2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊專項復(fù)習(xí)：三角形（解析版）

專題01三角形

思維導(dǎo)最1）

三條邊三角形的兩邊之和大于第三邊

直角三角形

按角銳角三角形

鈍角三角形

三邊都不相等的三角形

按邊

底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

互余關(guān)系及90°

三條高（或所在直線）相交于一點(diǎn)

分對邊相等，分得的兩個三角形面積相等

中線/------------------------------------------

-----------Q三條中線相交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，該點(diǎn)為三角形的重心

三角形內(nèi)角被分成兩個相等的角

角平分線/-----------------------------------

------2~《三條角平分線相交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)

考點(diǎn)串

一.三角形的有關(guān)概念

1.定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.有關(guān)概念及其表示方法：如圖所示，線段48,AC,8C叫做的三條邊.點(diǎn)B,C叫做A45C

的三個頂點(diǎn).乙4,ZB,NC叫做AABC的三個內(nèi)角，簡稱三角形的角.頂點(diǎn)是aB,C的三角形，記

作“△Z8C”，讀作“三角形N2C”.

A

注意：

①由三角形的定義可知，三角形有三個特征：三條線段；不在同一條直線上；首尾順次相接.

②用符號時，其后必須緊跟表示三角形三個頂點(diǎn)的大寫字母，不能單獨(dú)使用.如“三角形的角”不

能寫成“△的角”.

二.三角形的分類

三邊都不相等的三角形

按邊的相等關(guān)系分類:三角形《底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

'直角三角形

按角的大小分類：三角形銳角三角形

.鈍角三角形

注意：

①等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等邊三角形；不等邊三角形是指三條邊都不相等的三

角形.

②無論按哪一標(biāo)準(zhǔn)對三角形進(jìn)行分類，都必須做到不重復(fù)、不遺漏.

三.三角形的三邊關(guān)系

1.三邊關(guān)系的性質(zhì)：三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.三角形的三邊關(guān)系反映了

任意三角形邊的限制關(guān)系.

2.三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三

條線段可以組成三角形；否則不能組成三角形.已知三角形兩邊長，求第三邊長的取值范圍.

注意：

①這里的“兩邊”指的是任意的兩邊.

②三角形的三邊關(guān)系的依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

四.三角形的高、中線、角平分線

1.三角形的高：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.

2.三角形的高的幾何表達(dá)形式：如圖所示，是AZBC的邊8c上的高，或是4人臺。的高，或

AD1BC于點(diǎn)D,或ABDA=ZCDA=90°.

注意：

①三角形的高是一條線段.

②銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高落在三角形

的外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高沒有交點(diǎn)，但三條高的延長線交于三角形外一點(diǎn)；直角三角形有兩

條高恰好是三角形的兩條直角邊，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn).

銳角三角形直角三角形

鈍角三角形

3.三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.三角形的三條中線

相交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.

4.三角形的中線的幾何表達(dá)形式：如圖所示，是△48C的8c邊上的中線，或是△48C的中線,

或BD=CD'BC.

5.三角形的中線分成的兩三角形的面積和周長的關(guān)系：如圖所示，是△ZBC的中線，NE是的

高，則BD5OZE，CD，

S△“/LDU=-22S“=_CD.AE

因為5￡>=?！?gt;,所以工5。ZE=

22

即S?ABD=S/CD-

因為&ABD的周長為AB+BD+AD,AACD的周長為AC+CD+AD,

所以AAB。的周長一△NC。的周長+—

①三角形的中線是一條線段.

②三角形每一條邊上的中線將三角形分成面積相等的兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于另兩邊長的

差.

③三角形的重心一定在三角形的內(nèi)部.

6.三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的平分線和對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做

三角形的角平分線.

7.三角形的角平分線的幾何表達(dá)形式：如圖所示，4D是AABC的角平分線，或

ZBAD=ZCAD=-ABAC且點(diǎn)。在5c上.

2

注意：

①三角形的角平分線是一條線段.

②三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn).

五.三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.

六.三角形內(nèi)角和定理

1.定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.

2.定理的推理論證：

已知：&ABC.

求證：Z5^C+Z5+ZC=180°.

證明：如圖所示，過點(diǎn)/作直線EE〃8C.

,/EF//BC,

ZEAB=ZB,ZFAC=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

?/ZEAB,ABAC,NE4c組成平角，

/.AEAB+ABAC+ZFAC=180°（平角定義）.

：.ZBAC+ZB+ZC=180°（等量代換）.

七.直角三角形的性質(zhì)與判定

1.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個銳角互余.

2.直角三角形表示方法：直角三角形可以用符號“R/△”表示，直角三角形N8C可以寫成用

符號“火〃”表示時，后面必須緊跟表示直角三角形的三個頂點(diǎn)的大寫字母，不能單獨(dú)使用.

