosβ的值;(2)tanQUOTE的值.【解析】(1)因為α,β∈QUOTE,sinα=QUOTE,所以cosα=QUOTE,因為α<β,所以α-β∈QUOTE,又cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=-QUOTE,所以cosβ=cosQUOTE=cosαcosQUOTE+sinαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由(1)得cosβ=QUOTE,所以sinβ=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·洛陽高二檢測)已知cosQUOTE=QUOTE,α∈QUOTE,則sinQUOTE=()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.因為角QUOTE是QUOTE的2倍,所以sin2QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為α∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE·cosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.(2024·延安高一檢測)設cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=QUOTE,且y是第四象限角,則tanQUOTE的值是()A.-QUOTE B.±QUOTE C.-QUOTE D.±QUOTE【解析】選A.因為cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=QUOTE,所以siny=sinQUOTE=sin(x+y)cosx-cos(x+y)sinx=-QUOTE,因為y是第四象限角,所以cosy=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由半角公式得tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.3.(2024·三亞高一檢測)若3π<x<4π,則QUOTE+QUOTE=()A.QUOTEcosQUOTE B.-QUOTEcosQUOTEC.QUOTEsinQUOTE D.-QUOTEsinQUOTE【解析】選C.因為3π<x<4π,所以QUOTE<QUOTE<2π,sinQUOTE<0,cosQUOTE>0.于是QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=cosQUOTE-sinQUOTE=QUOTE=QUOTEsinQUOTE.【補償訓練】給出下列等式:(1)QUOTE-tanQUOTE=-QUOTE;(2)QUOTE=tan(α-β);(3)QUOTE=-QUOTE;(4)tan2QUOTE=QUOTE.其中正確的等式序號是________.(將你認為正確的等式序號全部寫出來)

【解析】對于等式(1),左邊=QUOTE=2×QUOTE=QUOTE,等式(1)不成立;對于等式(2),左邊==QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-tanQUOTE,等式(2)不成立;對于等式(3),左邊=QUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=-tanQUOTE=-QUOTE,等式(3)成立;對于等式(4),等式右邊=QUOTE=QUOTE=tan2QUOTE,等式(4)成立.答案:(3)(4)4.已知函數f(α)=4(sin2α-cos2α)+2,在銳角三角形ABC中f(A)=6,且cos2B=cos2C,則tanB的值為()A.1 B.QUOTE-1C.QUOTE+1 D.QUOTE【解析】選C.因為函數f(α)=4(sin2α-cos2α)+2=4QUOTEsinQUOTE+2,又因為在銳角三角形ABC中,f(A)=6,所以f(A)=4QUOTEsinQUOTE+2=6,即sinQUOTE=QUOTE,所以2A-QUOTE=QUOTE或2A-QUOTE=QUOTE,解得A=QUOTE或A=QUOTE(舍去),又因為cos2B=cos2C,所以2B=2C,即B=C=QUOTE,所以tanB=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1.【誤區(qū)警示】留意本題中銳角三角形的限制,產生多解后要對其進行檢驗.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.(2024·長沙高一檢測)下列三角式中,值為1的是()A.4sin15°cos15° B.2QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選ABC.A.4sin15°cos15°=2sin(2×15°)=2sin30°=1,本選項符合題意;B.2QUOTE=2cosQUOTE=2cosQUOTE=1,本選項符合題意;C.QUOTE=tan(2×22.5°)=tan45°=1,本選項符合題意;D.QUOTE=QUOTE=cosQUOTE≠1,本選項不符合題意.6.已知函數f(x)=QUOTE-2sinxcosx,則下列選項正確的是()A.函數f(x)的最小正周期是πB.函數f(x)在區(qū)間QUOTE上單調遞增C.函數f(x)的圖象關于點QUOTE對稱D.函數f(x)的圖象關于x=-QUOTE對稱【解析】選AD.因為f(x)=QUOTE-2sinxcosx=cos2x-sin2x=QUOTEcosQUOTE,對選項A,函數的最小正周期為T=QUOTE=π,故正確;對選項B,因為-QUOTE≤x≤QUOTE?0≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)在QUOTE上單調遞減,故錯誤;對選項C,fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE,函數不關于點QUOTE對稱,故錯誤.對選項D,fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE,函數f(x)的圖象關于x=-QUOTE對稱,故正確.【光速解題】B選項可以將區(qū)間端點值代入驗證得fQUOTE>fQUOTE,故不成立,由對稱中心在平衡位置處及對稱軸對應的函數值為最大或最小值易知C錯D對.三、填空題(每小題5分,共10分)7.(2024·杭州高一檢測)若α的終邊上的點(x,y)滿意y=2xQUOTE,則sinα-cosα=________,tanQUOTE=________.

【解析】在α的終邊上,隨意取一點QUOTE,則sinα=QUOTE=-QUOTE,cosα=QUOTE=-QUOTE,則sinα-cosα=-QUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE-QUOTE8.(2024·上海高一檢測)若△ABC為等腰三角形,頂角為A,cosA=-QUOTE,則sinB=________.

【解題指南】利用等腰三角形進行A,B兩角的關系轉化,從而由A角的函數值得B角的函數值.【解析】因為△ABC為等腰三角形,頂角為A,所以B=QUOTE,sinB=sinQUOTE=cosQUOTE,由半角公式得cosQUOTE=±QUOTE=±QUOTE,又cosA<0,故A為鈍角,QUOTE∈QUOTE,所以sinB=cosQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數f(x)=QUOTE.(1)求fQUOTE的值;(2)當x∈QUOTE時,求g(x)=QUOTEf(x)+sin2x的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cos2x.所以fQUOTE=2cosQUOTE=2cosQUOTE=-QUOTE.(2)由(1)知f(x)=2cos2x,g(x)=QUOTEf(x)+sin2x=cos2x+sin2x=QUOTEsinQUOTE.因為x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以g(x)max=QUOTE,g(x)min=-1.10.(2024·上海高一檢測)如圖,在xOy平面上,點A(1,0),點B在單位圓上,∠AOB=θ(0<θ<π).(1)若點BQUOTE,求tanQUOTE的值;(2)若+=,四邊形OACB的面積用Sθ表示,求Sθ+·的取值范圍.【解析】(1)因為BQUOTE,∠AOB=θ,所以cosθ=-QUOTE,sinθ=QUOTE.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-3.(2)Sθ=QUOTEsinθ=sinθ,因為=QUOTE,=QUOTE,所以=+=QUOTE,所以·=1+cosθ,所以Sθ+·=sinθ+cosθ+1=QUOTEsinQUOTE+1(0<θ<π),因為QUOTE<