3.3 探索與表達(dá)規(guī)律（5大題型提分練）（原卷版）

（北師大版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第3章整式及其加減》3.3探索與表達(dá)規(guī)律知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一日歷中的規(guī)律◆1、在日歷中，方框中的9個(gè)數(shù)之和是最中間數(shù)的9倍．如果用a表示正中間的數(shù)，這9個(gè)數(shù)的和等于9a．◆2、任意一行或列的相鄰三個(gè)數(shù)的和等于最中間數(shù)的3倍．設(shè)最中間的數(shù)為a，則任意一行或列的相鄰三個(gè)數(shù)的和為3a．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二數(shù)與式的變化規(guī)律◆1、數(shù)與式的規(guī)律問題:從給定的幾個(gè)數(shù)與式入手，觀察數(shù)與數(shù)之間的規(guī)律及式子本身存在的規(guī)律，分別進(jìn)行橫向、縱向的比較，找出其中的不變部分與變化部分，確定數(shù)和式子與序號(hào)之間的關(guān)系，找出變化規(guī)律.●若是一列整數(shù)，則可考慮相鄰兩數(shù)的和、差、積、商等方面的規(guī)律，也可以是奇、偶、平方等方面的規(guī)律；●若是等式，則可將每個(gè)等式對(duì)應(yīng)寫好，然后比較每一行、每一列數(shù)字之間的關(guān)系，從而找出規(guī)律；●若是分?jǐn)?shù)，則可分別觀察分子、分母的變化規(guī)律及它們之間的聯(lián)系．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三圖形的變化規(guī)律◆圖形的變化規(guī)律問題:觀察、分析圖形特點(diǎn)，挖掘相鄰兩個(gè)圖形間的增減變化關(guān)系，有時(shí)也可將圖形進(jìn)行分割，從不同角度分析圖形的變化特點(diǎn)，從中找出規(guī)律，大膽猜想，用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示規(guī)律并加以驗(yàn)證．題型一單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的變化規(guī)律1．（2024?永修縣校級(jí)模擬）以下是按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，???，依此規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．nan B．nan﹣1 C．（n+1）an D．（n+1）an﹣12．（2024?保山一模）下面是按一定規(guī)律排列的式子：a2，3a4，5a6，7a8，…，則第9個(gè)單項(xiàng)式是（）A．15a18 B．17a16 C．15a10 D．17a183．（2024?廣南縣模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2a2，4a3，6a4，8a5，10a6，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（n+1）an B．（n+1）an+1 C．2nan D．2nan+14．（2024?羅平縣模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na5．（2023昆明一模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8個(gè)單項(xiàng)式是（）A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2題型二多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)的變化規(guī)律1．（2024?五華區(qū)校級(jí)模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a﹣b，4a2+b，9a3﹣b，16a4+b，25a5﹣b，?第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．n2an+（﹣1）n+1b B．n2an+（﹣1）nb C．n2an+1+（﹣1）n﹣1b D．（n+1）2an+（﹣1）nb2．（2024?紅河州二模）以下是一組按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，則第n個(gè)多項(xiàng)式是（）A．a(chǎn)n+（n﹣1）b B．a(chǎn)n+nb C．a(chǎn)n+（n+1）b D．a(chǎn)n+1+nb3．（2024?巧家縣二模）按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a+b2，a2+4b3，a3+9b4，a4+16b5，a5+25b6，…．第n個(gè)多項(xiàng)式是（）A．a(chǎn)n+n2bn+1 B．a(chǎn)n+nnbn+1 C．a(chǎn)n+nbn+1 D．a(chǎn)n+2nbn+14．有一個(gè)多項(xiàng)式為a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此規(guī)律寫下來，這個(gè)多項(xiàng)式的第六項(xiàng)是．5．觀察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此規(guī)律寫出第n個(gè)式子是．題型三數(shù)與式的變化規(guī)律1．（2024?新都區(qū)校級(jí)開學(xué)）有這樣一組數(shù)：40.1、40.2、40.3、40.4、40.5…，其中第n個(gè)數(shù)用含有字母的式子表示是（）A．（n﹣1）+40 B．（n+1）+40 C．40+n D．40+n÷102．（2024?溫江區(qū)校級(jí)開學(xué)）下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律m＝（）A．38 B．52 C．74 D．