3.直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

如圖所示，在AZ5c中，如果N/+N8=90°,那么AZBC是直角三角形.

八.三角形的外角

1.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角，如圖所示，ZACD

是△48C的一個外角.

2.三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

注意：

①三角形每個頂點(diǎn)處有兩個外角，它們是對頂角，所以三角形共有六個外角，通常每個頂點(diǎn)處取一個外

角.因為三角形的每個外角和與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°,可推出三角形的三個

外角和是360°.

②三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)是角的有關(guān)計算及推理論證時經(jīng)常使用的理論依據(jù).

九.多邊形及正多邊形

1.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

(1)多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊形.如果一個

多邊形由〃條線段組成，那么這個多邊形就叫做〃邊形.

(2)多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

(3)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形.畫出多邊形的任何一條邊所在直線，整個多邊形都在這條直線的

同一側(cè)，這樣的多邊形叫做凸多邊形.

2.正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

十.多邊形的對角線

連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.

注意：

“邊形共有△——L條對角線.

2

十一.“邊形的內(nèi)、外角和公式

1.〃邊形內(nèi)角和公式：〃邊形內(nèi)角和等于(〃-2)x180°.

(1)探求方法：從〃邊形的一個頂點(diǎn)可以引(〃-3)條對角線，把〃邊形分為(〃-2)個三角形，這(〃-2)

個三角形的所有內(nèi)角和即為〃邊形的內(nèi)角和，所以〃邊形的內(nèi)角和為(〃-2)x180°.

(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①求多邊形內(nèi)角和；②由多邊形內(nèi)角和確定多邊形的邊數(shù)；③求正多邊形的每

個內(nèi)角的度數(shù)；④由正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)確定正多邊形的邊數(shù).

2.多邊形的外角和：(每個頂點(diǎn)處取一個外角)

(1)定理：多邊形外角和等于360°.

(2)多邊形外角和定理的證明：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以〃邊形的內(nèi)角和加

夕卜角和為〃xl80°,所以夕卜角和等于〃xl80°—(〃-2)xl80°=360°.

(3)外角和定理的應(yīng)用：①已知外角的度數(shù)求正多邊形的邊數(shù)；②已知正多邊形的邊數(shù)求外角的度數(shù).

注意：

①多邊形的外角和恒等于360°,而與邊數(shù)多少無關(guān).

②內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化：邊數(shù)每增加1,內(nèi)角和就增加180°.

【專題過關(guān)】

三角形的相關(guān)概念及分類（共4小題）

1.下列圖形中，三角形是（）

A

D.

【答案】C.

【解析】解：選項C是二角形,

故選：C.

2.如圖均表示三角形的分類，下列判斷正確的是（)

A.①對，②不對B.①不對，②對C.①、②都不對D.①、②都不對

【答案】B.

【解析】解：,??等腰三角形包括等邊三角形,

①分類方法不對，

:三角形按角分類可分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,

???②分類方法對，

故選：B.

3.下列幾何圖形是鈍角三角形的是（）

D.

【答案】B.

【解析】解：觀察各選項，根據(jù)鈍角三角形的定義可知，B為鈍角三角形;

故選：B.

4.如圖，圖中三角形的個數(shù)為（）

B.4個C.5個D.6個

【答案】C.

【解析】解：圖中的三角形為：AABD,AACE,△DCE,ANCD和AAgC,有5個三角形,

故選：C.

三角形存在性問題（共4小題）

5.以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）

A.2、2、4B.8、6、3C.2、6、3D.11、4、6

【答案】B.

【解析】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知

A.2+2=4,不能組成三角形；

B.3+6>8,能夠組成三角形；

C.3+2=5<6,不能組成三角形；

D.4+6<11,不能組成三角形.

故選：B.

6.現(xiàn)有兩根長度分別3cm和7cm的木棒，若要釘成一個三角形木架，則應(yīng)選取的第三根木棒長為（）

A.4cmB.7cmC.10cmD.13cm

【答案】B.

【解析】解：設(shè)此三角形第三條邊長為a,由三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可

知，

第三條邊的范圍應(yīng)為4VaV10,

故A、C、D選項皆不在上述范圍內(nèi)，

故選：B.

7.一個三角形的兩邊長為3和8,第三邊長為奇數(shù)，則第三邊長為（）

A.5或7B.7或9C.7D.9

【答案】B.

【解析】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

第三邊大于8-3=5,而小于兩邊之和8+3=11.

又第三邊應(yīng)是奇數(shù)，則第三邊等于7或9.

故選：B.