863．（2023秋?梁園區(qū)校級(jí)月考）已知整數(shù)a1，a2，a3，a4，?，滿足下列條件：a1＝2，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，a4＝﹣|a3+1|，以此類推，則a2023的值為（）A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．24．（2023秋?鶴城區(qū)校級(jí)期末）a是不為2的有理數(shù)，我們把22-a稱為a的“哈利數(shù)”．例如：3的“哈利數(shù)”是22-3=-2，﹣2的“哈利數(shù)”是22-(-2)=12，已知a1＝3，a2是a1的“哈利數(shù)”，a3是a2的“哈利數(shù)”，a4A．3 B．﹣2 C．12 D．5．（2023秋?光山縣校級(jí)期末）如圖所示在一個(gè)電子青蛙游戲程序中，電子青蛙只能在標(biāo)有五個(gè)數(shù)字點(diǎn)的圓周上跳動(dòng)．游戲規(guī)則：若電子青蛙停在奇數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿順時(shí)針方向跳兩個(gè)點(diǎn)；若電子青蛙停在偶數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿逆時(shí)針方向跳一個(gè)點(diǎn)．現(xiàn)在電子青蛙若從3這點(diǎn)開始跳，則經(jīng)過2023次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為（）A．5 B．3 C．2 D．16．（2024春?莘縣期末）我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲在1050年左右首次發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇妙的“三角形”，這個(gè)“三角形”被稱為賈憲三角形，這個(gè)“三角形”第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)……第n行有n個(gè)數(shù)，不僅如此，這個(gè)“三角形”第n+1行中的數(shù)竟與（a+b）（n是正整數(shù)）展開式各項(xiàng)的系數(shù)完全吻合，如圖所示：根據(jù)“賈憲三角形”請(qǐng)計(jì)算（a+b）8的展開式中從左起第五項(xiàng)的系數(shù)為（）A．84 B．56 C．28 D．707．（2023秋?白銀區(qū)期末）如圖，是一個(gè)運(yùn)算程序的示意圖，若開始輸入x的值為125，則第2023次輸出的結(jié)果為（）A．1 B．5 C．25 D．1258．（2024?清江浦區(qū)校級(jí)開學(xué)）將整數(shù)1，2，3，…，按如圖的方式排列．這樣第1次轉(zhuǎn)彎的是2，第2次轉(zhuǎn)彎的是3，第3次轉(zhuǎn)彎的是5，第4次轉(zhuǎn)彎的是7，…．則第20次轉(zhuǎn)彎的是．9．（2024?衡陽開學(xué)）如圖，萍萍同學(xué)將自然數(shù)按照一定的規(guī)律填寫在方格中（圖①），圖②是從圖①中截取的一部分．根據(jù)圖①中數(shù)的規(guī)律，我們可以計(jì)算出圖②中4個(gè)數(shù)的和是．10．（2023秋?秦安縣校級(jí)期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖，若開始輸入x的值是5，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果是8，第二次輸出的結(jié)果是4，…．請(qǐng)你探索第2023次輸出的結(jié)果是1．題型四圖形的變化規(guī)律1．（2023秋?鋼城區(qū)期末）化學(xué)中把僅由碳和氫兩種元素組成的有機(jī)化合物稱為碳?xì)浠衔铮鐖D是部分碳?xì)浠衔锏慕Y(jié)構(gòu)式，第1個(gè)結(jié)構(gòu)式中有1個(gè)C和4個(gè)H，第2個(gè)結(jié)構(gòu)式中有2個(gè)C和6個(gè)H，第3個(gè)結(jié)構(gòu)式中有3個(gè)C和8個(gè)H，…，按照此規(guī)律，則第49個(gè)結(jié)構(gòu)式中有（）個(gè)H．A．97 B．98 C．99 D．1002．（2024?香坊區(qū)模擬）如圖，是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規(guī)律，第2023個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)是（）A．8092 B．8093 C．4046 D．40473．（2023秋?大冶市期末）卡塔爾盧賽爾體育場是由中國鐵建國際集團(tuán)承建，球場外立面的設(shè)計(jì)靈感源于阿拉伯吊燈的光影交錯(cuò)的典型圖案．該圖案是由一些完全相同的小三角形依照規(guī)律排列組成，圖形（1）由2個(gè)小三角形組成，圖形（2）由8個(gè)小三角形組成，圖形（3）由18個(gè)小三角形組成，…．依此規(guī)律，圖形（10）由（）個(gè)小三角形組成．A．100 B．160 C．200 D．3004．（2024?牡丹江）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形…按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20255．（2023秋?豐都縣期末）用圍棋子按下面的規(guī)律擺放圖形，則擺放第2023個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)是（）A．4047 B．6069 C．6070 D．60716．（2023秋?銅梁區(qū)期末）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第⑧個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為（）A．24 B．27 C．30 D．337．（2024?管城區(qū)開學(xué)）觀察如圖所示點(diǎn)陣圖的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律填一填．