8.一個三角形的兩邊長為2和6,第三邊為偶數(shù)，則這個三角形的周長為（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】C.

【解析】解：第三邊的取值范圍是大于4且小于8,又第三邊是偶數(shù)，故第三邊是6.

則該三角形的周長是14.

故選：C.

三.三角形高線的確定（共4小題）

9.下列說法不正確的是（）

A.同角的余角相等

B.對頂角相等

C.三角形三條高所在的直線一定交于一點(diǎn)，并且該點(diǎn)位于三角形內(nèi)部

D.平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】C.

【解析】解：A.同角的余角相等，正確，故此選項不符合題意；

B.對頂角相等，故選項正確，故此選項不符合題意；

C.三條高線可以交在三角形的內(nèi)部，或外部，或一角的頂點(diǎn)，故選項錯誤，故此選項符合題意;

D.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選項正確，不符合題意.

故選：C.

10.下列各圖中，正確畫出NC邊上的高的是（）

B

A.C.D.

【答案】D.

【解析】解：A4BC中ZC邊上的高即為過點(diǎn)3作NC的垂線段，該垂線段即為ZC邊上的高，四個選項

中只有選項D符合題意,

故選：D.

11.畫ANBC的8c邊上的高，正確的是（)

B.

【答案】C.

【解析】解：畫A4BC的8c邊上的高，即過點(diǎn)/作5c邊的垂線.

故選：C.

12.如圖，在A48C中，下列關(guān)于高的說法正確的是（）

A.線段是ZC邊上的高B.線段CE是邊上的高

C.線段CF是ZC邊上的高D.線段BE是NC邊上的高

【答案】D.

【解析】解：△48C中，AB,AC,8c邊上的高分別為線段CE,線段8E,線段ZD.

故選：D.

四.三角形中線的相關(guān)問題（共7小題）

13.王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作的線段應(yīng)該是

的

B.中線C.高線D.以上都不是

【答案】B.

【解析】解：由三角形的面積公式可知，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分,

他所作的線段AD應(yīng)該是AABC的中線,

故選：B.

14.如圖所示，在△NBC中，AB=8,AC=6,是AZBC的中線，則△25。與△NDC的周長之差

B.1C.2D.7

【答案】C.

【解析】解：：如圖，在△48C中，4D是△48C的中線,

BD=CD.

?：AABD的周長=幺5+/。+5￡),仆人。。的周長=ZC+AD+C￡)=ZC+AD+8。,

.?.△幺5。與42。。的周長之差為：Z8—ZC=8—6=2.

故選：C.

15.如圖，AD、CE都是△48C的中線，連接￡￡）,△48C的面積是10c加2,貝以8?！甑拿娣e是（）

A.125cm-B.2cm2C.2.5cm2D.5cw2

【答案】c.

【解析】解：：是△NBC的中線，AZBC的面積是10c%2,

△48。的面積=A48C的面積x」=5(cm2),

2

?:E是的中點(diǎn)，

ABDE的面積=AaSZ)的面積X」=2.5(cm2),

2

故選：C.

16.如圖，40是△48C的中線，48=8,ZC=7,若△4DC的周長為18,則△48。的周長為.

【解析】解：是AABC的中線，

BD=CD,

'：AZCD的周長為18,

/.AC+AD+CD=IS,

?/AC=7,

：.AD+CQ=18—7=11,

BD+AD=11,

:.AABD的周長=28+8。+AD=8+11=19,

故答案為：19.

17.如圖，在AZBC中，是5c邊上的中線，4人。。的周長比△48。的周長多3,48與ZC的和為

13,則NC=.

【解析】解：：人。是邊上的中線,

/.BD=CD,

,**C△Am—AC+AD+CD△,ADUCARri=AD+BD+AB,

：①

.C△A.rL-Dn-C△A.tK5Ln)=AC+AD+CD-AD-BD-AB=AC-AB='3—',

：.AC+AB=13,②

.?.①+②得：2ZC=16,

/.AC=8.

故答案為：8.

18.已知：如圖所示，在△ZBC中，點(diǎn)。，E,F分別為BC,AD,CE的中點(diǎn)，且5“4=4。機(jī)2,則陰

影部分的面積為cm1.

【解析】解：???。為5c中點(diǎn)，

:,S-ABD=S/CD=5S“BC=2X4=2卜療)>

22

同理S.EBD=S=—S=—x2=l(cm),S=S=—S=—x2=l(cm)

△1LDLJ△xAilELDB△JAIIBJUD\J△EDCAECADC\J

,?S-BCE=S"BC—S/BE-S-AEC=2(cm)，

?.?尸為EC中點(diǎn),

S^BEF~2S^BCE=5x2=1卜療).

故答案為1.

19.在△45。中，。是8c的中點(diǎn)，46=12,AC=8.用剪刀從點(diǎn)。入手進(jìn)行裁剪，若沿ZU剪成兩個

三角形,它們周長的差為；若點(diǎn)￡在AB上，沿?！昙糸_得到兩部分周長差為2,則AE=.

【答案】4；1或3.

【解析】解：如圖，

D

???。是的中點(diǎn)，

/.BD=CD,

：.AABD的周長—△ZC。的周長=AS+8。+AD—(ZC+CD+AD)=AB-AC=4,

如圖，設(shè)ZE=x,則8￡=12—x,

當(dāng)四邊形NCQE的周長一AADE的周長=2時，

即AE+ED+CD+AC-(BE+BD+DE)=2,

整理得，AE+AC-BE=2,

-x+8-(12-x)=2,

解得x=3；

當(dāng)ABQE的周長-四邊形NCOE的周長=2時，

即5E+AD+DE-(2￡+￡。+。。+幺。)=2,

整理得，BE-AE-AC=2,

12—x—%—8=2,

解得x=l；

ZE=1或3,

故答案為：4；1或3.

五.三角形的穩(wěn)定性（共2小題）

太陽能熱水器籃球架三腳架活動衣架

【答案】D.

【解析】解：A.應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；

B.應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；

C.應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；

D.沒有應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，符合題意；

故選：D.

21.空調(diào)安裝在墻上時，一般都會采用如圖所示的方法固定，這種方法應(yīng)用的幾何原理是

【答案】三角形具有穩(wěn)定性.

【解析】解：這種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是：三角形的穩(wěn)定性,

故答案為：三角形具有穩(wěn)定性.

六.三角形三線綜合應(yīng)用（共5小題）

22.下列說法正確的是（）

A.三角形的角平分線、中線和高都在三角形內(nèi)

B.直角三角形只有一條高

C.三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)

D.三角形的高是直線，角平分線是射線，中線是線段

【答案】C.

【解析】解：A.錯誤.三角形的高不一定在三角形內(nèi).

B.錯誤.直角三角形也有三條高.

C.正確.

D.錯誤.三角形的高，角平分線，中線都是線段.

故選：C.

23.如圖，在AZBC中，ZC=90°,D,￡是NC上兩點(diǎn)，且ZE=QE,BD平6/EBC,那么下列說

法中不正確的是（）

A.是△ZBD的中線B.8。是ABCE的角平分線C.Zl=Z2=Z3D.8c是AADE的高

【答案】C.

【解析】解：A.由圖可知：8E是AAB。的中線，正確，不符合題意；

B.由圖可知：8。是ABCE的角平分線，正確，不符合題意；

C.???BQ是ABCE的角平分線，

Z2=Z3,

「BE是中線，

/.N1wN2,

.?.N1=N2=N3不正確，符合題意.

D.由圖可知：

?/ZC=90°

.?.8。是45?！甑母?，正確，不符合題意;

故選：C.

24.如圖，在△ZBC中，是高，ZE是角平分線，ZE是中線，則下列說法中錯誤的是（）

A.BF=CFB.ZC+ZCAD=90°C.ZBAF=ZCAFD.S,?r=2S4A,BRFP

【答案】c.

【解析】解：???4F是AABC的中線，

BF=CF,A說法正確，不符合題意;

,?14D是高，

ZADC=90°,

/.ZC+ZCAD=9Q°,B說法正確，不符合題意;

VZE是角平分線，

/.ZBAE=ZCAE,而N34F與NC1F不一定相等，C說法錯誤，符合題意;

,/BF=CF,

??SABC=2SABF,D說法正確，不符合題意;

故選：C.

25.如圖，在A4BC中，Zl=Z2,G為的中點(diǎn)，延長8G交NC于瓦尸為48上一點(diǎn)，

CFLAD

于〃，下面判斷正確的有（）

①CH是AZCQ邊幺。上的高；

②是△48。邊40上的中線；

③是AABE的角平分線；

④是AZC下的角平分線和高.

【答案】B.

【解析】解：①VCFJL2。于H,

CH是△ZC。邊上的高，本小題判斷正確；

②：G為40的中點(diǎn)，

.?.5G是△48。邊/。上的中線，故本選項判斷錯誤;

③：Zl=Z2,

.?.ZG是A4BE的角平分線；故本選項判斷錯誤；

@-：CFLAD,Zl=Z2,

.?.ZH是AZC下的角平分線和高，本小題判斷正確；

故選：B.

26.如圖，在AZBC中，ABAC=90°,2。是高，是中線，C下是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G,交

BE于點(diǎn)、H,給出以下結(jié)論：①BF=AF；@ZAFG=ZAGF；（3）ZFAG=2ZACF；（4）

⑤8〃=CH.其中結(jié)論正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B.