（1）按照規(guī)律在第四幅圖中應(yīng)該畫個(gè)圓點(diǎn)．（2）按照這個(gè)規(guī)律還可以知道第n個(gè)圖形的點(diǎn)陣中，一共應(yīng)畫個(gè)圓點(diǎn)．8．（2024?韓城市二模）某民族服飾的花邊均是由若干個(gè)的基礎(chǔ)圖形組成的有規(guī)律的圖案，如圖，第1個(gè)圖案由4個(gè)組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)組成，第3個(gè)圖案由10個(gè)組成，…，按此規(guī)律排列下去，第2024個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為個(gè)．9．（2024春?鳳陽縣期末）如圖，是一幅平面鑲嵌圖案，它由相同的黑色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案：第1個(gè)圖案有1個(gè)正方形，4個(gè)等邊三角形；第2個(gè)圖案有2個(gè)正方形，7個(gè)等邊三角形；第3個(gè)圖案有3個(gè)正方形，10個(gè)等邊三角形，以此類推…（1）第n個(gè)圖案有個(gè)正方形，個(gè)等邊三角形．（2）現(xiàn)有2024個(gè)等邊三角形，如按此規(guī)律鑲嵌圖案，要求等邊三角形剩余最少，則需要正方形多少個(gè)？10．（2024?鳳臺(tái)縣三模）如圖所示的圖案是由正方形和三角形組成的，有著一定的規(guī)律，請(qǐng)完成下列問題：（1）第4個(gè)圖案中，三角形有個(gè)，正方形有個(gè)；（2）若用字母a、b分別代替三角形和正方形，則第1、第2個(gè)圖案可表示為多項(xiàng)式4a+b，8a+4b，則第5個(gè)圖案可表示為多項(xiàng)式；（3）在（2）的條件下，若第5個(gè)圖案所表示的多項(xiàng)式值為90，且a＝2，求b的值．11．（2024?埇橋區(qū)校級(jí)二模）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）請(qǐng)用含n的式子填空：上述是由正八邊形構(gòu)成的圖案，正八邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上都有“★”或“▲”．第1個(gè)圖案中“★”有4×1個(gè)；“▲”有1+3×1個(gè)；第2個(gè)圖案中“★”有4×2個(gè)；“▲”有1+3×2個(gè)；第3個(gè)圖案中“★”有4×3個(gè)；“▲”有1+3×3個(gè)；第4個(gè)圖案中“★”有4×4個(gè)；“▲”有1+3×4個(gè)；……第n個(gè)圖案中“★”有個(gè)，“▲”有個(gè)；【規(guī)律應(yīng)用】（2）在第2024個(gè)圖案中，求“★”的數(shù)量比“▲”的數(shù)量多多少個(gè)？題型五日歷中的規(guī)律1．（2023秋?中牟縣期中）如圖是某月的日歷，現(xiàn)用一方框在日歷中任意框出九個(gè)數(shù)，請(qǐng)觀察圖形解答下列問題：（1）日歷圖中方框框住的9個(gè)數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？（2）這個(gè)關(guān)系對(duì)其他這樣的方框成立嗎？請(qǐng)用代數(shù)式表示這個(gè)關(guān)系．（3）這個(gè)關(guān)系對(duì)任何一個(gè)月的日歷都成立嗎？為什么？（4）你還能發(fā)現(xiàn)這樣的方框中9個(gè)數(shù)之間的其他關(guān)系嗎？請(qǐng)寫出一種．2．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)月考）日歷是生活的好助手，仔細(xì)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．如圖所示的是某月的日歷，若用一個(gè)水平放置的方框任意平移框住其中4個(gè)日期數(shù)．（1）若設(shè)方框內(nèi)左上角的數(shù)為a，則其他三個(gè)數(shù)分別用a表示為，，．（2）若將方框中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，例如：＝xy﹣mz．結(jié)果會(huì)隨方框位置移動(dòng)而變化嗎？若會(huì)，請(qǐng)說明理由；若不會(huì)，請(qǐng)求出運(yùn)算結(jié)果．3．（2023秋?如皋市期末）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2022年1月份的日歷，我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個(gè)方框部分中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，結(jié)果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．（1）如圖，設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為x，則上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含x的式子可表示為；（2）利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．4．（2023秋?甘井子區(qū)期末）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖1是2021年1月份的日歷，任意選擇圖中所示的方框，每個(gè)框四個(gè)角上的數(shù)交叉相乘后求和，再與中間的數(shù)的平方的2倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是﹣100．（1）如圖2，設(shè)日歷中所示圖形中間的數(shù)字為x，請(qǐng)用含x的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．5．（2024?南皮縣二模）發(fā)現(xiàn)將如圖1所示的四邊形