【解析】解：是A4BC的中線，

,"S/BE=S^BCE'

故④正確，符合題意；

???C戶是角平分線，

ZACF=ZBCF,

,/AD1BC,

:.NBCF+NCGD=90。,

,/ABAC=90°,

：.ZACF+ZAFG=90°,

ZCGD=ZAFG,

,/ZCGD=ZAGF,

ZAGF=ZAFG,

故②正確，符合題意；

,/ADLBC,ABAC=90°,

ZFAG=ZACB=2ZACF,

故③正確，符合題意；

由已知條件不能確定NHBC=ZHCB,

...5H與C8的關(guān)系不能確定，故⑤錯誤，不符合題意；

戶是角平分線，ZBAC=90°,

BF彳AF,

故①錯誤，不符合題意;

綜上，符合題意的有3個,

故選：B.

七.三角形的規(guī)律探究問題（共2小題）

27.如圖，尸。是直線/的垂線段，每次在尸。兩側(cè)依次增加1條線段，則第20個圖形中共有三角形的數(shù)

量是（）

①②

A.820B.840D.20

【答案】A.

【解析】解：由題知,

第1個圖形中三角形的數(shù)量是:3=1+2；

第2個圖形中三角形的數(shù)量是:10=1+2+3+4；

第3個圖形中三角形的數(shù)量是:21=1+2+3+4+5+6；

第4個圖形中三角形的數(shù)量是:36=1+2+3+4+5+6+7+8；

所以第"個圖形中三角形的數(shù)量是：1+2+3+…+2〃=叫；+1）=〃（2〃+1）,

當(dāng)〃=20時,

〃（2〃+l）=20x（40+l）=820（個）,

即第20個圖形中三角形的數(shù)量是820個.

故選：A.

28.按圖示的方法搭1個三角形需要3根小棒，搭2個三角形需要5根小棒，那么搭10個三角形需要

根小棒，搭〃個三角形需要根小棒.

【答案】21,（2〃+1）.

【解析】解:由所給圖形可知，

搭1個三角形需要的小棒根數(shù)為：3=1x2+1；

搭2個三角形需要的小棒根數(shù)為：5=2x2+1；

搭3個三角形需要的小棒根數(shù)為：7=3x2+1；

???，

所以搭〃個三角形需要的小棒根數(shù)為（2"+1）根，

當(dāng)〃=10時，

2n+l=21（根），

即搭10個三角形需要的小棒根數(shù)為21根.

故答案為：21,（2?+1）.

八.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用（共5小題）

29.一個三角形，3個內(nèi)角度數(shù)之比是2:5:2,這個三角形是（）三角形.

A.銳角B.鈍角C.直角D.等邊

【答案】B.

【解析】解：三個內(nèi)角的度數(shù)分別為2左，5k,2k.

則2左+5左+2左=180°,

解得左=20°,

2k=40°,5左=100。，2k=40°,

這個三角形是鈍角三角形.

故選：B.

30.如圖，在AZBC中，4D平分NB4c交邊BC于點(diǎn)D,DE〃AB交邊AC于點(diǎn)、E.若28=48°,

ZC=26°,則ZADE的大小為（）

A.42°B.52°C.53°D.54°

【答案】c.

【解析】解：???28=48°,"=26°,

/.ABAC=18O°-Z5-ZC=106°,

,/AD平分NBAC,

：.ABAD=-ABAC=53°,

2

?/DE//AB,

AADE=/BAD=53°,

故選：C.

D.55°

【答案】A.

【解析】解：根據(jù)三角板角度的特殊性可知NZ￡8=45°,ZB=60°,

：Na+ZAEB+ZB=180°,

Na=180°—NZE5—Z8=180°—45°—60°=75°.

故選：A.

32.已知△NBC中，平分N48C,點(diǎn)P在射線上.

(1)如圖1,若NR4C=100°,NPBC=NPCA,求N5PC的度數(shù);

(2)若N48C=40。，ZACB=30°,直線C尸與△Z8C的一條邊垂直，求NAPC的度數(shù).

【答案】（1）Z5PC=100°；（2）N5PC的度數(shù)為70?；?0°或110°.

【解析】解：（1）設(shè)ZABP=x,則/尸8C=NZCP=x,

,/ZACD+ZACB=ZA+ZABC+ZACB=180°

ZACD=ZA+ZABC,

：.x+ZPCD=100°+2x,

：.ZPCD=lQQ0+x,

?：ZPCD+ZPCB=ZPBC+ZBPC+ZPCB=180°,

ZPCD=ZPBC+ZBPC,

：A00°+x=x+ZBPC,

：.ZBPC=100°；

（2）分三種情況：

①當(dāng)CP，8c時，如圖2,

圖2

則Z5CP=90°,ZPBC=20°,

ZBPC=70°；

②當(dāng)CP_LZC時，如圖3,

圖3

則NNCP=90。，

在&BCP中，ZBPC=180°-20°—30°—90°=40°；

③當(dāng)時，延長CP交直線于G,如圖4,

圖4

則ZBGC=90°,

?/ZABC=40°,

?.ZBCG=50°,

在AAPC中，ZBPC=180°-50°-20°=110°；

綜上，N5PC的度數(shù)為70°或40?；?10°.

33.如圖，在AZ5c中，ZACB=90°,CD為Z8邊上的高，BE平分NABC,分別交CD,ZC于點(diǎn)

F,E.

(1)若NCEF=50°,求NZ的度數(shù)；

(2)NCEE與NCEE相等嗎？請說明理由.

【答案】(1)ZA=10°；(2)ZCFE=ZCEF,理由見解析.

【解析】解：(1),/ZACB=90°,ZCEF=50°,

ZCBE=40°,

?:BE平分NABC,

：.ZABC=80°,

NZ=90°—80°=10°；

(2)NCFE=NCEF,理由如下：

'：ZACB=90°,

：.ZCBE+ZCEB=90°,

,/CD1AB,

：.ZEBA+ZBFD=90°,

又；BE平分/ABC,

NCBE=ZEBA,

/.ZCEB=ZBFD,

,/ZBFD=ZCFE,

ZCEB=ZCFE,

即ZCFE=ZCEF.

九.三角形內(nèi)角、外角的綜合應(yīng)用（共5小題）

34.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則Na的大小為（）

A.80°B.75°C.70°D.65°

【答案】B.

【解析】解：=22=45°,

AZa=Zl+Z2=75°.

故選：B.

35.如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），ZE與AD的交點(diǎn)為C,且NC48、NCBA、NE的大小保持

不變.為了舒適，需調(diào)整的大小，使NEED=110°,則圖中ND應(yīng)（

B.減少10°C.增加20°D.減少20。

【答案】B.

【解析】解：延長￡/，交CD于點(diǎn)G,如圖:

?/ZACB=180°-50°-60°=70°,

：.ZECD=ZACB=70°.

,/ZDGF=ZDCE+ZE,

：.ZDGF=100+30°=100°.

'：ZEFD=ZDGF+ZD,

/.ZD=10°.

而圖中ND=20°,

.,.ND應(yīng)減少10°.

故選：B.

36.一個三角形中，若任意兩個內(nèi)角度數(shù)之和都大于另一個內(nèi)角，這個三角形必定是一個鈍角三角

形.（判斷對錯）

【答案】X.

【解析】解：三角形中，若任意兩個內(nèi)角度數(shù)之和都大于另一個內(nèi)角，這個三角形不一定是一個鈍角三角

形，例如：三角形三個內(nèi)角都是60度，它是銳角三角形.

故答案為：X.

37.將一副直角三角板如圖放置，ZA=30°,NF=45°.若邊48經(jīng)過點(diǎn)。，KOZEDB=°.

【解析】解：：NZC5=90°,ZA=30°,

.\ZA￡C=90°-30°=60°,

,；NABC=NF+NBDF,ZF=45°,

，ZBDF=ZABC—NF=60°—45°=15°,

,/ZEDF=90°,

NEDB=ZEDF-NBDF=90°-15°=75°,

故答案為75.

38.將一副三角尺按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數(shù)為

【答案】75°.

Z2=75°,

?直尺的上下兩邊平行，

/.Zl=Z2=75°,

故答案為：75°.

十.三角形的內(nèi)角和及其角平分線、高的綜合應(yīng)用（共5小題）

39.如圖，在中，ZACB<ZA,8。是角平分線，是邊ZC上的高，延長8。與外角NZCE

的

平分線交于點(diǎn)G.以下四個結(jié)論：@ZABD=ZCBD；（2）ZABE+ZA=90°；③NG=；NN；④

NZ—=其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

BF

A.1B.2C.3D.4

【答案】D.

【解析】解：???AD是△48C角平分線，

ZABD=ZCBD,故①正確；

是邊NC上的高，

AZABE+ZA=90°,故②正確；

???5。是AZBC角平分線，CG平分NNC下，

/.ZABC=2ZGBC,ZACF=2ZGCF,

■：ZACF=ZABC+ZA,ZGCF=ZGBC+ZG,

：.2ZGCF=2ZGBC+ZA,

??.NG=；NZ,故③正確；

,/2NDBE=2(90°-ZADB),ZADB=ZDBC+NACB,

.2NDBE=180°-(2ZDBC+2ZACB)=180°-(ZABC+2ZACB)=180°-(180°-ZA+ZACB)

'=ZA-ZACB

故④正確；

正確的有①②③④共4個，

故選：D.

40.如圖，AZBC中，是邊上的高線，是一條角平分線，AD,相交于點(diǎn)尸，已知

ZEPD=125°,則ABAD的度數(shù)為°.

【答案】20.

【解析】解：是8c邊上的高線,

/.ZADB=90°,

?/ZEPD=125°,

ZCBE=ZEPD-ZADB=125°-90°=35°,

?:BE平分NABD,

：.NABD=2NCBE=2x35°=70°,

在RIAABD中，/BAD=90°-NABD=900-70°=20°,

故答案為：20.

41.如圖，幺。是ANBC的高，AZBC的兩條角平分線ZE、5/相交于點(diǎn)。，ABAC=60°,

ZC=70°.

(1)求NE/。的度數(shù)；

(2)求ZBCM的度數(shù).

【答案】(1)ZEAD=10°；(2)ZAOB=125°.

【解析】解：(1)是AZBC的高線,

/.ZADC=90°,

VZADC+ZC+ZCAD=180°,ZC=70°,

ZCAD=180°-90°-70°=20°.

是N3ZC的角平分線，NR4c=60°,

：.ZEAC=-ZBAC=3Q°.

2

/.ZEAD=ZEAC-ZCAD=10°；

(2)???ZABC+ZC+ZCAB=180°,ZC=70°,ABAC=60°,

：.ZABC=180°-70°-60°=50°,

???AE,8/分別平分N8/C,ZABC,AE,8/相交于點(diǎn)O,

/.NBAO=-ZBAC=30°,NABO=-ZABC=25°,

22

,/ZABO+ZBAO+ZAOB=180°,

(95=180°-30°-25°=125°.

42.如圖，Z。是-45。的高，CE是AZBC的角平分線，8尸是AZBC的中線.

(1)若NZC8=50°,ZBAD=65°,求NZEC的度數(shù)；

(2)若48=9,A5C戶與的周長差為3,求BC的長.

【解析】解：(1)???Z。是A4BC的高，

ZADB=90°,

,/ZBAD=65°,

ZABD=90°-65°=25°,

；CE是AZBC的角平分線，ZACB=50°,

：.ZECB=-ZACB=25°,

2

/.ZAEC=ZABD+ZECB=250+25°=50°；

(2):尸是ZC中點(diǎn)，

AF=FC,

ABCF與ABAF的周長差為3,

：.(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,

：.BC-AB=3,

?/AB=9,

：.BC=12.

43.如圖，是/氏4C的角平分線，CELAB,ZBAC=60°,ZBCE=40°,求NZQC的度數(shù).

【答案】ZADC=8Q°.

【解析】解：???N8ZC=60°,是A45C的角平分線,

:.ZBAD=ZDAC=60°+2=30°,

：CE是A48C的高.

，NCEB=90°,

,/ZBCE=40°,

/.N3=90°—40°=50°,

NADC=ZBAD+ZB=300+50°=80°.

十一.三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)和三角形的角平分線的綜合應(yīng)用（共4小題）

44.如圖，NNC。是的外角，BE平分■NABC,CE平分N4CD,且BE、CE交于點(diǎn)￡,

ZABC=ZACE.

（1）求證：AB//CE；

（2）猜想：若NZ=50°,求NE的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）ZE=25°.

【解析】（1）證明：；CE平分NZCD,

NECD=NACE,

,/ZABC=NACE,

：.ZABC=ZECD,

AB//CE-,

（2）解：:/幺。。是△48C的一個外角，

ZACD=ZABC+ZA,

,:BE平分NABC,

：.ZABE=ZEBC,

：.ZE=ZECD-ZEBC=-ZACD--ZABC=-ZA=25°.

222

45.如圖，在銳角A4BC中，兩條高線C。、相交于點(diǎn)。

(1)如圖1,若NZ=60。，求N80C的度數(shù)；

(2)如圖2,ZABC=50°,NACB=60。,NZ8E與NZC。的角平分線交于點(diǎn)M,求的度數(shù);

(3)如圖3,對任意的銳角AZBC,N4BE與NZCQ的角平分線交于點(diǎn)直接寫出NRWC的度數(shù)

是.

圖1圖2圖3

【答案】(1)ZBOC=120°；(2)Z5MC=90°；(3)ZBMC=90°.

【解析】解：(1)-：CD.BE是ANBC的高線，

/.ZADC=90°,ZCEO=90°,

在MAZCD中，NZ=60°,

：.ZACD=90°-ZA=30°,

在COE中，ZACD=30°,

：.ZCOE=90°-ZACD=60°,

ZBOC=180°-ZCOE=120°；

(2)延長5"交NC于"，如圖2所示：

：.ZA=180°-(/ABC+ZACB)=70°,

,/CD,BE是A48C的高線，

ZADC=90°,ZAEB=90°,

：.ZABE=90°-ZA,ZACD=90°-ZA,

ZABE=ZACD=90°-ZA=20°，

?：ZABE與ZACD的角平分線交于點(diǎn)M,

/MBA=AMBO=-ZABE=10°,ZMCA=ZMCO=-ZACD=10°,

22

：.ZAHB=lS00-(ZA+ZMBA)=100°,

：.ZMHC=180°-ZAHB=80°,

：.ZCMH=180°-(ZMHC+ZMCA)=90°,

/.ZBMC=180°-ZCMH=90°；

(3)ZBMC=90°,理由如下：

延長5初交NC于〃，如圖3所示：

設(shè)Z-A=2a,

由(2)得：ZABE=ZACD=90°=90°-2a,

???ZABE與ZACD的角平分線交于點(diǎn)M,

/MBA=-ZABE=45。-a,ZMCA=-ZACD=45°-a,

22

Z.ZAHB=180°-(ZA+ZMBA)=180°-(2a+450-a)=135°-a,

：.ZMHC=1800-ZAHB=180°-(1350-a)=45°+a,

：.ZCMH=180°-(ZMHC+ZMCA)=180°-(45°+tz+45°-a)=90°,

/BMC=180°-ZCMH=90°.

46.【初步認(rèn)識】

(1)如圖①，線段48,CD相交于點(diǎn)O,連接/￡),BC.

求證：N4+ND=NB+NC.

【繼續(xù)探索】

(2)如圖②，ZA=m°,ZC=n°,ZABC,NZQC的角平分線AP、。尸相交于點(diǎn)尸.

①若機(jī)=40,n=32,求N尸的度數(shù)；

②用加、"表示/尸的度數(shù)為.

(3)如圖③，ZABC,NZQC的角平分線5P,。尸相交于點(diǎn)P,ZDAB,NDCB的角平分線N0,CQ

相交于點(diǎn)。.若NP=NQ,判斷與5c的位置關(guān)系并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）①36°；②［工―J°；（3）AD//BC,理由見解析.

【解析】（1）證明：由題意，在△Z。。中，ZA+ZD+ZAOD=180°,

：.ZA+ZD=1800-ZAOD.

又：在A50C中，Z8+NC+Z8OC=180°,

/.Z5+ZC=180°-Z5（9C.

又：ZAOD=ZBOC,

：.ZA+ZD=ZB+ZC.

（2）解：①由題意，結(jié)合（1）可得，

ZA+NADC=ZABC+ZC,

NZ+ZADP=ZP+NABP.

,:BP平分NABC,DP平分NADC,

：.NADP=-NADC,ZABP=-ZABC.

22

/.ZA+-ZADC=ZP+-ZABC.

22

：.2ZA+ZADC=2ZP+ZABC.

又乙4+ZADC=ZABC+ZC,

：.ZA=2ZP-ZC.

：.ZP=ZA+ZC.

2

又/2=機(jī)°=40。，ZC=n°=32°,

.2=g%=36。.

2

②由題意，根據(jù)①/尸=NZ；NC,

又N4=m。,ZC=n0,

故答案為：^―°.

(3)解：AD//BC.理由如下：

由題意，根據(jù)(2)①可得NP="AB；/DCB,

同理可得，NQ=/4BC；/ADC

又/尸=N0,

.ZDAB+ZDCBZABC+ZADC

?.---------------=----------------.

22

NDAB+ZDCB=ZABC+ZADC.

又ZDAB+ZADC=NDCB+ZABC,

2ZDAB+ZDCB+ZADC=2ZABC+ZDCB+ZADC.

：.ZDAB=ZABC.

：.AD//BC.

47.認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.

（1）探究1：如圖1,在AABC中，。是ZABC與ZACB的平分線B0和C。的交點(diǎn)，試分析ZBOC與N4

有怎樣的關(guān)系？請說明理由.

（2）探究2：如圖2中，。是NABC與外角的平分線8。和C。的交點(diǎn)，試分析N50C與NN有

怎樣的關(guān)系？請說明理由.

（3）探究3：如圖3中，。是外角ND8C與外角NEC5的平分線5。和C。的交點(diǎn)，則/BOC與NZ又

有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：.

【答案】（1）ZBOC=90°+-ZA,理由見解析；（2）ZBOC=-ZA,理由見解析；（3）

22

ZBOC=9